精品解析：河南省郑州市金水区2024-2025学年九年级下学期第一次联考数学试题试卷

郑州市金水区2024-2025学年九年级下学期联考试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，求一个数的相反数；由数轴知点A表示数3，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知点A表示数3，而3的相反数为； 故选：A． 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 4. 下列问题适合普查的是（ ） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全省九年级学生的视力情况 C. 神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 D. 了解黄河的水质情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可得答案． 【详解】解：A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； B、了解全省九年级学生的视力情况，范围广，人数众多，不易调查，适合抽样调查，不符合题意； C、神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，涉及安全性，事关重大，适合普查，符合题意； D、了解黄河的水质情况，范围广，不易调查，适合抽样调查，不符合题意； 故选：C。 5. 对任意整数，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】∵， ∴故一定能被4整除， 故选B． 6. 在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的平移中坐标变化规律，掌握点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减是解题的关键． 【详解】解：将点向左平移2个单位，再向上平移1个单位， 所得到的点的坐标为， 即， 故选：B． 7. 若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程的定义，掌握分类讨论思想是关键．由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答． 【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时， 方程有解，则， 综上：当时，方程有实数根． ∴四个数中,不符合要求的值是2， 故选：A． 8. 如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质、圆的内接四边形性质，根据弧中点的定义可得进而得到，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵点A是中优弧的中点， ∴ ∴， ∴， 又∵C为劣弧上一点， ∴， 故选：D． 9. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 生物兴趣小组在研究校园内银杏树植株年内的高度时，将得到的数据通过描点、连线得到相应的图像如图所示．现要根据这些数据选用合适的函数模型来描述植株在年内的生长规律．若选择的函数模型是，则a______0，b______0；若选择的函数模型是，则a______0，b______0．以上四处填入的不等号依次为（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键． 根据二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质即可得． 【详解】解：若选择，由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴， 若选择函数，由函数图象可知，将反比例函数的图象从第四象限向上平移b个单位即可得到函数的图象 ； 则依次填入的不等号为，，，， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大小在和之间的整数是_________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算，，故符合题意的整数满足，写出一个即可，本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键． 【详解】∵，， ∴符合题意的整数满足， ， 故答案为：2． 12. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正六边形， 故答案为：六． 13. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和两名女同学表现优异．若从以上三名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表格法求概率，以及概率公式，解题的关键是掌握求概率的方法进行解题． 由题意列出表格，然后根据概率公式，即可求出答案． 【详解】解：列表如下， 女 女 男 女 女，女 女，男 女 女，女 女，男 男 男，女 男，女 共有6种等可能结果，其中符合题意的有4种， ∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是， 故答案为：． 14. 将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点B，C的读数分别为，若该量角器所在半圆的直径为，则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，连接，先求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】如图，连接． 由题意，， 又该量角器所在半圆的直径为， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案， 【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即， 在中，， ∴． ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴ 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴和均为等腰三角形，且， ∴， 由得到，则， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是正方形， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算： （1）先进行零指数幂，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先进行单项式乘以多项式，完全平方公式的计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 17. 某校为了了解九年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93． 【整理数据】 班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 乙 90 87 b 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：________，_______ （2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人． （3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）． 【答案】（1）100，91 （2）估计参加防疫知识测试的600名学生中成绩为优秀的学生共有380人 （3）甲班成绩较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的概念，用样本估计总体，用平均数和方差做决策； （1）根据众数和中位数的概念进行求解即可； （2）根据总人数乘以样本中的优秀率即可求得； （3）根据平均数和方差进行分析描述即可． 【小问1详解】 甲班15名学生测试成绩100出现次数最多， 众数是100分，则分； 把乙班15个数按从小到大排列，则中位数是第8个数，即中位数出现在 这一组中，故分 故答案为：100，91． 【小问2详解】 根据题意得：（人）， 答：估计参加防疫知识测试的900名学生中成绩为优秀的学生共有380人． 【小问3详解】 甲班成绩较好，理由如下： 因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是． （1）求出这两个函数的表达式，并直接写出这两个函数图象的另一个交点的坐标． （2）写出使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围． （3）点在正比例函数的图象上，点，点，点都在反比例函数的图象上，比较，，，的大小关系，并用“<”连接． 【答案】（1），，这两个函数图象的另一个交点的坐标是 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，正比例函数与反比例函数的图象及性质，正比例函数与反比例函数的交点问题． （1）把代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可解答，解两函数组成的方程组即可得到另一交点坐标； （2）根据函数图象即可解答； （3）分别求出，，，，即可解答． 【小问1详解】 ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都过点， ∴，， ∴正比例函数为，反比例函数为． 解方程组得，， ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为； 【小问2详解】 由图象可得，反比例函数大于正比例函数的x的取值范围为或． 【小问3详解】 ∵在正比例函数的图象上， ∴， ∵点，点，点都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴． 19. 阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2） 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 【答案】（1）依据1：圆的切线垂直于过切点的半径；依据2：直径所对的圆周角是直角 （2），，， （3）2 【解析】 【分析】（1）利用圆切线的性质及圆周角定理的推论即可解决； （2）通过根据同角的余角相等得到，再利用说明即可； （3）在中，先求出，利用角对的直角边等于斜边的一半即可解决． 【小问1详解】 解：与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角； 【小问2详解】 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ， ， ； 【小问3详解】 解：弦切角， 由（2）可知：， ， 为直径， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键． 20. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 【答案】（1）47° （2）3.3米 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可； （2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可． 【小问1详解】 解：，， ， 答：的度数是． 【小问2详解】 解：在Rt△ABC中，， ∴． 同理，在Rt△ADC中，有． ∵， ∴． ∴， ∴（米）． 答：表AC的长是3.3米． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决． 21. 2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护黄河，远离雾霾” 植树节活动． 已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元，用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗的售价打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，最多可购买多少棵甲种树苗？ 【答案】（1）每棵甲种树苗40元，每棵乙种树苗30元 （2）学校最多可购买甲种树苗33棵 【解析】 【分析】本题考查分式方程及一元一次不等式的实际应用，涉及解分式方程、解一元一次不等式等知识，读懂题意，根据等量关系及不等关系列式求解是解决问题的关键． （1）设乙种树苗每棵元，则甲种树苗每棵元，读懂题意，由等量关系列分式方程求解即可得到答案； （2）设可购买棵甲种树苗，读懂题意，列一元一次不等式求解，结合实际意义取值即可得到答案 【小问1详解】 解：设乙种树苗每棵元，则甲种树苗每棵元， 根据题意得，解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：每棵甲种树苗40元，每棵乙种树苗30元； 【小问2详解】 解：设可购买棵甲种树苗，根据题意得，解得， 根据实际意义，取正整数，则最大取33， 答：学校最多可购买棵甲种树苗33棵． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为 ，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求关于x的函数解析式； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值． 【答案】（1） （2）当时，面积差的最大值为 （3）b的值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相等列出方程，根据求解即可． 【小问1详解】 解：由图象得，经过点C，E， 点C的横坐标为1，点E的横坐标为4， 当时，，当时，， ，， 经过经过点，， ，解得， ； 【小问2详解】 由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为． 【小问3详解】 水池3与水池2的面积相等， ， 整理得，， x有唯一值， ，解得，， 答：b的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质，求函数解析式，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键． 23. 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____． 结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： （1）将【阶段一】中的①~④分别补充完整． （2）分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． （3）完成对【阶段二】中活动二的研究． 【答案】（1）①a2；②；③不存在；④等边三角形（答案不唯一，如圆） （2）思路一：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 ∴， 整理得：， ∴， ∴原方程组无解，则不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 思路二：如图，函数与的图象如下： ∵两个函数图象没有交点， ∴无解， ∴不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； （3）当时，存在 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，矩形，正方形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，相似多边形的性质，选择合适的方法解题是关键； （1）①直接利用面积公式计算即可；②由所有的正方形是相似图形，结合相似图形的性质可得答案；③根据②的探究下结论即可；④仿照正方形的探究方法，探究等边三角形即可； （2）思路一：把方程组消元得到一元二次方程，利用根的判别式的情况可得答案；思路二：分别画出两个函数的简易图象，根据交点的情况判定即可； （3）根据前面的探究方法建立方程组，根据判别式大于或等于0可得成立的条件． 【小问1详解】 解：①新正方形的边长为，此时新正方形的面积是； ②正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的； ③总结可得：不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． ④除正方形外，上面的结论对等边三角形也成立； ∵等边三角形都是相似图形，新的等边三角形的面积为原来等边三角形的面积的， ∴新的等边三角形与原来等边三角形的相似比为， 而新的等边三角形的周长为原来等边三角形的周长的， ∴此时新的等边三角形原来等边三角形的相似比为， ∴不存在一个新等边三角形，其周长和面积都为给定等边三角形周长和面积的． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵矩形的长和宽分别为m和n， ∴矩形的周长为，面积为， ∴新的矩形的周长为，面积为， 设新矩形长和宽为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 存在新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为和的矩形周长和面积的； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市金水区2024-2025学年九年级下学期联考试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 4. 下列问题适合普查的是（ ） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全省九年级学生的视力情况 C. 神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 D. 了解黄河的水质情况 5. 对任意整数，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 6. 在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 8. 如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 10. 生物兴趣小组在研究校园内银杏树植株年内的高度时，将得到的数据通过描点、连线得到相应的图像如图所示．现要根据这些数据选用合适的函数模型来描述植株在年内的生长规律．若选择的函数模型是，则a______0，b______0；若选择的函数模型是，则a______0，b______0．以上四处填入的不等号依次为（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大小在和之间的整数是_________． 12. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 13. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和两名女同学表现优异．若从以上三名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是________________． 14. 将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点B，C的读数分别为，若该量角器所在半圆的直径为，则弧的长为______． 15. 如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为____． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简： 17. 某校为了了解九年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93． 【整理数据】 班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 乙 90 87 b 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：________，_______ （2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人． （3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是． （1）求出这两个函数的表达式，并直接写出这两个函数图象的另一个交点的坐标． （2）写出使反比例函数大于正比例函数的x的取值范围． （3）点在正比例函数的图象上，点，点，点都在反比例函数的图象上，比较，，，的大小关系，并用“<”连接． 19. 阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2） 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 20. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 21. 2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护黄河，远离雾霾” 植树节活动． 已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元，用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗的售价打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，最多可购买多少棵甲种树苗？ 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为 ，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求关于x的函数解析式； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值． 23. 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____． 结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： （1）将【阶段一】中的①~④分别补充完整． （2）分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． （3）完成对【阶段二】中活动二的研究． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $