精品解析：福建省厦门第一中学2024——2025学年下学期3月份 学业调研评估九年级数学试题

福建省厦门第一中学2024——2025学年度第二学期3月份 学业调研评估初三年数学学科练习 (满分150分，考试时间120分钟) 考生注意:所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 注意事项:1．答案一律写在答题卡上，否则不得分2．可直接用2B铅笔画图． 一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分) 1. 实数6的相反数是（ ） A. B. 9 C. D. 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 的展开式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某超市的自动扶梯高为4米，坡角为，则扶梯长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则 的值可以为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，连接，点分别在上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 二．填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11. _______． 12. 分解因式∶________． 13. 将867000用科学记数法表示为________． 14. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 15. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为_____     16. 如图，⊙O的半径为2，弦BC=，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高CD、BE相交于点F，延长BE与⊙O交于点G，连接ED．下列四个结论：①∠BAC始终为60°；②EF=EG；③当△ABC为锐角三角形时，ED=2；④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题(本大题有8小题，共86分) 17. 计算∶ 18. 如图，点是线段的中点，．求证：． 19. 先化简， 再求值：，其中． 20. 数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）当时，求V的值． 21. 如图，在中，，点D在延长线上，且 ，过点D作射线 ． （1）求作：，使得点E落在射线 上，且 （保留作图痕迹，不写作法，不必证明）； （2）连接，求 ． 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）： （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1860元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 已知二次函数 的图象交x轴于点，点，交y轴于点 ，连接 （1）求该抛物线的对称轴； （2）点P是抛物线上一动点，且在直线的上方(不与B，C重合)，连接， ①求面积的最大值； ②若，求 的取值范围． 24. 根据以下素材，探索完成任务： 素材1：中国食品标签营养素参考值（）是指导正常成年人保持健康体重和正常活动的标准．在国家标准中，能量和主要营养素的日推荐摄入量如表1所示： 表1：营养素参考值（） 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 表2： A品牌纯牛奶营养成分表 项目 每 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 素材2：《中华人民共和国食品安全法》规定：预包装食品的包装上应当标示主要营养成分及其含量．根据《预包装食品营养标签通则》规定，营养成分表上必须标示能量和核心营养素的名称、含量及．其中，的含义为每份（如）食品中营养素的含量占该营养素每日摄入量的比例（通常精确到），计算公式为：每份食品中营养素的含量该营养素的营养素参考值． 表2是A品牌纯牛奶（净含量：）的营养成分表． 素材3：超滤牛奶是采用超滤膜过滤掉牛奶中的水和脂肪等成分，保留蛋白质、钙等成分，将牛奶纯化、浓缩，达到高蛋白条件的牛奶品类． 任务一：请写出表2中a与b的关系式： ； 任务二：营养师建议：早餐的营养至少占全天营养的 ．某天早晨，小颖食用了一瓶A品牌牛奶和面包．妈妈说：“孩子，再吃个鸡蛋．”小颖答：“不吃了，早上营养够了．”已知每面包中蛋白质的为，请从蛋白质的角度分析，小颖的说法是否正确． 任务三：某实验室利用超滤工艺对A品牌纯牛奶进行过滤．经过两次过滤后牛奶还剩，且第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率是第一次的倍（过滤过程不考虑蛋白质流失）．某工厂应用该实验室的超滤工艺对A品牌纯牛奶进行一次过滤后生产出高蛋白牛奶，请问这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的应标示多少？ 25. 在中，，是的外接圆，D为直径延长线上一点．， E是上一动点，点E均不与点 A，B，C重合． （1）如图1， 连接交直径于点 F， 若，求证：是的切线； （2）若的半径为5，当的值最小时，求的值； （3）在(1)的条件下，用一个等式表示线段的关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2024——2025学年度第二学期3月份 学业调研评估初三年数学学科练习 (满分150分，考试时间120分钟) 考生注意:所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 注意事项:1．答案一律写在答题卡上，否则不得分2．可直接用2B铅笔画图． 一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分) 1. 实数6的相反数是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可得出答案． 【详解】解：6的相反数是． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 3. 的展开式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用完全平方公式把原式展开即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；根据及点可得点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且，点， ∴，即； 故选A． 6. 如图，某超市的自动扶梯高为4米，坡角为，则扶梯 长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），已知正弦值求边长等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 米， 故选：． 7. 某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题干中的等量关系列式即可． 【详解】解：根据两组平均每人植树的棵树相等可得，． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则 的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到 值的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：，， ∴，即：， ∴ 的值可以为； 故选C． 9. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，连接，点分别在上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．设交于点P，根据正方形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点P， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 10. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知，故可得出ADOB，所以，故，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵△AOB和△ACD均为正三角形， ∴， ∴ADOB， ∴， ∴， 过点B作BE⊥OA于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 二．填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，直接作答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 将867000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将867000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 15. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为_____     【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形、平行四边形等知识点，关键是由矩形、平行四边形的面积推出成为解题的关键． 由矩形、平行四边形的面积得到，再根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图，作于H， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，⊙O的半径为2，弦BC=，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高CD、BE相交于点F，延长BE与⊙O交于点G，连接ED．下列四个结论：①∠BAC始终为60°；②EF=EG；③当△ABC为锐角三角形时，ED=2；④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①延长CO交⊙O于点H，连接BH，根据圆周角推论得：，在直角三角形CHB中，运用三角函数进行解答即可得；②连接CG，根据，和三角形内角和定理，等量代换可得，再用ASA证明 ，即可得；③根据和得：，即可得；④取BC中点H，连接EH，DH，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进行解答即可得． 【详解】解：①如图所示，延长CO交⊙O于点H，连接BH， ∴， ∵CH为⊙O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②如图所示，连接CG， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 和中， ∴ （ASA）， ∴EF=EG， 故②正确； ③∵，, ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ④如图所示，取BC中点H，连接EH，DH， 在中， ，BH=CH， ∴， 在中，，BH=CH， ∴， ∴EH=DH， ∴点H在线段DE的垂直平分线上， 即线段ED的垂直平分线必平分弦BC， 故④正确； 综上，①②④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质和到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，综合性较强，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 三、解答题(本大题有8小题，共86分) 17. 计算∶ 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、算术平方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据零次幂、负整数次幂、算术平方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，点是线段 的中点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，确定用定理进行证明是解题的关键． 根据中点定义求出，又，即可证明和 全等，再利用全等三角形的对应角相等进行解答． 【详解】证明：点是线段 的中点， ． 在与中 ， ， ． 19. 先化简， 再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）当时，求V的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，即可解答， 熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，代入，可得， 解得：． 21. 如图，在中，，点D在延长线上，且 ，过点D作射线 ． （1）求作：，使得点E落在射线 上，且 （保留作图痕迹，不写作法，不必证明）； （2）连接，求 ． 【答案】（1） 就是所求作的三角形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，求角的正切值，正确作出 是解答本题的关键． （1）作 即可得出 ． （2）由 ， 得，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：作 可得， 所以，就是所求作的三角形． 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ∴． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴． 在中，， ∴． 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，超市第一周卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，第二周卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）： （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7480元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1860元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为 元，元； （2）A种型号的电风扇最多能采购 台； （3）能，采购A种型号的电风扇 台，B种型号的电风扇台， 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元，根据“卖出3台A种型号和4台B种型号电风扇销售额为1200元，卖出5台A种型号和6台B种型号电风扇销售额为1900元”列方程组求解即可； （2）设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台，根据“不多于7480元的金额采购”列一元一次不等式求解即可； （3）根据“利润销售收入进货成本”列一元一次不等式，求出的取值范围，再结合（2）的结果确定的取值即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元， 由题意得：，解得：， 答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为 元，元； 【小问2详解】 解：设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的电风扇最多能采购 台； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：， 由（2）可知，，且为正整数， 的取值为 ， 台， 即采购A种型号的电风扇 台，B种型号的电风扇台，能实现利润超过1860元的目标． 23. 已知二次函数 的图象交x轴于点，点，交y轴于点 ，连接 （1）求该抛物线的对称轴； （2）点P是抛物线上一动点，且在直线的上方(不与B，C重合)，连接， ①求面积的最大值； ②若，求 的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）直接利用抛物线的对称性即可确定抛物线的对称轴； （2）①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出直线的解析式，如图：过点P作轴于点R，交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，由，然后结合二次函数的性质即可解答；②根据轴，轴，推出，在中，由即可得解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴抛物线的对称轴为直线，即直线； 【小问2详解】 解：①∵二次函数的图象经过点，点， ∴二次函数的表达式可写为． ∵点在抛物线上， ，解得：， ∴二次函数的表达式为． 设直线的表达式为， 把和代入，得： ，解得：， ∴直线的表达式为． 如图：过点P作轴于点R，交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为，． ∴， ． ∵动点P在直线的上方（不与B，C重合）， ． ∴当时， 面积取得最大值，最大值是． ②∵轴， ∴轴， ． ∴ ∵，， 在中， ， ∵， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与面积综合、二次函数与角度综合问题、待定系数法求抛物线解析式、抛物线的最值、解直角三角形等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 24. 根据以下素材，探索完成任务： 素材1：中国食品标签营养素参考值（）是指导正常成年人保持健康体重和正常活动的标准．在国家标准中，能量和主要营养素的日推荐摄入量如表1所示： 表1：营养素参考值（） 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 表2： A品牌纯牛奶营养成分表 项目 每 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 素材2：《中华人民共和国食品安全法》规定：预包装食品的包装上应当标示主要营养成分及其含量．根据《预包装食品营养标签通则》规定，营养成分表上必须标示能量和核心营养素的名称、含量及．其中，的含义为每份（如）食品中营养素的含量占该营养素每日摄入量的比例（通常精确到），计算公式为：每份食品中营养素的含量该营养素的营养素参考值． 表2是A品牌纯牛奶（净含量：）的营养成分表． 素材3：超滤牛奶是采用超滤膜过滤掉牛奶中的水和脂肪等成分，保留蛋白质、钙等成分，将牛奶纯化、浓缩，达到高蛋白条件的牛奶品类． 任务一：请写出表2中a与b的关系式： ； 任务二：营养师建议：早餐的营养至少占全天营养的 ．某天早晨，小颖食用了一瓶A品牌牛奶和面包．妈妈说：“孩子，再吃个鸡蛋．”小颖答：“不吃了，早上营养够了．”已知每面包中蛋白质的为，请从蛋白质的角度分析，小颖的说法是否正确． 任务三：某实验室利用超滤工艺对A品牌纯牛奶进行过滤．经过两次过滤后牛奶还剩，且第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率是第一次的倍（过滤过程不考虑蛋白质流失）．某工厂应用该实验室的超滤工艺对A品牌纯牛奶进行一次过滤后生产出高蛋白牛奶，请问这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的应标示多少？ 【答案】任务二：（或或等）；任务二：小颖的说法不正确，理由见解析；任务三：这款高蛋白牛奶的应标示 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，列关系式，有理数的混合运算，找准等量关系列方程是解题的关键． 任务一：根据每份食品中营养素的含量该营养素的营养素参考值列关系式即可； 任务二：求出小颖摄入的蛋白质量，和早晨需要摄入蛋白质的量比较即可； 任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为，根据题意列一元二次方程解题即可． 【详解】解：任务一：表2中a与b的关系式为：， 故答案为：； 任务二：小颖食物摄入的蛋白质为， 而早晨需摄入蛋白质为， ∵， ∴小颖的说法不正确； 任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为，那么第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率为， 因为牛奶总量从经过两次过滤后变成，相当于牛奶总量变为原来的，但蛋白质的量不变， 可以把最初牛奶中蛋白质的含量看作单位，第一次过滤后蛋白质含量为， 第二次过滤后蛋白质含量为， 而经过两次过滤后牛奶总量变为原来的，即蛋白质的含量也变为了原来的倍，因此可以列出一元二次方程：， 解得：（舍去）； 故第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为； 原来品牌纯牛奶每中蛋白质的为，经过一次过滤后，蛋白质占比上升，则高蛋白牛奶中蛋白质的为：， 即这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的应标示为． 25. 在中，，是的外接圆，D为直径 延长线上一点．， E是上一动点，点E均不与点 A，B，C重合． （1）如图1， 连接交直径 于点 F， 若，求证：是的切线； （2）若的半径为5，当的值最小时，求的值； （3）在(1)的条件下，用一个等式表示线段的关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图：连接，则， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴是的切线； （2） （3） 解：，证明如下： 如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，则，由等腰三角形的性质可得 ，再根据等腰直角三角形的性质以及圆周角定理可得，再运用等腰三角形的性质、对顶角的性质以及等量代换可得，再根据结合等量代换说明 即可证明结论； （2）如图：连接与圆交于点，由两点之间线段最短可知：此时的值最小，连接，过作于G，则，易证可得；根据题意圆的性质可得、；设，则；再运用正切函数可得 ，易得，再根据列方程可得，进而求得即可解答； （3）如图：连接，由圆周角定理、等腰直角三角形性质、直角三角形性质可得，再证明可得，即，进而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接与圆交于点，由两点之间线段最短可知，当点重合时，的值最小，连接，过作于G，则， ∴， ∴， ∵的半径为5，， ∴， ∴， 设，则 ∵， ∴，即 ， ∴， ∵， ∴，解得：或5（不符合题意舍弃） ∴； ∴当的值最小时，的值为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定、正切函数、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $