11.1.5 旋转体-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步11.1　空间几何体 11.1.5 　旋转体 (教师独具内容) 课程标准：1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：圆柱、圆锥、圆台和球的定义及其相关概念． 教学难点：旋转体中的有关计算问题． 核心素养：1.通过实物、计算机软件等观察空间图形，抽象出圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台和球的表面积的计算，培养数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 圆柱 圆锥 圆台 定义 圆柱可看成以__________ ____________为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 圆锥可看成以_________ ___________________为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 圆台可看成以_____ _____________________________为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 矩形的一边所在直线 知识点一　圆柱、圆锥和圆台的有关概念 直角三角形一直角边所在直线 直角梯形垂直于底边的腰所在直线 核心概念掌握 5 旋转体 用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体 轴 旋转轴称为旋转体的轴 高 ____________________________称为旋转体的高 底面 ________________________________称为旋转体的底面 侧面 __________________________________称为旋转体的侧面 母线 无论旋转到什么位置，___________________都称为母线 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面 在轴上的边(或它的长度) 垂直于轴的边旋转而成的圆面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面 不垂直于轴的边 核心概念掌握 6 图形 表示 上图可表示为圆柱OO′ 上图可表示为圆锥SO 上图可表示为圆台OO′ [提醒]　对于定义应注意两点：①旋转轴是一条直线；②侧面是曲面． 核心概念掌握 7 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．旋转体的表面积 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)　 侧面展开图 核心概念掌握 8 底面面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S上底＝πr′2，S下底＝πr2 侧面面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝πl(r′＋r) 表面积 S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l) S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 核心概念掌握 9 知识点三　球的有关概念 1．球面________________________________________________________，球面_____________，称为球，形成球面的半圆的圆心称为_____；____________ __________________称为球的半径；_________________________________称为球的直径． 2．球可以用表示它的________的字母来表示． 3．球面也可以看成_________________________________________． 可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 围成的几何体 球心 连接球面上一点和球心的线段 连接球面上两点且通过球心的线段 球心 空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 核心概念掌握 10 4．球面___________________________称为球的大圆；_________________ _____________称为球的小圆． 5．球小圆的圆心为O′，球心为O，OO′＝d，球小圆的半径为r，球的半径为R，则d＝__________． [提醒]　用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面． 知识点四　球的表面积 如果球的半径为R，那么球的表面积为S＝______． 被经过球心的平面截得的圆 被不经过球心的平面截得的圆 4πR2 核心概念掌握 11 1．(旋转体的图形识别)(多选)下列四个空间几何体是旋转体的是(　　) 核心概念掌握 12 8 8 8π 核心概念掌握 13 核心素养形成 (多选)下列叙述中正确的是(　) A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 题型一　圆柱、圆锥、圆台的有关概念 解析　对于A，应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥，故A错误；对于B，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转可得到圆台，故B错误；对于C，它们的底面为圆面，故C正确；对于D，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，故D正确．故选CD. 核心素养形成 15 【感悟提升】　由简单旋转体判断问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键． (2)解题时要注意两个明确 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． 核心素养形成 16 【跟踪训练】 1．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 核心素养形成 17 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1∶4，母线长是10 cm. (1)写出圆台上、下底面的位置关系； (2)求圆锥的母线长． 题型二　圆柱、圆锥、圆台的有关计算 核心素养形成 18 【感悟提升】　处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中寻找各元素的关系． 简单几何体中几个特殊截面和常见的截面： 中截面：过几何体高的中点且垂直于高的截面． 轴截面：过圆柱、圆锥、圆台的轴的截面． 圆柱、圆锥、圆台的截面： 核心素养形成 19 轴截面 过两母线 的截面 平行于底面 的截面 核心素养形成 20 【跟踪训练】 2．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 核心素养形成 21 核心素养形成 22 题型三　有关旋转体的展开图 用一张4×8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求轴截面的面积(接头忽略不计)． 核心素养形成 23 核心素养形成 24 【感悟提升】　本题容易出现只想到把宽当成母线，沿着矩形的长卷成圆柱，没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱．此部分还容易出现求圆柱、圆锥、圆台表面上的最短距离问题，可借助于其侧面展开图，将空间问题转化为平面问题解决，这是求曲面上两点间距离最小值的巧妙方法． 核心素养形成 25 核心素养形成 26 核心素养形成 27 (2024·辽宁大连二十四中高一月考)已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的半径为____． 题型四　球的截面问题 核心素养形成 28 【感悟提升】　球的截面问题的解题思路 一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面是将球的问题(空间问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题． 核心素养形成 29 【跟踪训练】 4．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为9π，则球O的半径为____． 核心素养形成 30 某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，问该地球仪的半径为多少？表面积是多少？ 题型五　球的表面积 核心素养形成 31 【感悟提升】　 (1)计算球的表面积的关键是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征．必要时需利用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式． (2)对于以外接球的形式考查球的表面积的题目，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系． 核心素养形成 32 核心素养形成 33 随堂水平达标 1．(2024·北京高一下期末)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　) A．4π B．2π C．4 D．2 解析：依题意，得圆柱的底面半径为1，母线长也为1，所以其侧面积为S＝2π×1×1＝2π. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成 B．用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 解析：圆台可以由直角梯形绕其垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕其底边的中垂线旋转形成，故A错误；圆台的上、下底面是圆面，用平行于底面的平面截圆台，截面是圆面，故B正确；在圆台上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，故C错误；圆柱的母线与旋转轴平行，任意两条母线也平行，圆锥的母线都相交于一点，圆台是由圆锥截得的，故母线延长后交于一点，故D正确．故选BD. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 38 4．(2024·云南玉溪红塔区校级期中)已知圆台形水泥花盆的盆口与盆底的直径分别为4，3(边缘忽略不计)，母线长为4，则该花盆的高为________． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的表面积． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ 对点 圆柱、圆台的结构特征 圆锥侧面积的相关计算 圆台表面积的相关计算 与球有关的计算问题 与圆锥、圆台的展开图有关的计算问题 多面体内接于球的截面问题 圆柱、圆锥的侧面积与球的表面积问题 球的截面问题 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 圆柱外接球表面积的计算 圆柱表面积的相关计算 圆锥的轴截面的相关计算 圆台的轴截面的相关计算 球的截面的性质与相关计算 圆柱外接球表面积的相关计算 圆锥截面面积的相关计算 圆柱侧面展开图(最短路径)的相关计算 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 一、单选题 1．下列说法正确的是(　　) ①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的任意两条母线延长后交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 二、多选题 6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是(　　) 解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得A，但无论如何都不能截出D.故选ABC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 三、填空题 8．球O的球心到该球的一个截面的距离为3，截面圆的半径为4，则该球的半径为____． 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 三、解答题 9．(2025·山东淄博高一月考)圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，则该圆柱外接球的表面积为____． 29π 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 10．一个长方体的三条棱长分别为3，8，9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则该圆柱形的孔的底面半径为____． 3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 四、解答题 11．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 12．已知圆台的母线长为8，母线与轴的夹角为30°，下底面半径是上底面半径的2倍． (1)写出圆台中任意两条母线的位置关系； (2)求两底面面积和轴截面面积． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 14．(2024·广西南宁高一期中)老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为16π的圆柱(硬纸片的厚度不记)，记该圆柱的底面半径为r，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，r2＝____． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 15.(2024·山东临沂高一下期中)用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12. (1)求圆锥PO的母线长； (2)过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16.如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面ABB1A1上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点， (1)写出直线A1B1与直线AB的位置关系； (2)蚂蚁爬过的最短路径长是多少？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 　　　　　　　　　　　　　 R [拓展]　圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrleq \o(――→,\s\up7(r′＝r))S圆台侧＝π(r′＋r)leq \o(――→,\s\up7(r′＝0))S圆锥侧＝πrl. eq \r(R2－r2) 2．(圆锥侧面积的计算)已知圆锥的底面半径为1，高为eq \r(3)，则圆锥的侧面积是(　　) A．π B.eq \r(3)π C．4π D．2π 3．(圆柱轴截面的有关计算)一个圆柱的母线长为4，底面半径为1，则圆柱轴截面的面积为____． 4．(圆台的有关计算)一个圆台的母线长为10，上底面和下底面直径分别为4和16，则圆台的高为____． 5．(球的表面积及截面的有关计算)已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为1，则球O的表面积为____． 解析：由圆柱、圆锥、圆台的几何特征，可知A，C，D正确；当圆锥的轴截面的顶角大于90°时，面积不是最大．设圆锥过顶点的截面的顶角为α，母线长为l，则截面面积S＝eq \f(1,2)l2sinα，显然轴截面的顶角小于或等于90°时，轴截面面积最大；轴截面的顶角大于90°时，轴截面面积不是最大，B错误．故选ACD. 解　(1)圆台的上、下底面相互平行． (2)设圆锥的母线长为y cm，作圆锥的轴截面如图所示． 在Rt△SOA中，O′A′∥OA， ∴SA′∶SA＝O′A′∶OA. 即(y－10)∶y＝1∶4， 解得y＝eq \f(40,3)，∴圆锥的母线长为eq \f(40,3) cm.　 解：(1)设所求圆柱的底面半径为r cm，则它的侧面积S圆柱侧＝2πrx. ∵eq \f(r,R)＝eq \f(H－x,H)，∴r＝R－eq \f(Rx,H)， ∴S圆柱侧＝2πRx－eq \f(2πRx2,H)(0<x<H)． (2)∵S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零， ∴这个二次函数有最大值． 这时圆柱的高x＝－eq \f(2πR,－2×\f(2πR,H))＝eq \f(H,2)， 即当x＝eq \f(H,2)时，圆柱的侧面积最大． 解　(1)以矩形边长8为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱的侧面，轴截面为矩形A1ABB1(如图a)，其中O1，O分别为圆柱上、下底面的圆心，根据题意可知底面圆的周长为2π×OA＝4，则OA＝eq \f(2,π)，于是AB＝eq \f(4,π). 根据矩形的面积公式，得S截面＝A1A×AB＝8×eq \f(4,π)＝eq \f(32,π).　 (2)以矩形边长4为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱的侧面，轴截面为矩形A1ABB1(如图b)，其中O1，O分别为圆柱上、下底面的圆心， 根据题意可知底面圆的周长为2π×OA＝8， 则OA＝eq \f(4,π)，于是AB＝eq \f(8,π). 根据矩形的面积公式，得S截面＝A1A×AB＝4×eq \f(8,π)＝eq \f(32,π). 综上所述，轴截面的面积为eq \f(32,π). 【跟踪训练】 3.(2024·山东烟台栖霞一中高一月考)如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为3eq \r(3)，则这个圆锥的轴截面面积为____． 2eq \r(2) 解析：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示．该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得cos∠P′OP＝eq \f(OP2＋OP′2－PP′2,2OP·OP′)＝eq \f(32＋32－（3\r(3)）2,2×3×3)＝－eq \f(1,2)，所以∠P′OP＝eq \f(2π,3).设底面圆的半径为r，则有2πr＝eq \f(2π,3)×3，解得r＝1，所以这个圆锥的高为h＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2)，则这个圆锥的轴截面面积为eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2). 5 解析　设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，可得球心到两截面圆的距离分别为eq \r(R2－32)，eq \r(R2－42).当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，所以eq \r(R2－32)－eq \r(R2－42)＝1，解得R＝5或R＝－5(舍去)；当球心在两截面之间时，可得eq \r(R2－32)＋eq \r(R2－42)＝1，该方程无解．综上，R＝5. 2eq \r(3) 解析：设球O的半径为R，则OM＝eq \f(R,2)，因为圆M的面积为9π，所以圆M的半径为r＝3，根据勾股定理R2＝r2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2))) eq \s\up12(2)，得R＝2eq \r(3). 解　如图，∠AOA1＝30°，∠A1OO1＝60°， ∵2π×O1A1＝12π(cm)， ∴O1A1＝6(cm)， 在Rt△OO1A1中，OA1＝eq \f(O1A1,sin60°)＝4eq \r(3)(cm)， 即地球仪的半径为4eq \r(3) cm， 表面积S＝4π×(4eq \r(3))2＝192π(cm2)． 【跟踪训练】 5．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为(　　) A．16(12－6eq \r(3))π B．18π C．36π D．64(6－4eq \r(2))π 解析：如图，正四面体底面的中心为O，正四面体外接球的球心为O′，设正四面体的棱长为a，球的半径为R，∴CD＝eq \f(\r(3),2)a，CO＝eq \f(2,3)CD＝eq \f(\r(3),3)a，在Rt△VOC中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a)) eq \s\up12(2)＋42＝a2，∴a＝2eq \r(6)，则CO＝2eq \r(2)，在Rt△O′OC中，(2eq \r(2))2＋(4－R)2＝R2，∴R＝3，故S球＝4πR2＝36π. 2．已知表面积为14π的圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为eq \f(π,3)的扇形，则圆锥的高为(　　) A.eq \r(70) B．6eq \r(2) C.eq \r(73) D.eq \r(74) 解析：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，由圆锥的表面积为14π，得πr2＋πrl＝14π，即r2＋rl＝14，由侧面展开图是一个圆心角为eq \f(π,3)的扇形，得eq \f(π,3)l＝2πr，即l＝6r，于是r＝eq \r(2)，l＝6eq \r(2)，所以圆锥的高h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(70).故选A. 解析：因为圆台形花盆的下底面和上底面直径分别为4，3，母线长为4，所以该花盆的高为h＝eq \r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(7),2). eq \f(3\r(7),2) 解：如图所示，设球的半径为R，两截面的半径分别为r1，r2，两截面的圆心分别为O1，O2，球心为O， 则2,1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(πr＝5π，,πreq \o\al(2,2)＝8π)) ⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r1＝\r(5)，,r2＝2\r(2).)) 又O1O2＝1，设OO2＝x， 则有5＋(x＋1)2＝8＋x2，解得x＝1，则8＋1＝R2，得R＝3， 所以这个球的表面积为4πR2＝36π. 2．已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为(　　) A．3 B.eq \r(3) C.eq \r(15) D.eq \r(5) 解析：设圆锥的高与底面半径以及母线长依次为h，r，l，则由题意得eq \f(πrl,πr2)＝eq \f(l,r)＝2，即l＝2r，所以由圆锥的结构特征得eq \f(h,r)＝eq \f(\r(l2－r2),r)＝eq \f(\r(（2r）2－r2),r)＝eq \f(\r(3)r,r)＝eq \r(3).故选B. 3.(2025·贵州黔东南高一质检)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB＝1，BC＝eq \r(3)，DC＝2.将直角梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为(　　) A．2eq \r(6)π＋5π B.eq \r(3)π＋5π C．11π D．6eq \r(3)π＋5π 解析：由题意可知，该旋转体为上底面半径r1＝1，下底面半径r2＝2，母线长l＝2的圆台，则该圆台的表面积S＝π(req \o\al(2,1)＋req \o\al(2,2)＋r1l＋r2l)＝11π.故选C. 4．已知甲地在地球北半球，乙地在赤道上，由于地球自转，经一昼夜，甲地转过的路程是乙地转过路程的eq \f(\r(3),2)倍，则甲地在(　　) A．北纬30°圈上 B．北纬45°圈上 C．北纬60°圈上 D．不能确定甲地纬度 解析：将地球视为球体，设其半径为R，则乙地转过的路程为2πR.设甲地所在纬度圈的半径为r，则甲地转过的路程为2πr.由eq \f(2πr,2πR)＝eq \f(\r(3),2)，得eq \f(r,R)＝eq \f(\r(3),2).由cos30°＝eq \f(\r(3),2)知，甲地在北纬30°圈上． 5.(2024·山东潍坊高一期末)如图，圆台OO1的侧面展开图扇 环的圆心角为180°，其中SA＝2，SB＝4，则该圆台的高为(　　) A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．4 解析：因为圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°，所以在圆锥SO1中，有2π·O1A＝eq \f(1,2)×2×π×SA＝2π，所以O1A＝1，又在圆锥SO中，有2π·OB＝eq \f(1,2)×2×π×SB＝4π，所以OB＝2，所以该圆台的高为h＝eq \r(AB2－（OB－O1A）2)＝eq \r(（SB－SA）2－（OB－O1A）2)＝eq \r(（4－2）2－（2－1）2)＝eq \r(3).故选C. 7．(2024·安徽六安高一下期中)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A．圆柱的侧面积为4πR2 B．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆锥的侧面积为eq \r(5)πR2 解析：由题意可知，圆锥的母线长为eq \r(R2＋（2R）2)＝eq \r(5)R，则圆柱、圆锥的侧面积分别为2πR×2R＝4πR2，πR×eq \r(5)R＝eq \r(5)πR2，故A，D正确；圆柱、圆锥、球的表面积分别为4πR2＋2πR2＝6πR2，eq \r(5)πR2＋πR2，4πR2，可知三个几何体的表面积中，圆锥的表面积最小，故B错误；圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确．故选ACD. 解析：如图，圆O1是球O的一个截面，连接OO1，则线段OO1即为球心O到截面圆O1的距离，于是OO1＝3，在圆O1上取一点A，连接OA，O1A，则O1A＝4，OA为球的半径．在Rt△OO1A中，∠OO1A＝90°，根据勾股定理得OA＝2,1)eq \r(OO＋O1A2) ＝eq \r(32＋42)＝5.故该球的半径为5. 解析：设圆柱的高为h，其外接球的半径为R，由圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，得2πh＝10π，解得h＝5，由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上、下底面中心连线的中点处，因此R＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(29),2)，所以该圆柱外接球的表面积为S＝4πR2＝29π. 解析：由题意可知，该圆柱形的孔的两底面面积之和与侧面积相等．设该圆柱形的孔的底面半径为r，当圆柱形的孔的高为3时，2πr2＝2πr×3，解得r＝3；当圆柱形的孔的高为8时，2πr2＝2πr×8，解得r＝8>eq \f(3,2)，不符合题意；当圆柱形的孔的高为9时，2πr2＝2πr×9，解得r＝9>eq \f(3,2)，不符合题意．所以该圆柱形的孔的底面半径为3. 解：圆锥的轴截面为等腰三角形SAB，如图所示，SO为高，SA为母线． 由题意知∠ASO＝30°. 在Rt△SAO中，AO＝SOtan30°＝2×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3)(cm)，SA＝eq \f(SO,cos30°)＝eq \f(2,\f(\r(3),2))＝eq \f(4\r(3),3)(cm)． ∴S△ASB＝eq \f(1,2)SO·2AO＝SO·AO＝2×eq \f(2\r(3),3)＝eq \f(4\r(3),3)(cm2)． ∴圆锥的母线长为eq \f(4\r(3),3) cm，它的轴截面的面积为eq \f(4\r(3),3) cm2. 解：(1)圆台中任意两条母线都相交． (2)设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为2r，将圆台还原成圆锥，轴截面如图所示，则∠ASO＝30°， 在Rt△SA′O′中，SA′＝eq \f(r,sin30°)＝2r. 在Rt△SAO中，SA＝eq \f(2r,sin30°)＝4r， ∴AA′＝SA－SA′＝2r，即2r＝8， ∴r＝4， ∴S上＝πr2＝16π，S下＝π(2r)2＝64π， 过A′作A′C⊥AO于点C，则OC＝O′A′＝r＝4， ∴AC＝AO－OC＝4， 在Rt△A′AC中，A′C2＝A′A2－AC2＝82－42＝48， ∴A′C＝4eq \r(3). ∴S梯形A′ABB′＝eq \f(1,2)(2A′O′＋2AO)×A′C＝12×4eq \r(3)＝48eq \r(3). ∴圆台上底面面积为16π，下底面面积为64π，轴截面面积为48eq \r(3). 13.如图正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为eq \r(3)，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和为(　　) A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C．π D.eq \f(7π,6) 解析：在平面AA1B1B上，交线为eq \o(EF,\s\up15(︵))且eq \o(EF,\s\up15(︵))在过球心A的大圆上，因为AE＝2，AA1＝eq \r(3)，则∠A1AE＝30°.同理可得∠BAF＝30°，所以∠EAF＝30°，故eq \o(EF,\s\up15(︵))的长为eq \f(1,12)×4π＝eq \f(π,3).在平面BB1C1C上，交线为eq \o(FG,\s\up15(︵))且eq \o(FG,\s\up15(︵))在距球心为eq \r(3)的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG＝90°，所以eq \o(FG,\s\up8(︵))的长为eq \f(1,4)×2π＝eq \f(π,2).故两段弧长之和为eq \f(π,3)＋eq \f(π,2)＝eq \f(5π,6). 解析：设圆柱的高为h，则2πr2＋2πrh＝16π，故h＝eq \f(8,r)－r，设圆柱外接球的半径为R，则r2＋eq \f(h2,4)＝R2，故R2＝r2＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,r)－r))\s\up12(2),4)＝r2＋eq \f(r2－16＋\f(64,r2),4)＝eq \f(5,4)r2＋eq \f(16,r2)－4≥2eq \r(\f(5,4)r2×\f(16,r2))－4＝4eq \r(5)－4，当且仅当eq \f(5,4)r2＝eq \f(16,r2)，r2＝eq \f(8\r(5),5)时，等号成立，故当r2＝eq \f(8\r(5),5)时，圆柱外接球的表面积取得最小值． 解：(1)因为轴截面PAB的面积为S△PAB＝eq \f(1,2)PO×AB＝eq \f(1,2)PO×8＝12，解得PO＝3， 所以圆锥PO的母线长为PA＝eq \r(PO2＋OA2)＝5. (2)取BC的中点D，连接OD，PD，则OD⊥BC，PD⊥BC， 可得PD2＋DB2＝PB2＝25，则PD·DB≤eq \f(PD2＋DB2,2)＝eq \f(25,2)， 当且仅当PD＝DB＝eq \f(5\r(2),2)时，等号成立，此时BC＝5eq \r(2)<8， 所以截面PBC面积的最大值为2×eq \f(1,2)×eq \f(25,2)＝eq \f(25,2). 解：(1)直线A1B1与直线AB互相平行． (2)将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．则展开图中A1B1＝eq \f(1,2)×2πr＝πr＝10π(cm)． 过点Q作QS⊥AA1于点S， 在Rt△PQS中， PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm)． 所以PQ＝eq \r(PS2＋QS2)＝10eq \r(π2＋1)(cm)． 即蚂蚁爬过的最短路径长是10eq \r(π2＋1) cm. $$