精品解析：江西省丰城中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

丰城中学2024-2025学年下学期高二第一次月考试卷 数 学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.） 1. 在数列中，第9个数是（ ） A. B. 3 C. D. 10 2. 已知数列，满足，若，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 等差数列中，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. 8 D. 15 4. 给出下列关系：其中具有相关关系的是（ ） ①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙； ③水稻产量与气候； ④正方形的边长与正方形的面积. A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①③ 5. 设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（ ） A ， B. ， C. D. 6. 设无穷等比数列所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，为其首项，则（     ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A 9 B. 18 C. 27 D. 54 8. 过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，有错选的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 10. 公差为的等差数列满足,则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的前项和为 11. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（ ） A. ∠AGC的角度不会发生变化 B. 二面角大小不可能为 C. AC与平面ABFG所成的角变小 D. AC与EF所成的角先变小后变大 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若等比数列的前项和为，且，则______. 13. 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：，，，） 14. 反棱柱（Antiprism）是由两个互相平行且边数相同的多边形作为底面和侧面的三角形所组成的一个多面体.如图所示的是一个“正三角反棱柱”，上下底面都是边长为1的正三角形，侧面的三角形都是腰长为的等腰三角形，则其外接球的体积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列，且． （1）求通项公式； （2）若数列的前项和为，求的最小值． 16. 随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示： （1）根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ 男 女 合计 了解 150 240 不了解 90 合计 参考公式：，． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 （2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 17. 如图，四边形是直角梯形，满足平面为的中点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在递增的等比数列中，，，为等差数列的前项和，，. （1）求、的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点 （1）求双曲线的标准方程． （2）如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年下学期高二第一次月考试卷 数 学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.） 1. 在数列中，第9个数是（ ） A. B. 3 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】观察分析可得数列通项为. 【详解】观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为，即3． 故选：B 2. 已知数列，满足，若，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用递推公式计算出数列的前几项，找出数列的周期，然后利用周期性求出的值. 【详解】由，且 则，， 所以，即数列是以3为周期的周期数列 所以 故选：A 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. 5 B. 3 C. 8 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解，由可得，又，即可得解. 【详解】由等差数列的性质可得：，则， 又，所以. 故选：A. 4. 给出下列关系：其中具有相关关系的是（ ） ①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙； ③水稻产量与气候； ④正方形的边长与正方形的面积. A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关关系的定义进行判断即可. 【详解】考试号只是确定考生考试的位置与考试成绩无关，则①错误； 勤能补拙具有相关关系，水稻产量与气候具有相关关系，则②③正确； 正方形的边长与正方形的面积是函数关系，则④错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断是否具有相关关系，属于基础题. 5. 设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，分、两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的的取值范围，即可得出结论. 【详解】因为，若，则数列为摆动数列，与题意不符，所以，. ①若，则对任意的，，由可得，即； ②若，则对任意的，，由可得，此时. 所以，为递增数列的充要条件是，或， ， 当，时，，则； 当，时，，则 因此，数列为递增数列的充要条件是. 故选：C. 6. 设无穷等比数列所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，为其首项，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式及指数函数的性质求解即可. 【详解】由题意，设无穷等比数列的公比为,则， 且时，， 则，解得. 故选：A. 7. 已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得首项，进而可得，将不等式转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】由则， 所以， 故由可得， 所以， 由于，当且仅当，即时等号成立， 故， 故选：D 8. 过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y，由k＝1得到，即．由k＝3得到，即，再求离心率的范围． 【详解】双曲线右焦点为，设过右焦点的直线为， 与双曲线方程联立消去y可得到： ， 由题意可知，当k＝1时，此方程有两个不相等的异号实根， ∴，得0＜a＜b，即； 当k=3时，此方程有两个不相等的同号实根， ∴，得0＜b＜3a，； 又， ∴离心率的取值范围为． 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，有错选的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，得到表为等比数列，进而求得数列的通项公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得，则， 又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 由，所以A不正确； 由，即，所以递增数列，所以B正确； 由，所以C错误； 由，，所以，所以D正确. 故选：BD. 10. 公差为的等差数列满足,则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的前项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件,求出等差数列的首项和公差,从而得到的通项公式,判断选项;将的通项公式代入,再利用裂项法求前项和,即可判断选项. 【详解】为等差数列, 错误,正确； , 的前项和为正确,错误. 故选:BC. 11. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（ ） A. ∠AGC的角度不会发生变化 B. 二面角的大小不可能为 C. AC与平面ABFG所成的角变小 D. AC与EF所成的角先变小后变大 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断A，D；求出平面的一个法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C；求出平面的法向量以及平面的法向量，利用空间向量数量积即可求解B. 【详解】以为原点，，，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为，， ，，，，，， 对于A，，， 则， 故的角度不会发生变化，所以A正确； 对于B，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 要使二面角的大小为， 则，即， 所以二面角的大小可能为，故B错误； 对于C，平面的一个法向量为，， 设与平面所成的角为， ， ，则单调递减，单调递减， 所以与平面所成的角变小，故C正确； 对于D，设与所成的角为， ，， ， 对称轴为，且，所以先减小后增加， 所以先增加再减小，即与所成的角先变小后变大，故D正确. 故选：ACD. 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若等比数列的前项和为，且，则______. 【答案】511 【解析】 【分析】根据等比数列前n项和片段和的性质列式计算即可. 【详解】因为等比数列中成等比数列， 所以成等比数列，所以， 即，解得. 故答案为：511 13. 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：，，，） 【答案】176 【解析】 【分析】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元，则由题意得，解方程可求得答案 【详解】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元， 则， ，… ． 因为，所以， 解得， 即每期应付款176元． 故答案为：176 14. 反棱柱（Antiprism）是由两个互相平行且边数相同的多边形作为底面和侧面的三角形所组成的一个多面体.如图所示的是一个“正三角反棱柱”，上下底面都是边长为1的正三角形，侧面的三角形都是腰长为的等腰三角形，则其外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反棱柱的定义，知“正三角反棱柱”可以分割成两个四棱锥，四棱锥的底面为边长分别为1，的矩形，且外接球直径等于此矩形的对角线，从而即可求解. 【详解】解：不难知，“正三角反棱柱”为八面体，该八面体可以分割成如图所以两个四棱锥和，由反棱柱的定义及“正三角反棱柱”的对称性有且，所以四边形为平行四边形，又由“正三角反棱柱”的对称性知四边形的对角线，所以四边形为矩形，且边长分别为1，；同理可得四边形为矩形，且边长分别也为1，；由矩形的性质有，两矩形的公共对角线的中点到各顶点的距离相等，即矩形对角线为外接球的直径， 所以外接球的直径，解得，所求外接球的体积. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）-105 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程，解方程得到，然后写通项即可； （2）根据等差数列求和公式得到，然后借助二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 设的公差为，则，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，得． 当时，有最小值-105． 16. 随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示： （1）根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ 男 女 合计 了解 150 240 不了解 90 合计 参考公式：，． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 （2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完成列联表，利用公式求解即可得结论. （2）利用超几何分布求解对应概率，得出分布列即可得出结果. 【小问1详解】 根据题意，得到列联表为： 男 女 合计 了解 150 90 240 不了解 70 90 160 合计 220 180 400 零假设为：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联. 根据列联表中数据，可以求得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. 【小问2详解】 （2）从男生中抽取：（人）， 从女生中抽取：（人）. 的所有可能取值为，，，， ， ， 的分布列为： 所以.. 17. 如图，四边形是直角梯形，满足平面为的中点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，进而证明四边形是平行四边形即可得，再根据判定定理即可证明； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 为的中点， ， 又∵， ， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵平面平面， 平面. 【小问2详解】 解：由题知，三条直线两两相互垂直， 以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，则，故， 又，故， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则,令，可得， 易知为平面的一个法向量， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在递增的等比数列中，，，为等差数列的前项和，，. （1）求、的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据、得出，然后通过计算得出以及，再然后根据、得出以及，最后根据等差数列通项公式即可得出结果； （2）本题首先可结合（1）得出以及，然后写出以及的表达式，最后通过错位相减法求和即可得出结果. 【详解】（1）设递增的等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 故，， 因为，， 所以，，， 故，， （2）因为，所以，， 则，， 故 ， 故. 【点睛】错位相减法求和方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解，在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 19. 已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点 （1）求双曲线的标准方程． （2）如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由题意设：，将代入解方程即可得出答案. （2）设，，，设，表示出点坐标，代入：方程，即可求得，进一步求出的坐标，而，而，代入化简结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由题意设：， 将代入得到， ∴曲线：． 【小问2详解】 设，，，， 则（*） 设，则， 解得：， 代入：方程，得， 结合（*）式可知 由于，则，所以． 所以是、的中点，． 因为四边形是矩形，，， 所以为四边形的中心，所以， 在与中，，分别以为底时，高相同， 所以， 则， 因为过双曲线上一点的切线方程为， 所以直线的方程为：即， 因为，所以，令，所以， ，， 令，， 令，． 当且仅当，即，，时，取得最小值． 【点睛】关键点睛：建立的面积与的表达式至关重要，可利用，的坐标和三角形面积公式，以为桥梁得出与的表达式，最后根据基本不等式可求得面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $