暑假作业04 矩形的性质与判定（3个知识点+7个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 矩形的性质与判定 【知识点1 矩形的定义及性质】 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】 （1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=AC=AD=DC. 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 【知识点3 矩形的判定】 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 矩形的性质】 1．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：2，则∠CAE的度数（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC、BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF＝∠MFE，则AD的值为（　　） A．4 B． C． D．6 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D． 5．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 6．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（　　） A． B．4 C． D．3 【题型2 矩形的判定】 7．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A．OB＝5 B．OD＝5 C．AB＝5 D．BC＝8 9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明． 11．如图，已知△ABC中，点D是BC边上一点，取AD的中点E，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）当AD与CF满足条件 　 　 时，四边形ACDF是矩形（直接填空）． 【题型3 直角三角形斜边上中线的性质】 12．如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为 　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 　 　 ． 14．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点，∠BCA＝43°，∠ACD＝25°，连接BD，BE，DE，则∠BDE＝（　　） A．25° B．22° C．30° D．32° 15．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E在BD上，且AE＝AD，连接CE，点F为CE的中点，连接DF，若DF＝1，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【题型4 矩形的判定与性质】 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 17．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝DC，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，∠DFC＝90°． （1）求证：四边形CEDF是矩形； （2）若∠B＝30°，AD＝2，连接BE，求BE的长． 18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BEAC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长． 19．如图，在▱ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长． 【题型5 矩形中多结论问题】 20．如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①DH＝BE，②DE平分∠CDH，③OE＝OD，④HB＝HF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 22．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝BE＝12，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：①BF＝4；②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；④DE+CF的最小值为10．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，则下列结论中错误的是（　　） A．ED平分∠AEC B． C．HE＝DF D． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 【题型6 矩形中的动点问题】 25．如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm．BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出现PQ∥CD和PQ＝CD的次数分别是（　　） A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，BC＝8，AD＝6，∠B＝90°，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿BC向右运动，移动到点C时立即沿原路按原速返回，点N从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段DA向左运动．M，N两点同时出发，当点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）当t＝　 　 秒时，四边形ABMN为矩形； （2）在整个运动过程中，t为何值时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？ 27．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　 　 ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 28．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，AD＝4cm，CD＝15cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点C出发，以2cm/s秒的速度问点D运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． （1）若P，Q两点同时出发． ①当t为何值时，四边形PQCB为平行四边形？ ②当t为何值时，PQ＝BC？ （2）若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，△DPQ为直角三角形． 【题型7 矩形中求最值问题】 29．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A． B． C． D． 30．如图，，点D在AB上，△ACD是边长为30的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．15 B． C． D． 31．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝BQ，连接CP、QA，则PC+QA的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 32．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　 ． 33．新定义：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点”，m+n＝p+q＝k，称k为等和．例如：点P（4，2），点Q（1，5），因4+2＝1+5＝6，则点P与点Q就是和等点，6为等和．如图在长方形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，若长方形GHMN的边上存在不同的两个点P、Q，这两个点为和等点，等和为4，则PQ的长为 　　 ． 34．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（1，0），C（1，2）．点P到△ABC的距离定义如下：点Q为△ABC三边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到△ABC的距离，记为d（P，△ABC）．已知矩形DEFG的四个顶点依次是D（﹣2，3），E（﹣2，﹣2），F（2，﹣2），G（2，3），若点P在矩形DEFG的四条边上，则满足d（P，△ABC）的点P有 　 个． 35．定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． （1）当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为 　 度； （2）如图，在沙漏四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，满足AB+CD＝BD，且AB⊥BD，过点B、D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足为E、F，连接DE、BF，所得四边形BEDF也是沙漏四边形．若BE＝1，求BC的长以及△BFC的面积． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 矩形的性质与判定 【知识点1 矩形的定义及性质】 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】 （1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=AC=AD=DC. 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 【知识点3 矩形的判定】 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 矩形的性质】 1．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：2，则∠CAE的度数（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：2，根据矩形的性质，及已知条件求出，∠DAE，∠BAE的值，再根据矩形中对角线相等且平分得到∠OAB＝∠OBA＝30°，然后求出∠CAE的值． 【解答】解：∵∠DAE：∠BAE＝1：2，∠DAB＝90°， ∴∠DAE＝30°，∠BAE＝60°， ∴∠DBA＝90°﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30° ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠OAB＝60°﹣30°＝30°． 故选：A． 2．如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【分析】由矩形ABCD的面积和AC＝10，得出两边AB＝8，BC＝6，首先连接OP．，可求得OA＝OD＝5，S△AODS矩形ABCD＝10，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）5×（PE+PF）＝10，求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵矩形ABCD面积为40，AC＝10， ∴矩形ABCD的两边AB＝8，BC＝6， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝40，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝10， ∴S△AODS矩形ABCD＝10，OA＝OD＝5， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFOA（PE+PF）5×（PE+PF）＝10， ∴PE+PF＝4． 故选：A． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC、BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF＝∠MFE，则AD的值为（　　） A．4 B． C． D．6 【分析】由三角形中位线定理可得AB＝2ME，OD＝2MF，可得AB＝OD，由矩形的性质可得OD＝OA＝OB＝AB，可证△ABO是等边三角形，进而解答即可． 【解答】解：如图，连接AE， ∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD， ∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线， ∴AB＝2ME，OD＝2MF， ∵∠MEF＝∠MFE， ∴ME＝MF， ∴AB＝OD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OA＝OB， ∴AB＝AO＝BO＝3， ∴△ABO是等边三角形，BD＝6， ∴AD， 故选：B． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D． 【分析】通过证明△BOF≌△DOE，结合垂直平分线的性质证明四边形BFDE为菱形，AE＝CF，由EF＝AE+FC可求解∠ABE＝30°，再根据30°的直角三角形的性质可求解AE，BE，进而可求解BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴OB＝OD，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠FBO＝∠EDO， ∵∠BOF＝∠DOE， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴BF＝DE， ∵EF垂直平分BD， ∴BE＝DE，BF＝DF， ∴BE＝DE＝BF＝DF， ∴四边形BFDE为菱形，AE＝CF， ∴EO＝FO，∠FBO＝∠OBE，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF＝30°， ∵EF＝AE+FC， ∴AE＝EO＝OF＝CF， ∵AB＝3， ∴AE，BE， ∴CF＝AE，BF＝BE， ∴BC＝BF+CF， 故选：B． 5．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解． 【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∵MP＝AE＝2 ∴S△DFP＝S△PBE2×6＝6， ∴S阴＝6+6＝12， 故选：B． 6．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（　　） A． B．4 C． D．3 【分析】由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，由勾股定理求出A'M的长，再证四边形ABNM是矩形，即可求出A′N的长． 【解答】解：由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°， ∵BC＝6， ∴AD＝6， ∴DM＝3， 在Rt△DMA'中，由勾股定理得A'M， ∵∠A＝∠B＝∠AMA'＝90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴MN＝AB＝10， ∴A′N＝MN﹣A'M＝10， 故选：A． 【题型2 矩形的判定】 7．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 【分析】由AD∥BC，AD＝BC可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD可得平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； 由AD∥BC，AD＝BC推出四边形ABCD是平行四边形，进而推出∠A＝∠B＝90°，可证得平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； 由AD∥BC推出∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，进而推出∠B＝∠D，得到四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意； 由AD∥BC，AB∥CD推出四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意 【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C．∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A．OB＝5 B．OD＝5 C．AB＝5 D．BC＝8 【分析】根据直角三角形的性质得到OB＝AO＝OC＝5，推出AC＝BD＝10，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：添加OD＝5， 理由：∵∠ABC＝90°，AO＝OC＝5， ∴OB＝AO＝OC＝5， ∵OD＝5， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝5， ∴AC＝BD＝10， ∴四边形ABCD为矩形， 故选：B． 9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， 又∵AD＝DE， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCED为平行四边形， A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； B、∵矩形的边和对角线不垂直，∴DE⊥DC时，▱DBCE不为矩形，故本选项正确； C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误． 故选：B． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AE、DE，DE交AC于点O，且DE∥AB． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）已知条件：①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC，请从这三个条件中选择1个，使得四边形AECD是矩形，并加以证明． 【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABED是平行四边形，进而利用平行四边形的性质和判定解答即可； （2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定解答即可． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AD＝BE， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴AD＝EC， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形， 选择②AB＝AC， ∵AB＝AC，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴▱AECD是矩形． 11．如图，已知△ABC中，点D是BC边上一点，取AD的中点E，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）当AD与CF满足条件 　A 　 时，四边形ACDF是矩形（直接填空）． 【分析】（1）由平行线的性质得∠FAE＝∠CDE，∠AFE＝∠DCE，再证明△AEF≌△DEC（AAS），得AF＝CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由矩形的判定定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠FAE＝∠CDE，∠AFE＝∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝CD， ∴四边形ACDF是平行四边形； （2）解：当AD与CF满足条件AD＝CF时，四边形ACDF是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形ACDF是平行四边形， ∵AD＝CF， ∴平行四边形ACDF是矩形， 故答案为：AD＝CF． 【题型3 直角三角形斜边上中线的性质】 12．如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为 　 　 ． 【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3． 【解答】解：如图，连接CM、CN， △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴，， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：5﹣2＝3． 故答案为：3． 13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 　 　 ． 【分析】根据垂直定义可得∠AEB＝90°，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，AE＝DE＝CE＝2，从而得到CD＝4，最后利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∵CD是△ABC的中线，AB＝4， ∴DE是△ABE斜边上的中线， ∴， ∵∠DAC＝90°，E是CD的中点， ∴AE＝DE＝CE＝2， ∴CD＝4， 由勾股定理得． 故答案为：． 14．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点，∠BCA＝43°，∠ACD＝25°，连接BD，BE，DE，则∠BDE＝（　　） A．25° B．22° C．30° D．32° 【分析】证明EA＝EB＝EC＝ED，可得∠ECB＝∠EBC，∠ECD＝∠EDC，可得∠BED＝2（∠BCA+∠ACD）＝136°，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点， ∴EA＝EB＝EC＝ED， ∴∠ECB＝∠EBC，∠ECD＝∠EDC， 在△ABE中，∠AEB＝∠ECB+∠EBC＝2∠BCA， 同理可得：∠AED＝∠ECD+∠EDC＝2∠ACD， ∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝2（∠BCA+∠ACD）＝2×（43°+25°）＝136°， ∵EB＝ED， ∴． 故选：B． 15．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E在BD上，且AE＝AD，连接CE，点F为CE的中点，连接DF，若DF＝1，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】利用三角形中位线定理求出AE，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE的中点， ∴AE＝2DF＝2， ∴AD＝AE＝DC＝2， ∴AC＝4， ∵∠ABC＝90°， ∴BDAC＝2． 故选：C． 【题型4 矩形的判定与性质】 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝4，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10， ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6， 在Rt△ABE中，AE， 在Rt△AEC中，AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OEAC． 17．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝DC，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，∠DFC＝90°． （1）求证：四边形CEDF是矩形； （2）若∠B＝30°，AD＝2，连接BE，求BE的长． 【分析】（1）证∠EDF＝90°，∠CED＝90°，再由∠DFC＝90°，即可得出结论； （2）证△ACD是等边三角形，得∠ACD＝60°，AC＝AD＝2，则AE＝CE＝1，再由勾股定理得DE，然后由三角形中位线定理得BC＝2DE＝2，由勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC， ∴∠ADE＝∠CDE∠ADC，∠CDF∠BDC， ∴∠CDE+∠CDF（∠ADC+∠BDC）180°＝90°， 即∠EDF＝90°， ∵AD＝DC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴∠CED＝∠AED180°＝90°， 又∵∠DFC＝90°， ∴四边形CEDF是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形， ∴∠CED＝∠ECF＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，DE⊥AC， ∵AD＝DC， ∴CE＝AE，△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，AC＝AD＝2， ∴AE＝CE＝1， ∴DE， ∵∠DCB＝∠ECF﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DCB＝∠B， ∴DB＝DC＝AD， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝2， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE， 即BE的长为． 18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BEAC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长． 【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OCAC，推出BE＝OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC＝90°，即可得出结论； （2）由勾股定理求出OB＝4，则BD＝2OB＝8，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF＝EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC＝90°，OC＝OAAC， ∵BEAC， ∴BE＝OC， ∵BE∥AC， ∴四边形BECO是平行四边形， ∵∠BOC＝90°， ∴平行四边形BECO是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5，OCAC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB4， ∴BD＝2OB＝8， 由（1）得：四边形BECO是矩形， ∴BE＝OC＝3，∠OBE＝∠ECO＝90°，OB＝CE，OB∥CE， ∴DE，∠ODF＝∠CEF，OD＝CE， ∵∠DOF＝∠ECF＝90°， ∴△ODF≌△CEF（ASA）， ∴DF＝EF， ∵∠DBE＝90°， ∴BFDE． 19．如图，在▱ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而可得EF＝BC＝AD，再根据平行四边形的判定可得四边形AEFD是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先求出EC＝9，EB＝CF＝3，DC＝6，再在Rt△DFC中，利用勾股定理可得，然后根据矩形的性质可得，在Rt△ACE中，利用勾股定理可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD∥EF， ∵BE＝CF， ∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFE＝90°， ∴四边形AEFD是矩形． （2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC， ∵AD＝6，BF＝3， ∴EB＝CF＝3，EC＝9， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°， ∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°， ∴DC＝2CF＝6， 在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2， ∴， ∵四边形AEFD是矩形， ∴，∠AEC＝90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2， ∴， ∵M是AC的中点，∠AEC＝90°， ∴． 【题型5 矩形中多结论问题】 20．如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①DH＝BE，②DE平分∠CDH，③OE＝OD，④HB＝HF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，证出AE＝AD，证明△ABE≌△AHD，可得BE＝DH，求出∠ADE＝∠AED＝∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，证明△BEH≌△HDF，可得BH＝HF，判断出③正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中， ， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED， ∵∠DHE＝∠DCE＝90°， ∴∠HDE＝∠CDE， ∴ED平分∠HDC，故②正确； ∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB， ∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠OHD＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠OHD＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH，故③正确； ∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD， 又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°， 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，BE＝DH，故①④正确； 故选：D． 21．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AEAB，从而得到AE＝AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确； ③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH＝HF，判断出③正确； ④根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，然后根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AEAB， ∵ADAB， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中， ， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED，故①正确； ∵AB＝AH， ∵∠AHB（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等）， ∴∠OHE＝67.5°＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠DHO＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH，故②正确； ∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD， 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确； ∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD， ∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确； 故选：D． 22．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝BE＝12，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：①BF＝4；②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；④DE+CF的最小值为10．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①根据BFEF，BE＝12可求出BF的长，进而可对①进行判断； ②当点E在AD边上时，设BE的中点为H，连接AH，证△ABH为等边三角形，得∠ABH＝60°，进而得∠EBC＝30°，则∠BCE＝∠BEC＝75°，由此可求出∠DCE的度数即可对②进行判断； ③当∠EBC＝60°时，设AD交CE于H，交BE于G，证△BCE和△EGH均为等边三角形，然后再Rt△ABG中求出AG，同理DH，则GHDH，进而得∠ADE≠∠DEH，然后根据∠ADE+∠DEH＝∠EHG＝60°可对③进行判断； ④在BC上取一点M，使BM＝BF＝4，连接ME，MD，先求出DM＝10，证△BME和△BFC全等得ME＝CF，则DE+CF＝DE+ME，根据“两点之间线段最短”得DE+ME≥DM，由此可得出DE+ME的最小值，进而可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵BFEF， ∴EF＝2BE， ∴BE＝BF+EF＝3BF， ∵BE＝12， ∴BF＝4， 故①正确； ②当点E在AD边上时，设BE的中点为H，连接AH，如图1所示： ∵四边形ABCD为矩形，AB＝6， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝6， 在Rt△ABE中，点H为斜边BE的中点，BE＝12， ∴AH＝BH＝EHBE＝6， ∴∠AB＝BH＝AH＝6， ∴△ABH为等边三角形， ∴∠ABH＝60°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABH＝90°﹣60°＝30°， ∵BC＝BE＝12， ∴∠BCE＝∠BEC（180°﹣∠EBC）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣75°＝15°， 故②正确； ③当∠EBC＝60°时，设AD交CE于H，交BE于G，如图2所示： ∵∠EBC＝60°，BC＝BE＝12， ∴△BCE为等边三角形， ∴∠EBC＝∠ECB＝60°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝BC＝12， ∴∠EGH＝∠EBC＝60°，∠EHG＝∠ECB＝60°， ∴△EGH为等边三角形， ∴EG＝GH＝EH， ∴∠ABG＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，∠DCH＝∠BCD﹣∠ECB＝30°， 在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，AB＝6， ∴BG＝2AG， 由勾股定理得：BG2﹣AG2＝AB2， 即（2AG）2﹣AG2＝62， ∴AG， 同理DH， ∴GH＝AD﹣AG﹣DHDH， ∴∠ADE≠∠DEH， ∴∠ADE+∠DEH＝∠EHG＝60°， ∴∠ADE≠30°， 故③不正确； ④在BC上取一点M，使BM＝BF＝4，连接ME，MD，如图3所示： 则CM＝BC﹣BM＝12﹣4＝8， 在Rt△DCM中，由勾股定理得：DM10， 在△BME和△BFC中， ， ∴△BME≌△BFC（SAS）， ∴ME＝CF， ∴DE+CF＝DE+ME， 根据“两点之间线段最短”得：DE+ME≥DM， ∴当点D，M，E在同一条直线上时，DE+ME为最小，最小值为线段DM的长， 即DE+ME的最小值为10， ∴DE+CF的最小值为10． 综上所述：正确有①②④，共3个． 故选：C． 23．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，则下列结论中错误的是（　　） A．ED平分∠AEC B． C．HE＝DF D． 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，可证AE＝AD，即可证ED平分∠AEC；由“AAS”可证△ABE≌△AHD，可得BE＝DH，由等腰三角形的性质和角的数量关系可求∠OHD＝∠ODH，可得OH＝OD，可证；由ASA可证△BEH≌△HDF，可得BH＝HF，EH＝DF，即可求解． 【解答】解：∵EA平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE＝45°， ∴△EBA是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴EA＝DA， ∴， ∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠BEA＝67.5°， ∴∠CED＝∠DEA， 即ED平分∠CEA，故选项A正确，不符合题意； 在△EBA和△DHA中， ， ∴△EBA≌△DHA（AAS）， ∴BE＝DH， ∴BE＝DH＝BA＝HA， ∴67.5°． ∵∠OHE＝∠AHB， ∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH． ∵DH⊥AE， ∴∠EHD＝90°， ∴∠OHD＝∠DHE﹣∠OHE＝90°﹣67.5°＝22.5°． ∵∠ODH＝∠ADE﹣∠ADH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠OHD＝∠ODH， ∴DO＝HO， ∴HO＝DO＝EO， ∴， 故选项B正确；不符合题意； ∵∠EBA＝∠HBE＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠DHO＝∠EBH． 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴DF＝HE，HF＝HB，故选C正确，不符合题意； 综上所述，可得CD＝BE，DF＝EH＝CE，CF＝CD﹣DF， ∴BC﹣CF＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 【分析】由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判断④即可． 【解答】解：①AC5，故①正确； ②若DQ＝CM，则有△CQD≌△BMC，推出BC＝DC，与已知矛盾，故②错误； ③AE∥CF，DP⊥AF，BM⊥CE，四个角都是直角，是矩形，故③正确； ④∵∠ADP+∠PDC＝90°，∠DCE+∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠DCQ， 在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴∠DAP＝∠BCM， ∵∠APD＝∠CMB， ∴△APD≌△CMB（AAS）， ∴AP＝CM， 如图，设PQ、MN分别交AC于点J、K， ∵AF∥CE， ∴∠PAJ＝∠MCK， 又∵∠APD＝∠CMB， ∴△APJ≌△CMK（ASA）， ∴PJ＝MK， ∵四边形PQMN是矩形， ∴PQ＝MN，PN＝QM， ∴AC平分四边形PQMN的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 【题型6 矩形中的动点问题】 25．如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm．BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出现PQ∥CD和PQ＝CD的次数分别是（　　） A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 【分析】根据题意分别求得PQ∥CD和PQ＝CD的情形，分类讨论，即可求解． 【解答】解：设点P的运动时间为t， ∵AD＝10，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动． ∴秒，AP＝t，则PD＝10﹣t ∵BC＝12cm，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动， ∴， 当PQ∥CD时，则四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ 当0≤t＜3时，点Q从C到B运动，CQ＝4t， ∴10﹣t＝4t，解得：t＝2， 当3≤t＜6时，点Q从B到C运动，CQ＝2×12﹣4t， ∴10﹣t＝2×12﹣4t， 4t﹣t＝24﹣10， 3t＝14， 解得：， 当6≤t＜9时，点Q从C到B运动，CQ＝4t﹣2×12， ∴10﹣t＝4t﹣2×12，解得：， 当9≤t≤10，点Q从B到C运动，CQ＝3×12﹣4t， ∴10﹣t＝3×12﹣4t，解得：（舍去）， ∴PQ∥CD能出现三次， 如图所示，过点P，D分别作BC的垂线，垂足分别为F，E， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴BE＝AD＝10，CE＝BC﹣BE＝12﹣10＝2，DE＝AB＝8， ∴Rt△CDE中，， 当PQ＝CD时， 在Rt△PFQ中，， ∴FQ＝2， 当0≤t＜3时，点Q从C到B运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|12﹣4t﹣t|＝|12﹣5t|， ∴|12﹣5t|＝2，解得：t＝2或， 当3≤t＜6时，点Q从B到C运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|4t﹣12﹣t|＝|12﹣3t|， ∴|12﹣3t|＝2，解得：或， 当6≤t＜9时，点Q从C到B运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|12×3﹣4t﹣t|＝|36﹣5t|， ∴|36﹣5t|＝2，解得：或， 当9≤t≤10，点Q从B到C运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|4t﹣36﹣t|＝|3t﹣36|， ∴|36﹣3t|＝2，解得：（舍去）或（舍去）， ∴PQ＝CD能出现6次， 故选：A． 26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，BC＝8，AD＝6，∠B＝90°，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿BC向右运动，移动到点C时立即沿原路按原速返回，点N从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段DA向左运动．M，N两点同时出发，当点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）当t＝　 　 秒时，四边形ABMN为矩形； （2）在整个运动过程中，t为何值时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？ 【分析】（1）根据AD∥BC，∠B＝90°可知，当AN＝BM时，四边形ABMN为矩形，可表示出AN＝AD﹣DN＝6﹣t， BM的表示分两种情况：当点M从点B运动到点C时，BMt，当点M从点C返回到B时，BM＝8﹣（）＝16，令AN＝BM，可得t或，又因为点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动，故t≤6，因此舍去t，可得t秒时，四边形ABMN为矩形． （2））根据AD∥BC，可知当DN＝CM时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形， 由题意知：DN＝t，当点M从点B运动到点C时，CM＝8t，当点M从点C返回到B时，CM，令CM＝DN，可解出t或，均符合题意． 【解答】解：（1）∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴当AN＝BM时，四边形ABMN为矩形， 由题意知：AN＝AD﹣DN＝6﹣t， 当点M从点B运动到点C时，BMt， 令6﹣t，解得t， 当点M从点C返回到B时，BM＝8﹣（）＝16， 令6﹣t＝16，解得t， 当t＝6时，点M、N停止运动，故t（，不符合题意，舍去）， ∴t秒时，四边形ABMN为矩形． 故答案为：； （2）∵AD∥BC， ∴当DN＝CM时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形， 由题意知：DN＝t， 当点M从点B运动到点C时，CM＝8t， 令t＝8，解得t， 当点M从点C返回到B时，CM， 令t8，解得t， 检验可知t和均符合题意， ∴t或时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形． 27．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　 　 ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 【分析】（1）利用三角形全等可得EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，则EG∥FH，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形EGFH为矩形，另一种是FGEH为矩形，利用EF＝GH即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形AGCH为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下： 由题意得：AE＝CF＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵G，H分别是AD，BC中点， ∴AGAD，CHBC， ∴AG＝CH， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH， ∴∠FEG＝∠EFH， ∴EG∥HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； 故答案为：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图1，连接GH， 由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴GH＝AB＝6， ①如图1，当四边形EGFH是矩形时， ∴EF＝GH＝6， ∵AE＝CF＝t， ∴EF＝10﹣2t＝6， ∴t＝2； ②如图2，当四边形EGFH是矩形时， ∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t， ∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6， ∴t＝8； 综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8； （3）如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O， ∵四边形EGFH为菱形， ∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF， ∴OA＝OC，AG＝AH， ∴四边形AGCH为菱形， ∴AG＝CG， 设AG＝CG＝x，则DG＝8﹣x， 由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2， 即：62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴MG4，即t， ∴当t时，四边形EGFH为菱形． 28．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，AD＝4cm，CD＝15cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点C出发，以2cm/s秒的速度问点D运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． （1）若P，Q两点同时出发． ①当t为何值时，四边形PQCB为平行四边形？ ②当t为何值时，PQ＝BC？ （2）若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，△DPQ为直角三角形． 【分析】（1）①四边形PQCB为平行四边形时，根据QC＝PB即可得到答案； ②分点Q在P的右边和左边两种情况计算即可； （2）分∠DPQ＝90°和∠DQP＝90°两种情形进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）①根据题意，得QC＝2t，PA＝t， ∵∠A＝90°，AB＝12cm，AD＝4cm，CD＝15cm， ∴PB＝AB﹣PA＝（12﹣t）（cm）， ∵四边形PQCB为平行四边形， ∴QC＝PB， ∴2t＝12﹣t， 解得t＝4， 故当t＝4秒时，四边形PQCB为平行四边形． ②当Q1在点P的右边时，根据①四边形PQCB为平行四边形时，PQ＝BC， 此时t＝4． 当Q2在点P的左边时，过点B作BE⊥CD于点E， ∵∠A＝90°，AB＝12cm，AD＝4cm，CD＝15cm， ∴四边形ABED是矩形， ∴DE＝AB＝12cm，BE＝AD＝4cm，CE＝3cm， ∴， 过点Q2作Q2F⊥AB于点F， ∴四边形AFQ2D是矩形， ∴AF＝Q2D，AD＝Q2F＝4cm， ∵Q2C＝2t，PA＝t， ∴AF＝Q2D＝15﹣2t， ∴PF＝t﹣（15﹣2t）＝3t﹣15， ∵PQ2＝BC＝5cm， ∴， ∴3t﹣15＝3， 解得t＝6（s）， 故当t＝4秒或t＝6（s）时，PQ＝BC． （2）当∠DQ2P＝90°时， 根据题意，得Q2C＝2t，PA＝3，四边形APQ2D是矩形， ∴Q2D＝PA＝3， ∴Q2C＝15﹣3＝12， ∴2t＝12， 解得t＝6（s）， 当∠DPQ1＝90°时， 过点Q1作Q1G⊥AB于点G，过点B作BE⊥CD于点E， ∴四边形GBEQ1是矩形， ∴GB＝Q1E，EC＝3， ∵Q1C＝2t，PA＝3， ∴GB＝Q1E＝2t﹣3，PG＝12﹣3﹣2t+3＝12﹣2t，DQ1＝15﹣2t， ∴AD＝Q1G＝4，， ∴（15﹣2t）2＝52+42+（12﹣2t）2， 解得． 综上所述，当或t＝6（s）时，△DPQ为直角三角形． 【题型7 矩形中求最值问题】 29．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A． B． C． D． 【分析】取AB中点E，连接OE、DE、OD，求出OE和DE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE． 【解答】解：如图，取AB中点E，连接OE、DE、OD， ∵∠MON＝90°， ∴OEAB＝2． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝2， ∵点E是AB的中点， ∴AEAB＝2， 在Rt△DAE中，DE2， 在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD， ∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝22． 故选：A． 30．如图，，点D在AB上，△ACD是边长为30的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．15 B． C． D． 【分析】如图，连接AO，由矩形的对角线互相平分且相等，得CO＝DO，再由等边三角形的性质得AC＝AD，即可证得点O在CD的垂直平分线上，再根据等腰三角形“三线合一”性质，得，根据垂线段最短，得当BO⊥AO时，BO的值最小，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得出答案． 【解答】解：如图，连接AO， ∵四边形CDGH是矩形，对角线CG，DH的交点为O， ∴CO＝DO， ∴点O在CD的中垂线上， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴AO垂直平分CD， ∴AO平分∠CAD，， ∴当BO⊥AO时，BO的值最小， ∴此时∠AOB＝90°， ∵∠OAB＝30°，， ∴， 故选：B． 31．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝BQ，连接CP、QA，则PC+QA的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QA＝PC+PB，则PC+QA的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【解答】解：如图，连接BP，PQ， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴AP∥BQ， ∵AP＝BQ， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∴四边形ABQP是矩形， ∴QA＝PB， 则PC+QA＝PC+PB，则PC+QA的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， 连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5， ∴CE13． ∴PC+QA的最小值为13． 故选：D． 32．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　 ． 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可． 【解答】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2CE． 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1PCF． ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2． ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°． ∴∠DP2P1＝90°． ∴∠DP1P2＝45°． ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长． 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2， ∴BP1＝2 ∴PB的最小值是2． 故答案为：2． 33．新定义：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点”，m+n＝p+q＝k，称k为等和．例如：点P（4，2），点Q（1，5），因4+2＝1+5＝6，则点P与点Q就是和等点，6为等和．如图在长方形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，若长方形GHMN的边上存在不同的两个点P、Q，这两个点为和等点，等和为4，则PQ的长为 　　 ． 【分析】设点P（m，n），点Q（p，q），由题意可得，m+n＝p+q＝4，P（m，4﹣m），Q（p，4﹣p），可知点P，Q均在直线y＝﹣x+4上，在坐标系中可作出直线y＝﹣x+4，则直线y＝﹣x+4与矩形的交点即为点P，Q，求出P，Q的坐标即可得出结论． 【解答】解：设点P（m，n），点Q（p，q）， 由题意可得，m+n＝p+q＝4， ∴P（m，4﹣m），Q（p，4﹣p）， ∴点P，Q均在直线y＝﹣x+4上， 在坐标系中可作出直线y＝﹣x+4，则直线y＝﹣x+4与矩形的交点即为点P，Q， ∴令y＝3时，x＝1，令x＝2时，y＝2， ∴P（1，3），Q（2，2）或P（2，2），Q（1，3）， ∴PQ． 故答案为：． 34．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（1，0），C（1，2）．点P到△ABC的距离定义如下：点Q为△ABC三边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到△ABC的距离，记为d（P，△ABC）．已知矩形DEFG的四个顶点依次是D（﹣2，3），E（﹣2，﹣2），F（2，﹣2），G（2，3），若点P在矩形DEFG的四条边上，则满足d（P，△ABC）的点P有 　 个． 【分析】由点P到△ABC的距离定义，分情况讨论，即可解决问题． 【解答】解：由矩形DEFG的顶点坐标，Rt△ABC的顶点坐标，勾股定理得到： P和G重合时，P的坐标是（2，﹣1），（﹣2，﹣1），（﹣2，1），（0，3）时，d（P，△ABC）． ∴满足d（P，△ABC）的点P有5个． 故答案为：5． 35．定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． （1）当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为 　 度； （2）如图，在沙漏四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，满足AB+CD＝BD，且AB⊥BD，过点B、D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足为E、F，连接DE、BF，所得四边形BEDF也是沙漏四边形．若BE＝1，求BC的长以及△BFC的面积． 【分析】（1）如图矩形ABCD是沙漏四边形，设AC＝2x＝AC+CD＝x+x，则∠DAC＝30°，推出∠ACD＝60°，得出∠DOC＝60°，所以两条对角线的夹角是60°； （2）根据AB⊥BD，得出∠ABO＝90°，因为四边形ABCD是沙漏四边形，推出AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，根据AB+CD＝BD＝OB+OD，得出AB＝OB＝OD＝CD，又因为AB∥CD，∠ABO＝90°，所以∠ABO＝∠CDO＝90°， 因为BE⊥AO，DF⊥OC，AB＝OB＝OD＝CD，则∠BEO＝∠DFO＝90°，∠EBO＝∠FDO＝45°，，，所以∠EBO＝∠EOB＝∠FDO＝∠FOD＝45°，因为四边形BEDF是沙漏四边形，推出OE＝OF＝BE，则BE＝EO＝OF＝CF＝1， 则EC＝3BE＝3，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+EC2＝12+32＝10，则，根据面积公式计算即可． 【解答】（1）如图矩形ABCD是沙漏四边形， 设AC＝2x＝AC+CD＝x+x， ∴∠DAC＝30°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠DOC＝60°， ∴两条对角线的夹角是60°； （2）证明：∵AB⊥BD， ∴∠ABO＝90°， ∵四边形ABCD是沙漏四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD ∵AB+CD＝BD＝OB+OD， ∴AB＝OB＝OD＝CD， ∵AB∥CD，∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠CDO＝90°， ∵BE⊥AO，DF⊥OC，AB＝OB＝OD＝CD， ∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∠EBO＝∠FDO＝45°，，， ∴∠EBO＝∠EOB＝∠FDO＝∠FOD＝45°， ∵四边形BEDF是沙漏四边形， ∴OE＝OF＝BE， ∴BE＝EO＝OF＝CF＝1， ∴EC＝3BE＝3， 在Rt△BEC中，BC2＝BE2+EC2＝12+32＝10， ∴， . 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$