精品解析：江苏省南通市如东县实验中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2024—2025学年度第二学期第一次阶段性测试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在实数，1，0，中，最小的数是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 第七次全国人口普查显示，我国人口已达到141178万．把这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（ ） A. 10° B. 12° C. 15° D. 20° 5. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，、、三点共线，则旗杆的高度为（ ） A. 13.5米 B. 12.5米 C. 11.9米 D. 10.5米 6. 已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（ ） A. 函数图象上点的横坐标表示的长 B. 当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C. 两段抛物线的开口大小不一样 D. 图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 分解因式：3a2﹣12=___． 13. 若单项式的系数是m，次数是n，则的值为____． 14. 如图，在中，，，则的度数为________． 15. 如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______． 16. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在，轴的负半轴上，，在反比例函数（）的图象上，与轴交于点，且，若的面积是3，则的值是_________． 18. 如图，四边形是边长为2的正方形，E是平面内一点，，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接．则长的最小值为_______ 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： （2）解方程：． 20. 有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 21. 某工厂的甲、乙两个车间各生产了400个新款产品，为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围在165≤x＜180为合格），分别从甲、乙两个车间生产的产品中随机各抽取了20个样品进行检测，获得了它们的数据（尺寸），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲车间产品尺寸的扇形统计图如下(数据分为6组：165≤x＜170，170≤x＜175， 175≤x＜180，180≤x＜185，185≤x＜190，190≤x≤195)： b．甲车间生产的产品尺寸在175≤x＜180这一组的是： 175 176 176 177 177 178 178 179 179 c．甲、乙两车间生产产品尺寸的平均数、中位数、众数如下： 车间 平均数 中位数 众数 甲车间 178 m 183 乙车间 177 182 184 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为； （2）此次检测中，甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是（填“甲”或“乙”），理由是； （3）如果假设这个工厂生产的所有产品都参加了检测，那么估计甲车间生产该款新产品中合格产品有个． 22. 小明正在思考一道几何证明题：如图1，在正方形中，点E，F在对角线上，连接，且．求证：四边形是菱形． 小明是这样想的： 第一步：由，，，可证明，得； 第二步：连接（如图2），交于点O，可证得，，进而可得四边形是平行四边形； 第三步：由，四边形是平行四边形，可得四边形是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 23. 如图，点A，D，C在半径为8的上，过点D作的切线，交的延长线于点B．连接，且． （1）求证：； （2）求图中阴影部分的面积． 24. 某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x（天） 日销售价（元/件） 50 日销售量（件） （，x为整数） 设该商品的日销售利润为w元． （1）直接写出w与x的函数关系式__________________； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 25. 某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图1，①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接，，，作射线；③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E；④连接，交于点F．点F即为的一个三等分点（即）． 学习任务： （1）填空：四边形的形状是 _______，你的依据是_______； （2）证明：； （3）如图2，若交于点H，，，将绕着点C旋转，当点H的对应点落在直线上时，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作，交直线l于点D．若，求m的值； （3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期第一次阶段性测试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在实数，1，0，中，最小的数是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵−3＜−1＜0＜1， ∴在实数，1，0，中，最小的数是−3， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 第七次全国人口普查显示，我国人口已达到141178万．把这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：141178万， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，合并同类项以及同底数幂的乘法运算，单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题的关键．直接利用以上运算法则分别计算得出答案即可． 【详解】解：A． ，故此选项错误； B． ，故此选项错误； C． ，故此选项错误； D． ，故此选项正确 故选：D 4. 如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（ ） A. 10° B. 12° C. 15° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行公理推论，平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线． 过点B作交于D，则，在中，，又在中，，则，从而求得，再证明，即可由平行线的性质求解． 【详解】解：过点B作交于D， ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 5. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，、、三点共线，则旗杆的高度为（ ） A. 13.5米 B. 12.5米 C. 11.9米 D. 10.5米 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，即可求得AH，最后根据AB=AH+HB即可解题． 【详解】设CD与EH交于点G 由题意得：EF=GD=BH=1.6,BD=EH=15，EG=DF=2 ∴CG=CD-GD=1.4, ∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB， ∴△CGE∽△AHE， ∴， 即：， ∴AH=11.9， ∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度． 6. 已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，先由三视图得到该圆锥的高为，底面圆半径为，则由勾股定理可得母线长为，再根据圆锥侧面积底面周长母线长进行求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该圆锥的高为，底面圆半径为， ∴母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为， 故选：B． 7. 若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．直接代入求出和，即可求解． 【详解】解： ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：A． 8. 若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．解不等式组可得，，由关于的不等式组的解集中至少有2个整数解，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵关于的不等式组的解集中至少有2个整数解， ∴， 解得，， ∴整数a的最小值为， 故选：C． 9. 若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是建立不等式组． 先根据题意列出不等式组，求解每个不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出的取值范围． 【详解】解：依题得：， 解得， 则要使题中条件成立，， 解得． 故选：． 10. 如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（ ） A. 函数图象上点的横坐标表示的长 B. 当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C. 两段抛物线的开口大小不一样 D. 图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】第二个图形中点在两段函数中，是关键点．结合第一个图形，可得此时点D移动到点C，E在AB的中点，那么．．可得．判断A选项；作于点H．可得，根据相似三角形的判定与性质可得E为的四等分点，从而判断B选项；分为当D在上时及当D在上时，两种情况分别求出函数解析式，从而判断C选项；把代入当D在上时的函数解析式中可求得面积的值，判断出D选项． 【详解】解：∵点在两段函数中，即点D与点C重合时． ∵等腰中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴点横轴表示的长，故A错误； 如图，作于点H． 又∵是等腰三角形， ∴． ∵， ∴． ， ∵D为中点， ， ∴． ∴． ∴点E为线段的四等分点，故B错误； 当D在上时，为x，则， ∴， 当D在上时，为x，则， ∴． ∵两个二次函数的二次项的比例系数的绝对值相等， ∴两段抛物线的开口大小一样，故C错误； 当时，点D在上， ∴，故D正确． 故选D 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．得到拐点在图形中表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若两个二次函数中二次项的比例系数的绝对值相等，则两个二次函数的形状相同． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母是解题的关键． 【详解】分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 12. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 13. 若单项式的系数是m，次数是n，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式有关概念，正确把握定义是解题关键．根据单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵单项式的系数是m，次数是n， ∴，， ∴， 故答案为： 14. 如图，在中，，，则的度数为________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，能从作图痕迹中判断出线段垂直平分线和角平分线是解答的关键． 根据作图痕迹，利用线段垂直平分线和角平分线的定义，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，是垂直平分线，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角与周角、等腰三角形的性质，熟练掌握正八边形的内角和正五边形的内角求法是解题的关键．根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， 故， ， ． 故答案为：． 16. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 【答案】x(x+12)=864 【解析】 【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可． 【详解】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12， 故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864， 故答案：x(x+12)=864． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在，轴的负半轴上，，在反比例函数（）的图象上，与轴交于点，且，若的面积是3，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设点A（，0），B（0，），E（0，c），得到，过点D作DF⊥x轴，与x轴交于点F，过点C作CG⊥DF，与DF相交于点G，然后证明△ABO≌△CGD，△AEO∽△ADF，利用比例求出线段的长度，得到点C、D的坐标，代入反比例函数解析式，得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意，，分别在，轴的负半轴上，点E在y轴上， 设点A（，0），B（0，），E（0，c）， ∴OA=，OB=b，OE=c， ∵的面积是3， ∴， ∴； 过点D作DF⊥x轴，与x轴交于点F，过点C作CG⊥DF，与DF相交于点G， ∴DF∥y轴， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∵∠ABC=∠CDA， ∴∠ABE=∠CDG， ∵∠AOB=∠CGD=90°，AB=CD， ∴△ABO≌△CGD， ∴DG=OB=b，CG=AO=a， ∵DF∥BE， ∴△AEO∽△ADF， ∴， 在Rt△AOE中，勾股定理得 ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点C、D在的图像上， ∴，化简得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确得到边的关系，从而进行解题． 18. 如图，四边形是边长为2的正方形，E是平面内一点，，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接．则长的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键． 通过证明，可得，则当点在上时， 有最小值为，即的最小值为． 【详解】解∶如图，连接，，交于点，连接，． 四边形是正方形， ，，， ， ， 将绕点顺时针方向旋转得到线段， ，， , ， ， ， 又， ， ， ， ， 当点在上时，有最小值为， 的最小值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据负指数幂、三角函数、绝对值、零指数幂进行化简即可求解； （2）先去分母，化为一元一次方程，解方程，最后要检验． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得， 去括号得， 移项合并同类得， 解得：， 经检验，是原方程的解 20. 有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； （1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； （2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键． （1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2， 所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为． 21. 某工厂的甲、乙两个车间各生产了400个新款产品，为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围在165≤x＜180为合格），分别从甲、乙两个车间生产的产品中随机各抽取了20个样品进行检测，获得了它们的数据（尺寸），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲车间产品尺寸的扇形统计图如下(数据分为6组：165≤x＜170，170≤x＜175， 175≤x＜180，180≤x＜185，185≤x＜190，190≤x≤195)： b．甲车间生产的产品尺寸在175≤x＜180这一组的是： 175 176 176 177 177 178 178 179 179 c．甲、乙两车间生产产品尺寸的平均数、中位数、众数如下： 车间 平均数 中位数 众数 甲车间 178 m 183 乙车间 177 182 184 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为； （2）此次检测中，甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是（填“甲”或“乙”），理由是； （3）如果假设这个工厂生产的所有产品都参加了检测，那么估计甲车间生产该款新产品中合格产品有个． 【答案】（1）177.5；（2）甲；甲车间生产的产品合格率为70%，乙车间生产的产品合格率＜50%；（3）280． 【解析】 【分析】（1）根据扇形图给出的各组产品的百分比、中位数的概念计算； （2）求出甲、乙两车间生产的产品合格率，比较得到答案； （3）根据甲车间生产的产品合格率为70%计算． 【详解】（1）由扇形统计图可知，A组数据的个数：5%×20=1， B组数据的个数：20%×20=4， C组数据的个数：45%×20=9， ∴m=×（177+178）=177.5， 故答案为177.5； （2）甲、乙两车间生产的产品合格率更高的是甲， 理由如下：甲车间生产的产品合格率为：×100%=70%， ∵乙车间生产的产品的中位数是182， ∴乙车间生产的产品合格率＜50%， 故答案为甲；甲车间生产的产品合格率为70%，乙车间生产的产品合格率＜50%； （3）∵甲车间生产的产品合格率为70%， ∴估计甲车间生产该款新产品中合格产品有：400×70%=280， 故答案为280． 【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 小明正在思考一道几何证明题：如图1，在正方形中，点E，F在对角线上，连接，且．求证：四边形是菱形． 小明是这样想的： 第一步：由，，，可证明，得； 第二步：连接（如图2），交于点O，可证得，，进而可得四边形是平行四边形； 第三步：由，四边形是平行四边形，可得四边形是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】 解：小明的第一步有错，用“”不能证明． 证明：∵， ∴， ∴． 如图2，连接，交于点， 正方形， ∴，，，， ∴． 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， 四边形是平行四边形． 又∵， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】由，可得，则．如图2，连接，交于点，由正方形，可得，，，证明，则，．进而可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键． 23. 如图，点A，D，C在半径为8的上，过点D作的切线，交的延长线于点B．连接，且． （1）求证：； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，交于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴； （2）π 【解析】 【分析】（1）连接，交于E，根据圆周角定理得到，得到，根据切线的性质得到∠，根据平行线的性质推出即可； （2）在中，解直角三角形求出，分别求出的面积和扇形的面积，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中． 24. 某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x（天） 日销售价（元/件） 50 日销售量（件） （，x为整数） 设该商品的日销售利润为w元． （1）直接写出w与x的函数关系式__________________； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元 【解析】 【分析】（1）根据利润=单个利润×数量可进行求解； （2）由（1）分别求出两种情况下的最大利润，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 当时，则； 当时，则； ∴； 【小问2详解】 解：当时，； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，（元）． 当时，，随增大而减小， ∴当时，（元）． ∵， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 25. 某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图1，①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接，，，作射线；③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E；④连接，交于点F．点F即为的一个三等分点（即）． 学习任务： （1）填空：四边形的形状是 _______，你的依据是_______； （2）证明：； （3）如图2，若交于点H，，，将绕着点C旋转，当点H的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】（1）菱形；四条边相等的四边形为菱形 （2） 证明：四边形的形状是菱形， ， ， ． ，， ， ， ， ． ． （3）DH′的长为或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，善于利用特殊叫以及直角三角形中的关系是解题的关键． （1）根据菱形的性质判定即可． （2）证明，得出，再根据线段关系即可求出． （3）利用菱形及已知条件推出相关信息，证明为等边三角形，再根据证明，求得;然后证明，根据相似三角形的性质得出、；最后用勾股定理解三角形即可．绕着点C旋转，点H的对应点需要分情况讨论． 【小问1详解】 解：由图的作法可知： ， ∴四边形的形状是菱形， 依据是：四条边相等的四边形为菱形． 故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在线段上时，连接，如图， ，， 为等边三角形， ，． ． 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ，， ． ． 设与交于点K， ， ， ． 同理：， ． ， ， ，． ，． ． ②当点在射线上时，连接，如图， 由①知，，， ， ． ． 综上，的长为或． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作，交直线l于点D．若，求m的值； （3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2） （3）①②故当时，点有1个；当时，点有2个；当时，点有3个 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，得，根据，表示出点的横坐标即可； （3）①先根据待定系数法求出直线的解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点， 抛物线的解析式为， 故； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，点的横坐标为， 直线的解析式为，点在直线上， ，且点P在直线l的右侧时，即， ； 【小问3详解】 解：①抛物线解析式为， 时，，即，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 故直线的解析式为， 时，，即， 当时，点在点的左侧，， 当时，点在点的右侧，， 故； ②绘制的函数图象如图所示： 点，， 故当时，的值只有1个，故点只有1个； 当时，的值只有2个，故点只有2个； 当时，的值只有3个，故点只有3个． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，本题的关键是运用分类讨论的思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $