10.1.2 复数的几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第十章　复数 10.1　复数及其几何意义 10.1.2　复数的几何意义 (教师独具内容) 课程标准：理解复数的代数表示及其几何意义． 教学重点：1.复数的几何意义，共轭复数的概念.2.求复数的模． 教学难点：应用复数的几何意义解决有关问题． 核心素养：通过对复数几何意义的理解，培养数学抽象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　复数的几何表示 1．复平面的概念 在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi↔点Z(a，b)． 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．在复平面内，x轴上的点对应的都是_______，因此x轴称为______；y轴上的点除了原点外，对应的都是________，为了方便起见，称y轴为_______． 实数 实轴 纯虚数 虚轴 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 相等 互为相反数 a－bi z∈R 实轴 实轴 核心概念掌握 7 长度 模 |a| 相等 核心概念掌握 8 [拓展]　满足条件|z|＝r(r为正实数)的复数z所对应的点Z的集合是以原点为圆心，r为半径的圆．满足条件|z|<r(r为正实数)的复数z所对应的点Z的集合是以原点为圆心，r为半径的圆的内部区域(不含圆的边界)．满足条件|z|>r(r为正实数)的复数z所对应的点Z的集合是以原点为圆心，r为半径的圆的外部区域(不含圆的边界)． 核心概念掌握 9 1．(复数对应点的坐标)在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标是(　　) A．(1，1) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(－1，－1) 核心概念掌握 10 -3 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　复数与复平面内的点的对应　 实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点： (1)位于第二象限？ (2)位于直线y＝x上？ 核心素养形成 13 核心素养形成 14 【感悟提升】　复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 核心素养形成 15 【跟踪训练】 1．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i： (1)对应的点在实轴上方？ (2)对应的点在直线y＝－x－4上？ 核心素养形成 16 题型二　复数与复平面内的向量的对应 核心素养形成 17 核心素养形成 18 【感悟提升】　复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解． 核心素养形成 19 核心素养形成 20 核心素养形成 21 题型三　共轭复数 已知复数z＝6－2i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数所对应的点为(　) A．(6，－2) B．(6，2) C．(－2，6) D．(2，6) 1 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 题型四　复数模的计算 核心素养形成 25 (2)已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，求|z|. 核心素养形成 26 【感悟提升】　复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 核心素养形成 27 核心素养形成 28 核心素养形成 29 题型五　复数模的几何意义　 　 (1)设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ 核心素养形成 30 (2)满足条件3≤|z|<4的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ 核心素养形成 31 【感悟提升】　根据复数的几何意义及复数模的定义可知，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模的几何意义就是复平面内点(a，b)到原点的距离．解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合所表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决． 核心素养形成 32 【跟踪训练】 5．设z∈C，且满足条件1<|z|<2，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 解：|z|>1表示复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，1为半径的圆外部分， |z|<2表示复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆内部分， ∴复数z对应的点Z的集合是圆心为原点O，半径分别为1和2的两圆所夹的圆环，不包括环的边界． 核心素养形成 33 随堂水平达标 1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则(　) A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 解析：由z对应的点在虚轴上，可知复数z是纯虚数或0，得a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 2．已知复数z在复平面内对应的点与复数3－2i在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数z的共轭复数为(　　) A．3＋2i B．2－3i C．－3－2i D．－3＋2i 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 4．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则满足条件1<|z|<2的点Z(x，y)构成的图形的面积为____． 解析：满足条件1<|z|<2的点Z(x，y)的集合是以原点为圆心，1和2分别为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，其面积为π(22－12)＝3π. 3π 随堂水平达标 1 2 3 4 5 38 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 求复数对应的复平面内的点的坐标 求复数 的模 求复数对应的复平面内的点所在 象限 已知复数及其模的数量关系求复数 求复数对应的点的轨迹形状 复数的模；共轭复数的概念及计算 求复数的模； 与复数模相 关的轨迹 问题 根据复数对应的点的坐标的特点求复数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 求复数模的取值 范围 由复数的 向量表示 求参数 的值 由复数对应的点的坐标的特点求参数的取值 范围 复数的几何意义及应用 由复数模的范围求参数的取值范围 由复数模的范围求参数的取值范围；集合的交集运算 求共轭复数； 由复数的模求 参数的取值； 求复数模的 最小值 由复数模的大小关系求参数的取值范围 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 一、单选题 1．在复平面内，复数3i－i2对应的点的坐标为(　) A．(1，3) B．(3，1) C．(－1，3) D．(3，－1) 解析：3i－i2＝1＋3i，故复数3i－i2对应的点的坐标为(1，3)．故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 3．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点为P，则点P不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，又z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)，所以x＝m＋3，y＝m－1，所以x－y－4＝0，因为直线x－y－4＝0不经过第二象限，所以复数z在复平面内对应的点P不可能在第二象限． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点组成的集合是(　) A．1个圆 B．1条线段 C．2个点 D．2个圆 解析：由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，∴复数z对应的点组成的集合是以原点为圆心，3为半径的圆． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 －3＋4i 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 9．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________． (0，2) (0，2) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 四、解答题 11．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点： (1)在第四象限？ (2)在x轴负半轴上？ (3)在实轴上方(含实轴)? 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [0，1) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 　　　　　　　　　　　　　 R 2．复数的向量表示 因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量eq \o(OZ,\s\up12(→))，所以复数也可用向量eq \o(OZ,\s\up12(→))来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi↔向量eq \o(OZ,\s\up12(→))＝(a，b)． 知识点二　复数的两个重要概念 1．共轭复数 (1)定义：一般地，如果两个复数的实部_____，而虚部____________，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq \o(z,\s\up12(－))表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有eq \o(z,\s\up12(－))＝_______． 特别地：当b＝0时，实数a的共轭复数仍是a本身，即z＝eq \o(z,\s\up12(－))⇔___________． (2)几何意义：显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于_______对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于______对称，则这两个复数互为共轭复数． 2．复数的模(或绝对值) (1)定义：一般地，向量eq \o(OZ,\s\up12(→))＝(a，b)的_______称为复数z＝a＋bi的____(或绝对值)，复数z的模用|z|表示． (2)公式：|z|＝________． 当b＝0时，|z|＝eq \r(a2)＝_____，这说明复数的模是实数绝对值概念的推广． (3)一般地，两个共轭复数的模_____，即_______． eq \r(a2＋b2) |z|＝|eq \o(z,\s\up12(－))| 2．(复数的向量表示)在复平面内，复数z1对应的点为Z1(1，2)，复数z2对应的点为Z2(2，1)，则eq \o(Z1Z2,\s\up12(→))对应的复数为(　　) A．3＋3i B．1－i C．－1＋i D．2＋2i 3．(共轭复数)复数z满足z＋6i＝eq \o(z,\s\up12(－))(i为虚数单位)，则z的虚部为____． 4．(复数的模)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则|z2|＝____． eq \r(13) 解　根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)． (1)由点Z位于第二象限，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a－2<0，,a2－3a＋2>0，))解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)． (2)由点Z位于直线y＝x上，得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1. 故满足条件的实数a的值为1. 解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5， 所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在实轴上方． (2)由题意，得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－eq \f(5,2)， 所以当m＝1或m＝－eq \f(5,2)时，复数z对应的点在直线y＝－x－4上． 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求： (1)eq \o(AO,\s\up12(→))表示的复数； (2)eq \o(CA,\s\up12(→))表示的复数； (3)点B对应的复数． 解　(1)∵eq \o(AO,\s\up12(→))＝(0，0)－(3，2)＝(－3，－2)， ∴eq \o(AO,\s\up12(→))表示的复数为－3－2i. (2)∵eq \o(CA,\s\up12(→))＝(3，2)－(－2，4)＝(5，－2)， ∴eq \o(CA,\s\up12(→))表示的复数为5－2i. (3)∵eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))＝(3，2)＋(－2，4)＝(1，6)， ∴eq \o(OB,\s\up12(→))表示的复数为1＋6i， 即点B对应的复数为1＋6i. 【跟踪训练】 2．(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \o(BA,\s\up12(→))对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 解析：向量eq \o(OA,\s\up12(→))＝(2，－3)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(－3，2)，∵向量eq \o(BA,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，∴向量eq \o(BA,\s\up12(→))对应的复数是5－5i. (2)在复平面内，向量eq \o(OA,\s\up12(→))(O为坐标原点)对应的复数为1＋i，将eq \o(OA,\s\up12(→))向右平移一个单位长度后得到向量eq \o(O′A′,\s\up12(→))，则向量eq \o(O′A′,\s\up12(→))与点A′对应的复数分别为(　　) A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋i C．1＋i，2＋i D．2＋i，1＋i 解析：向量eq \o(OA,\s\up12(→))向右平移一个单位长度后得到向量eq \o(O′A′,\s\up12(→))，则O′(1，0)，∵eq \o(OA′,\s\up12(→))＝eq \o(OO′,\s\up12(→))＋eq \o(O′A′,\s\up12(→))＝eq \o(OO′,\s\up12(→))＋eq \o(OA,\s\up12(→))＝(1，0)＋(1，1)＝(2，1)，∴点A′对应的复数为2＋i.又eq \o(O′A′,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))，∴eq \o(O′A′,\s\up12(→))对应的复数为1＋i.故选C. 解析　由题意，可知eq \o(z,\s\up11(－))＝6＋2i，则在复平面内eq \o(z,\s\up11(－))所对应的点为(6，2)．故选B. 【感悟提升】　复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数eq \o(z,\s\up11(－))＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于实轴对称． 【跟踪训练】 3．在复平面内，复数eq \o(z,\s\up12(－))＝sin2＋icos2，则z对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵sin2>0，cos2<0，∴复数eq \o(z,\s\up12(－))对应的点(sin2，cos2)在第四象限，∴z对应的点在第一象限．故选A. 　(1)求下列复数的模： ①i；②－2i；③eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i. 解　①|i|＝1. ②|－2i|＝2. ③eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1. 解　由题意得A(6，－5)，B(－2，3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)，其对应的复数z＝2－i，则|z|＝eq \r(22＋（－1）2)＝eq \r(5). 【跟踪训练】 4．(1)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则eq \f(z2,|z1|)的虚部为(　　) A．－eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(2,5) 解析：因为z1＝1－2i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以z2＝－1－2i，所以eq \f(z2,|z1|)＝eq \f(\a(－1－2i, ),\r(12＋（－2）2))＝eq \f(－1－2i,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)－eq \f(2\r(5),5)i，其虚部为－eq \f(2\r(5),5). (2)复数z1＝sineq \f(π,3)－icoseq \f(π,6)，z2＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)i，试比较|z1|与|z2|的大小． 解：因为|z1|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)－icos\f(π,6)))＝eq \r(sin2\f(π,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))\s\up12(2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2)， |z2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝1， 且eq \f(\r(6),2)＝eq \r(\f(3,2))>1，所以|z1|>|z2|. 解　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5. 这表明向量eq \o(OZ,\s\up12(→))的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5. 因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，5为半径的圆． 解　满足条件3≤|z|<4的复数z在复平面内对应的点Z的集合是圆心为原点O，半径分别为3和4的两圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周，如图所示． 解析：复数3－2i在复平面内对应的点为(3，－2)，关于虚轴对称的点为(－3，－2)，所以复数z在复平面内对应的点为(－3，－2)，即z＝－3－2i，所以eq \o(z,\s\up12(－))＝－3＋2i. 3．若|4＋2eq \r(5)i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　) A．5 B.eq \r(13) C．2eq \r(2) D．2 解析：由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋6＝3，,3－2x＝y＋5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4，))∴|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.故选A. 5．在复平面内作出复数z1＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，z2＝－1，z3＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i对应的向量eq \o(OZ1,\s\up12(→))，eq \o(OZ2,\s\up12(→))，eq \o(OZ3,\s\up12(→))，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面内的位置关系． 解：根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，(－1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))， 则向量eq \o(OZ1,\s\up12(→))，eq \o(OZ2,\s\up12(→))，eq \o(OZ3,\s\up12(→))如图所示． |z1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1，|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1. 在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上． 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C.eq \r(2) D．2 解析：若z＝－1－i，则|z|＝eq \r(（－1）2＋（－1）2)＝eq \r(2).故选C. 4．(2024·安徽合肥期末)已知复数z满足|eq \o(z,\s\up12(－))|－z＝2＋i，则z＝(　　) A.eq \f(3,4)＋i B．－eq \f(3,4)＋i C.eq \f(3,4)－i D．－eq \f(3,4)－i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由已知得eq \r(a2＋（－b）2)－a－bi＝2＋i，由实部、虚部分别相等得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋b2)－a＝2，,－b＝1，))解得a＝－eq \f(3,4)，b＝－1，所以z＝－eq \f(3,4)－i.故选D. 二、多选题 6．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，则(　　) A．z不可能为纯虚数 B．若z的共轭复数为eq \o(z,\s\up12(－))，且z＝eq \o(z,\s\up12(－))，则z是实数 C．若z＝|z|，则z是实数 D．|z|可以等于eq \f(1,2) 解析：当a＝0，b＝1时，z＝i为纯虚数，故A错误；若z＝eq \o(z,\s\up12(－))，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，故B正确；由|z|是实数且z＝|z|，知z是实数，故C正确；若|z|＝eq \f(1,2)，则a2＋b2＝eq \f(1,4)，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32＜0，无解，即|z|不可以等于eq \f(1,2)，故D错误．故选BC. 7．(2024·山东泰安期中)已知复数z1＝3＋4i，z2＝－2＋5i，z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则(　　) A．Z1，Z2两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．Z1，Z2两点之间的距离为|Z1Z2|＝eq \r(26) C．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足|z1|<|z|<|z2|的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 解析：对于A，由题意得z1＝3＋4i，z2＝－2＋5i，所以|z1|＝eq \r(32＋42)＝5，|z2|＝eq \r(（－2）2＋52)＝eq \r(29)，所以|z1|≠|z2|，所以Z1，Z2两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误；对于B，Z1，Z2两点之间的距离为|Z1Z2|＝eq \r(（3＋2）2＋（4－5）2)＝eq \r(26)，故B正确；对于C，满足|z|＝|z1|＝5的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，5为半径的圆，所以其周长为2π×5＝10π，故C错误；对于D，满足|z1|<|z|<|z2|的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以eq \r(32＋42)＝5，eq \r(（－2）2＋52)＝eq \r(29)为半径的两个圆所夹的圆环，所以其面积为π×(eq \r(29))2－π×52＝4π，故D正确．故选BD. 三、填空题 8．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|＝5，eq \o(z,\s\up12(－))在复平面内对应的点在函数y＝eq \f(4,3)x的图象上，则z＝_________． 解析：由题意设eq \o(z,\s\up12(－))＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti.∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1.又z在复平面内对应的点在第二象限，∴t<0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i. 解析：|z|＝eq \r(（1＋cosα）2＋sin2α)＝eq \r(2＋2cosα)，∵π<α<2π，∴－1<cosα<1.∴0<2＋2cosα<4.∴|z|∈(0，2)． 10．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若eq \o(OC,\s\up12(→))＝xeq \o(OA,\s\up12(→))＋yeq \o(OB,\s\up12(→))(x，y∈R)，则x＋y的值是____． 解析：由已知，得eq \o(OA,\s\up12(→))＝(－1，2)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(1，－1)，eq \o(OC,\s\up12(→))＝(3，－2)，∴xeq \o(OA,\s\up12(→))＋yeq \o(OB,\s\up12(→))＝x(－1，2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)．由eq \o(OC,\s\up12(→))＝xeq \o(OA,\s\up12(→))＋yeq \o(OB,\s\up12(→))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))∴x＋y＝5. 解：(1)要使点位于第四象限，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0，,m2＋3m－28<0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<3或m>5，,－7<m<4，)) 解得－7<m<3.∴当－7<m<3时，复数z对应的点在第四象限． (2)要使点位于x轴负半轴上，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15<0，,m2＋3m－28＝0，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3<m<5，,m＝－7或m＝4，))得m＝4. ∴当m＝4时，复数z对应的点在x轴负半轴上． (3)要使点在实轴上方(含实轴)，需m2＋3m－28≥0， 解得m≥4或m≤－7. ∴当m≥4或m≤－7时，复数z对应的点在实轴上方(含实轴)． 12．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. (1)求向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))对应的复数； (2)判断△ABC的形状． 解：(1)由复数的几何意义知，eq \o(OA,\s\up12(→))＝(1，0)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(2，1)，eq \o(OC,\s\up12(→))＝(－1，2)， 所以eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝(1，1)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝(－2，2)， eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝(－3，1)， 所以向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. (2)因为|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝eq \r(2)，|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝2eq \r(2)，|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝eq \r(10)，所以|eq \o(AB,\s\up12(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up12(→))|2＝|eq \o(BC,\s\up12(→))|2， 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 13．使|logeq \s\do9(\f(1,2))x－4i|≥|3＋4i|成立的x的取值范围是(　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，8)) B．(0，1]∪[8，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))∪[8，＋∞) D．(0，1)∪(8，＋∞) 解析：由题意得\do9(\f(1,2))eq \r(（logx）2＋（－4）2) ≥5，∴(logeq \s\do9(\f(1,2))x)2≥9，∴logeq \s\do9(\f(1,2))x≥3或logeq \s\do9(\f(1,2))x≤－3，∴0<x≤eq \f(1,8)或x≥8. 14．(2024·山东淄博期中)设集合M＝{y|y＝|cosx－sinx|，x∈R}，N＝{x||eq \r(2)＋xi|<eq \r(3)，x∈R，i为虚数单位}，则M∩N＝_________． 解析：∵y＝|cosx－sinx|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))∈[0，eq \r(2)]，∴M＝[0，eq \r(2)]．∵|eq \r(2)＋xi|<eq \r(3)，∴eq \r(x2＋2)<eq \r(3)，∴－1<x<1，∴N＝(－1，1)，∴M∩N＝[0，1)． 15．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)． (1)若m＝1，且|eq \o(z,\s\up12(－))|＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值； (2)求当m为何值时，|eq \o(z,\s\up12(－))|最小．并求出|eq \o(z,\s\up12(－))|的最小值． 解：(1)由m＝1，得z＝3＋4i，eq \o(z,\s\up12(－))＝3－4i， 则由|eq \o(z,\s\up12(－))|＝|x＋(x－1)i|， 得eq \r(32＋（－4）2)＝eq \r(x2＋（x－1）2)， 整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3. (2)|eq \o(z,\s\up12(－))|＝eq \r(（1＋2m）2＋[－（3＋m）]2)＝eq \r(5m2＋10m＋10)＝eq \r(5（m＋1）2＋5)≥eq \r(5)，当且仅当m＝－1时，|eq \o(z,\s\up12(－))|取得最小值，为eq \r(5). 16．已知z1＝x2＋eq \r(x2＋1)i，z2＝(x2＋a)i，对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围． 解：∵|z1|＝eq \r(x4＋x2＋1)，|z2|＝|x2＋a|，且|z1|>|z2|， ∴eq \r(x4＋x2＋1)>|x2＋a|对x∈R恒成立，等价于(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立． 不等式等价于①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a＝0，,1－a2>0，))解得a＝eq \f(1,2)， 或②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a>0，,Δ＝－4（1－2a）（1－a2）<0，))解得－1<a<eq \f(1,2). 综上可得，实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<a≤\f(1,2))))). $$