11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 (教师独具内容) 课程标准：借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 教学重点：空间点、直线、平面的位置关系的符号表示． 教学难点：空间点、直线、平面的位置关系的判断． 核心素养：通过认识和理解空间点、直线、平面的位置关系，培养数学抽象素养，提升直观想象素养． 知识点一　空间中的点、线、面 1．基本元素：可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素． 2．点、线、面的运动：点运动的轨迹可以是线，线运动的轨迹可以是面，面运动的轨迹可以是体． 3．长方体：立体几何中，我们用大写英文字母来表示点．此时，构成空间几何体的基本元素可以借助点来表示． 如图所示的长方体，顶点可表示为A，B，…，棱可以表示为AB，BC，…，面可以表示为ABCD，ABB1A1，…，长方体可以表示为ABCD－A1B1C1D1． 知识点二　空间中点与直线、直线与直线的位置关系 1．空间中的直线是无限延伸的，可用该直线上的两个点来表示．由点A与B确定的直线可记作直线AB．为了简单起见，一般用小写英文字母表示直线．因此，直线AB可简记为l. 2．A，B都是l上的点，符号简写为A∈l，B∈l；A1，B1都不是l上的点，符号简写为A1∉l，B1∉l． 3．一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面． 4．如果a，b是空间中的两条直线，则a∩b≠∅与a∩b＝∅有且只有一种情况成立．当a∩b＝∅时，a与b要么平行(记作a∥b)，要么异面． 知识点三　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 1．空间中的平面是可无限延伸的，能用该平面内不共线的3个或3个以上的点来表示．例如，长方形ABCD所在的平面可记作面ABC，也可记作面ABD或面ABCD. 2．习惯上，用小写希腊字母α，β，γ，…表示平面．若A是平面α内的点，A1不是平面α内的点，可用符号简写为A∈α，A1∉α． 3．直线l上的所有点都在平面α内，这称为直线l在平面α内(或平面α过直线l)，记作l⊂α； 直线m上至少有一个点不在平面α内，这称为直线m在平面α外，记作m⊄α； 直线m与平面α有且只有一个公共点B(称为直线m与平面α相交)，即m∩α＝{B}，一般简写为m∩α＝B； 平面α与平面β有公共点，这称为平面α与平面β相交，记作α∩β≠∅． 4．一般地，如果l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则l∩α≠∅与l∩α＝∅有且只有一种情况成立．当l∩α≠∅时，要么l⊂α，要么l与α只有一个公共点；当l∩α＝∅时，称直线l与平面α平行，记作l∥α． 5．如果α与β是空间中的两个平面，则α∩β≠∅与α∩β＝∅有且只有一种情况成立．当α∩β≠∅时，α与β的公共点组成一条直线；当α∩β＝∅时，称平面α与平面β平行，记作α∥β． 知识点四　直线与平面垂直 1．一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足． 2．给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离． 3．特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离． 1．(直线与平面、点与平面的位置关系)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列说法中不正确的是(　　) ①AA′⊥平面ABCD；②A′B′∥平面ABCD；③A′C⊂平面ABCD；④AB′∥DC′；⑤B⊂平面ABCD；⑥A′C′∥平面ABCD. A．④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．③⑤ 答案：D 2．(点、线、面的运动)下列说法正确的是(　　) A．直线的平移只能形成直线 B．直线绕定直线旋转形成柱面 C．直线绕定点旋转可以形成锥面或平面 D．曲线的平移一定形成曲面 答案：C 3.(用符号表示点、线、面的关系)根据图形，填入相应的符号：A____平面ABC；A____平面BCD，BD____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝____． 答案：∈　∉　⊄　AC 题型一　用运动的观点理解空间基本图形之间的位置关系　 　下列说法正确的是(　) A．生活中的几何体都是由平面组成的 B．曲面都是有一定大小的 C．直线是由无限个点组成的，而线段是由有限个点组成的 D．直线平移时不改变方向一定不可能形成曲面 [解析]　组成几何体的面既可以是平面，也可以是曲面，A错误；曲面也可以是无限延展的，B错误；直线和线段都是由无数个点组成的，C错误．故选D. [答案]　D 【感悟提升】　在几何中，把点运动的轨迹看成线，线运动的轨迹看成面．如果点运动的方向不改变，那么它的轨迹为一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 【跟踪训练】 1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．曲面上不存在直线 B．平面上可存在曲线 C．曲线运动的轨迹可形成平面 D．直线运动的轨迹可形成曲面 答案：BCD 解析：由空间中构成几何体的基本元素可判断A错误，B，C，D均正确．故选BCD. 题型二　构成空间几何体的基本元素　 　如图所示是某同学的课桌的大致轮廓，请你从这个几何体中寻找一些点、线、面，并将它们列举出来． [解]　面可以列举如下： 平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2. 线可以列举如下： 直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等等． 点可以列举如下： 点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2. 它们共同组成了课桌这个几何体． 【感悟提升】　空间中的几何体是由点、线、面构成的，点、线、面是构成它们的基本元素．我们可以在现实生活中多找一些这样的几何体来观察一下，加深对构成空间几何体的基本元素的认识． 【跟踪训练】 2．指出下列各几何体的基本元素． 解：①中几何体有6个顶点，12条棱和8个面； ②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面； ③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面； ④中几何体有2条曲线，3个面(2个平面和1个曲面)． 题型三　用符号表示点、线、面的关系　 　根据图形，用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面ABCD； (4)点A1与平面ABCD； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面ABCD； (7)平面A1ABB1与平面ABCD. [解]　(1)点P∈直线AB. (2)点C∉直线AB. (3)点M∈平面ABCD. (4)点A1∉平面ABCD. (5)直线AB∩直线BC＝点B. (6)直线AB⊂平面ABCD. (7)平面A1ABB1∩平面ABCD＝直线AB. 【感悟提升】　用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． 【跟踪训练】 3．用符号语言表示下列语句： (1)直线l经过平面α内两点A，B； (2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P； (3)直线l既在平面α内，又在平面β内； (4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行． 解：(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l. (2)l⊄α，P∈l，P∈α. (3)l⊂α，l⊂β. (4)α∩β＝l，m⊂α，m∥l. 题型四　空间中点、线、面的位置关系　 　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题： (1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？ (2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？ (3)与平面BCC1B1平行的平面有哪几个？ [解]　(1)与直线B1C1平行的平面有平面ADD1A1，平面ABCD. (2)与直线B1C1垂直的平面有平面ABB1A1，平面CC1D1D. (3)与平面BCC1B1平行的平面有平面ADD1A1. 【感悟提升】　解决这类问题的关键在于先要识好图，然后由概念结合图形进行解答．根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行是解答本题的关键． 【跟踪训练】 4.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)找出一组平行平面，一组异面直线； (2)写出所有与直线AD平行的直线． 解：(1)由“如果两平面没有公共点，则这两个平面平行”知平面A1B1BA与平面C1D1DC平行； 直线A1B1与直线BC既不平行，也不相交，因此是一对异面直线．(答案不唯一) (2)与直线AD平行的直线有BC，B1C1，A1D1. 题型五　空间距离　 　已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝10，AD＝8，AA1＝6.求： (1)点B到平面DCC1D1的距离； (2)直线A1B1到平面ABCD的距离； (3)平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离． [解]　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝AD＝8. (1)点B到平面DCC1D1的距离等于线段BC的长，为8. (2)直线A1B1到平面ABCD的距离等于线段A1A的长，为6. (3)平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离等于AB的长，为10. 【感悟提升】　线面距离是在直线与平面平行的前提下存在的，同理面与面之间的距离也是建立在两平面平行的基础上，均可转化为点到平面的距离． 【跟踪训练】 5.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点A1到平面ABCD的距离是____，直线B1C1到平面ABCD的距离是____． 答案：a　a 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为直线A1A⊥平面ABCD，所以线段A1A的长为点A1到平面ABCD的距离，A1A＝a.因为直线B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1上任一点到平面ABCD的距离都是直线B1C1到平面ABCD的距离，又因为点B1∈直线B1C1，且点B1到平面ABCD的距离为a，所以直线B1C1到平面ABCD的距离为a. 1．下列不属于构成几何体的基本元素的是(　　) A．点 B．线 C．面 D．多边形(不含内部的点) 答案：D 解析：构成几何体的基本元素为点、线、面，而多边形由线(段)构成，不是基本元素． 2．若点Q在直线b上，直线b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(　　) A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂β C．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈β 答案：B 解析：点Q在直线b上，则Q∈b，直线b在平面β内，则b⊂β. 3．若直线上至少有两个点在平面外，则(　　) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 答案：D 解析：直线上至少有两点在平面外，则直线不在平面内，即直线与平面无交点或直线与平面交于一点． 4．(多选)下列关于长方体的叙述中，正确的是(　　) A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离，可形成一个长方体 B．长方体中相对的面相互平行 C．长方体中某一底面上的高就是两平行底面间的距离 D．两底面之间的棱互相平行且等长 答案：BCD 解析：当矩形水平放置时，沿竖直方向平移才可得到一个长方体．当矩形不是水平放置时，沿竖直方向平移不能得到长方体，即A不正确，而B，C，D符合长方体的性质．故选BCD. 5.如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB____平面A′B′C′D′，AA′____平面ABCD，线段AA′的长称为______的距离，平面AA′B′B____平面CC′D′D，AB与B′C′的位置关系为____． 答案：∥　⊥　点A′到平面ABCD(答案不唯一)　∥　异面 解析：AB与平面A′B′C′D′无公共点，所以AB∥平面A′B′C′D′；AA′⊥平面ABCD；线段AA′的长称为点A′到平面ABCD的距离；平面AA′B′B与平面CC′D′D无公共点，所以平面AA′B′B∥平面CC′D′D；AB与B′C′既不平行，又不相交，所以两直线异面． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ 对点 平面的表示方法；直线与平面的位置关系 点与直线、平面位置关系的符号表示 点、线、面之间的位置关系的符号表示 直线与平面垂直的判断 两直线相交的判断 平面的概念及性质 直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的符号表示 空间中点、线、面的运动 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 空间中点、线、面位置关系的判断 求长方体中点到平面、直线到平面、平面与平面的距离 几何体的结构 长方体中直线的位置关系；直线与平面的位置关系 长方体中点、线、面位置关系的判断 空间中线的运动；求点到平面、平面与平面的距离 用符号和图形表示点、线、面的位置关系 正方体中直线与平面位置关系的判断及证明 一、单选题 1．下列说法中错误的是(　　) A．平面用一个小写希腊字母就可以表示 B．平面可以用该平面内不共线的3个或3个以上的点来表示 C．△ABC所在的平面不可表示为平面ABC D．一条直线和一个平面可能没有公共点 答案：C 解析：平面也可以用三角形、梯形、正方形等平面图形表示，但是我们习惯上用平行四边形表示． 2．用符号表示“点A在直线l上，在平面α外”为(　　) A．A∈l，A∉α B．A∈l，A⊄α C．A⊂l，A⊄α D．A⊂l，A∉α 答案：A 解析：“点A在直线l上”用“A∈l”表示，“点A在平面α外”用“A∉α”表示．故选A. 3．如图所示，用符号语言可以表示为(　　) A．α∩β＝l，AB∈α，AC∈β，A∈l B．α∩β＝l，AB⊂α，AC⊂β，A∈l C．α∩β＝l，AB⊂α，AC⊂β，A⊂l D．α∩β＝l，A⊂l，B⊂β，C⊂α 答案：B 解析：如题图所示，点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，故用符号语言可以表示为α∩β＝l，AB⊂α，AC⊂β，A∈l. 4．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，与A1D1垂直的平面是(　　) A．平面D1DCC1 B．平面A1ADD1 C．平面A1B1C1D1 D．平面ABCD 答案：A 解析：根据长方体的特征，得A1D1在平面A1ADD1和平面A1B1C1D1内，与平面ABCD平行，与平面D1DCC1垂直． 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　) A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1 答案：D 解析：根据异面直线的概念可知直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线．因为直线B1C1和EF都在平面BCC1B1内，且这两条直线不平行，所以直线B1C1与直线EF相交． 二、多选题 6．下列说法正确的是(　　) A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001 cm 答案：AB 解析：平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，A，B正确，C，D错误．故选AB. 7.(2024·江西南昌二中高一下月考)如图，在空间几何体ABC－A1B1C1中，下列结论正确的是(　　) A．AC∩BC＝C B．AC∩平面BB1C1C＝C C．AC与B1C1是异面直线 D．平面AA1C1C∩平面BB1C1C＝C 答案：ABC 解析：观察题图，根据空间中点、线、面之间的位置关系的定义可得，A，B，C均正确；因为平面AA1C1C∩平面BB1C1C＝CC1，故D错误．故选ABC. 三、填空题 8．给出下列说法：①一个点运动一定形成直线；②直线平移只能形成平面；③直线绕其相交但不垂直的直线旋转形成锥面．其中说法正确的是____(填序号)． 答案：③ 解析：对于①，一个点运动可以形成直线或曲线，故①错误；对于②，将直线平移时，能形成平面，也能形成曲面，故②错误；对于③，直线绕其相交但不垂直的直线旋转形成锥面，故③正确． 9．设A为一个点，a为一条直线，α为一个平面，给出下列命题： ①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a⊂α⇒A∉α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A∈α. 其中真命题的个数为____． 答案：1 解析：①②③错误，④正确．故真命题的个数为1. 10．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AA1＝3 cm，则 (1)点A到平面DCC1D1的距离为____； (2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为____； (3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为____． 答案：(1)4 cm　(2)6 cm　(3)3 cm 解析：由长方体的结构可知，AD⊥平面DCC1D1，所以点A到平面DCC1D1的距离为AD＝BC＝4 cm.因为AA1∥平面BCC1B1，所以直线AA1到平面BCC1B1的距离即为点A到平面BCC1B1的距离，又在长方体中，AB⊥平面BCC1B1，所以直线AA1到平面BCC1B1的距离为AB＝6 cm.由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为AA1＝3 cm. 四、解答题 11．如图所示，指出几何体的点、线、面． 解：其中的点有A，B，C，D，A1，B1，C1.其中的线有AB，BC，CD，DA，A1A，B1B，B1C，A1D，A1B1，C1A1，C1B1，C1C，C1D. 其中的面有平面A1AD，平面B1A1AB，平面B1BC，平面C1DC，平面C1CB1，平面C1B1A1，平面C1A1D，平面ABCD. 12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)与直线A1B既不平行也不相交的棱所在的直线有哪几条？ (2)与直线A1B平行的平面有哪几个？与直线A1B相交的平面有哪几个？ 解：(1)与直线A1B既不平行也不相交的棱所在的直线有6条，即直线DD1，DA，DC，C1D1，C1B1，C1C. (2)与直线A1B平行的平面只有1个，即平面DCC1D1.与直线A1B相交的平面有4个，即平面ADD1A1，平面ABCD，平面BCC1B1，平面A1B1C1D1. 13．(多选)下列关于长方体ABCD－A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法中，正确的是(　) A．直线AA1与直线BB1平行 B．直线AA1与平面C1D1DC相交 C．直线AA1与平面ABCD垂直 D．点A1与点B1到平面ABCD的距离相等 答案：ACD 解析：A正确，由于棱AA1与棱BB1是矩形ABB1A1的一组对边，所以直线AA1∥直线BB1；B不正确，由于直线AA1与平面C1D1DC没有公共点，所以直线AA1∥平面C1D1DC；C正确，AA1⊥平面ABCD；D正确，点A1到平面ABCD的距离为AA1，点B1到平面ABCD的距离为BB1，又AA1＝BB1，因此距离相等．故选ACD. 14．线段AB长为5 cm，在水平面上沿垂直于AB的方向向右移动4 cm后记为DC，将DC沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为D′C′，再将D′C′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′. (1)该长方体的高为____； (2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为____； (3)点A到平面BCC′B′的距离为____． 答案：(1)3 cm　(2)4 cm　(3)5 cm 解析：所得图形如图所示，线段CC′为高，即3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为线段BC的长，即4 cm，点A到平面BCC′B′的距离为线段AB的长，即5 cm. 15．用符号和图形表示下列语句： (1)A，B两点既在平面α内，又在平面β内，则直线AB是平面α与平面β的交线； (2)两条相交直线a和b都在平面α内； (3)直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M. 解：(1)A，B两点既在平面α内，又在平面β内，则直线AB是平面α与平面β的交线， 符号表示为A∈α，B∈α，A∈β，B∈β，则α∩β＝AB. 图形表示如下： (2)两条相交直线a和b都在平面α内， 符号表示为a∩b＝P，a⊂α，b⊂α. 图形表示如下： (3)直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M， 符号表示为a⊂α，b⊄α，a∩b＝M. 图形表示如下： 16.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，试判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并证明． 解：直线PQ与平面AA′B′B平行．证明如下： 连接AD′，AB′，得P为AD′的中点， 在△AB′D′中， ∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′， ∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行， ∴PQ与平面AA′B′B没有公共点， ∴PQ与平面AA′B′B平行． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$