11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

11.1.1　空间几何体与斜二测画法 (教师独具内容) 课程标准：1.利用实物、计算机软件等观察空间图形.2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 教学重点：用斜二测画法画平面多边形及空间几何体的直观图． 教学难点：1.立体图形直观图的画法.2.直观图与原图形之间的长度和角度关系． 核心素养：通过从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养直观想象素养． 知识点一　空间几何体 如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体． 知识点二　直观图及斜二测画法 1．直观图的概念 立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图． 2．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)． (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变． 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半． (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 3．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)． (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴． 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)． 1．(正方体的表面展开图)下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是(　　) 答案：C 2．(正方形的直观图)利用斜二测画法画水平放置的边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的(　　) 答案：C 3.(由直观图求原图面积)某几何体底面的直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝3，O1C1＝1，该几何体底面的面积为____． 答案：6 4.(斜二测画法中线段长度的计算)如图，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝1，B′C′＝2，则△ABC的周长为____． 答案：2＋2 题型一　空间几何体的简单认识　 　分别写出下列直观图所对应的几何体名称． [解]　图①为圆柱；图②为圆锥；图③为三棱柱；图④为长方体． 【感悟提升】　对于一些常见几何体(柱、锥、台)，应该记住它们的大致形状，以便可以快速、准确地认出、画出． 【跟踪训练】 1．如图是某正方体的展开图，将其折叠起来，其图形应是(　　) 答案：B 解析：由题图可知，折叠后正方体中的三条特殊线段在相邻的三个侧面中，并且互相平行，排除A，C，同时又只有两个侧面无线段或圆，排除D. 题型二　画平面图形的直观图　 　用斜二测画法作出如图所示水平放置的△OAB的直观图． [解]　(1)在三角形中建立如图①所示的平面直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图①中作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D. 在坐标系x′O′y′中作O′C′＝OC，O′D′＝OD，分别交x′轴于点C′，D′. (3)在坐标系x′O′y′中作C′A′∥y′轴，并截取C′A′＝CA；作D′B′∥y′轴，并截取D′B′＝DB. (4)连接O′A′，O′B′，A′B′，去掉辅助线，得到△O′A′B′，即为水平放置的△OAB的直观图．如图③所示． 【感悟提升】　画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上或不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来确定． 【跟踪训练】 2.用斜二测画法作出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 解：(1)在等腰梯形ABCD中，以AB的中点O为原点，AB为x轴，建立如图①所示的平面直角坐标系xOy，CD与y轴交于点E，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE.以E′为中点作C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，去掉辅助线，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③. 题型三　画空间几何体的直观图　 　用斜二测画法作出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为2的棱锥的直观图． [解]　(1)画底面．画x轴和y轴，使它们相交于点O，∠xOy＝45°，画出水平放置的边长为2的正方形的直观图ABCD，如图①. (2)画顶点．过点O作z轴，使之垂直于x轴，在z轴上截取OP，使OP的长度为2.顺次连接PA，PB，PC，PD，如图②. (3)成图．擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图③. 【感悟提升】　画空间几何体的直观图应遵循的原则 (1)对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出． (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致． (4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把正方形的几个顶点放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定． 【跟踪训练】 3．已知一棱柱的底面是边长为3 cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图． 解：(1)画轴．画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上画MN＝3 cm，在y轴上画PQ＝ cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面． (3)画侧棱，过点A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′，如图1所示． (4)成图．连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该棱柱的直观图，如图2所示． 题型四　直观图的还原与计算　 　(1)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则下列说法正确的是(　　) A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC的面积是△A′B′C′面积的2倍 C．点B的坐标为(0，) D．△ABC的周长是4＋4 [解析]　因为△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法直观图，所以根据斜二测画法还原原图形，如图所示，其中OA＝OB＝OC＝2.因为AB＝BC＝2，AC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，故A错误；S△ABC＝AC×OB＝×4×2＝4，S△A′B′C′＝A′C′×O′B′sin＝×4×1×＝，所以△ABC的面积是△A′B′C′面积的2倍，故B错误；点B的坐标为(0，2)，故C错误；△ABC的周长是AC＋AB＋BC＝4＋4，故D正确． [答案]　D (2)如图所示，将斜二测画法直观图P′Q′R′S′还原为真实图形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，P′S′＝2，∠S′P′Q′＝45°，试求其真实图形PQRS的面积． [解]　由斜二测画法，知P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，R′S′∥O′x′，所以PQ∥Ox，PS∥Oy，RS∥Ox且PS＝2P′S′，PQ＝P′Q′，SR＝S′R′，故真实图形如图所示． 由上可知，PQ＝P′Q′＝4，SR＝S′R′＝2，PS＝2P′S′＝4， 且四边形PQRS为直角梯形，其面积为(SR＋PQ)×PS＝×(2＋4)×4＝12. 【感悟提升】　 (1)还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且还原平行于x′轴的线段时长度不变，还原平行于y′轴的线段时放大为直观图中相应线段的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． (2)在解决与直观图有关的计算问题时，要依据斜二测画法的规则，画出还原的原平面图，观察两图之间的关系，弄清不变的量与变化的量，再进行计算． 【跟踪训练】 4．(1)如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD的斜二测画法直观图，若A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′＝2，A′D′＝1，则四边形ABCD的面积是(　　) A．10 B．5 C．5 D．10 答案：C 解析：还原后的四边形ABCD为直角梯形，AD为垂直于底边的腰，AD＝2，AB＝2，CD＝3，S四边形ABCD＝×(2＋3)×2＝5.故选C. (2)如图是利用斜二测画法画出的Rt△ABO的直观图，已知A′B′∥y′轴，O′B′＝4，且△ABO的面积为16，过点A′作A′C′⊥x′轴于点C′，则A′C′的长为(　　) A．2 B. C．16 D．1 答案：A 解析：因为A′B′∥y′轴，O′B′＝4，所以在△ABO中，AB⊥OB，OB＝4.又△ABO的面积为16，所以AB×OB＝16，所以AB＝8，所以A′B′＝4，所以A′C′的长为4sin45°＝2. 1.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(　　) A．AB B．AC C．BC D．AD 答案：B 解析：由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长． 2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　) 答案：D 解析：A，C中侧面的个数和底面的边数不一致，故不能围成棱柱；B中两个底面重合，缺少一个底面，不能围成棱柱；D中图形可以围成一个棱柱． 3．下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是(　　) 答案：A 解析：由题意知应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A. 4.如图，一个三角形的斜二测画法直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，则原△AOB的面积是____． 答案： 解析：由题意得O′B′＝B′A′＝1，∠A′B′O′＝90°，则O′A′＝，∴△AOB是以∠O为直角的直角三角形，且OB＝1，OA＝2，∴S△AOB＝OB×OA＝×1×2＝. 5.用斜二测画法作出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图． 解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示． (2)如图②所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC. (3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 由直观图的形状推断原三角形的形状 圆柱的直观图画法 由直观图与原图面积的关系求原图的高 求菱形的直观图的面积 由直观图还原成原图 由直观图的线段长求原图的线段长、面积；判断原图的形状 直观图中边长的计算；直观图的周长、面积的计算 由直观图的边长求原图的周长 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由直观图求原图中线段的数量关系 由原图的面积求直观图中的线段长 由平面图形的直观图画出原图并求面积 斜二测画法作棱柱的直观图 水平放置的等边三角形的直观图 由原图的边长求直观图的高 由直观图画出原图；由直观图中的边长和面积求原图的高及面积 斜二测画法画几何体的直观图 一、单选题 1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测画法直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 答案：C 解析：如图所示，斜二测画法直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形． 2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　) A．平行于z′轴且大小为10 cm B．平行于z′轴且大小为5 cm C．与z′轴成45°且大小为10 cm D．与z′轴成45°且大小为5 cm 答案：A 解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致，所以圆柱的高应画成平行于z′轴且大小为10 cm.故选A. 3.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的斜二测画法直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案：D 解析：由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，即OB×h＝2××2O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4. 4．已知边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，则用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：如图，在菱形ABCD中，连接BD，AB＝1，∠A＝60°，则菱形的面积为S菱形ABCD＝2S△ABD＝2××1×1×sin60°＝，所以用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为S＝S菱形ABCD＝×＝. 5.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图形的形状是(　　) 答案：A 解析：在直观图中，其中一条对角线在y′轴上且长度为，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为2，所以A正确． 二、多选题 6．(2024·福建莆田八中高一下期中)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，O′B′＝2.则下列说法正确的是(　　) A．OA＝4 B．△ABC是等腰直角三角形 C．OB＝4 D．△ABC的面积为8 答案：ABC 解析：根据题意，建立平面直角坐标系，使得OA＝OC＝O′C′＝4，OB＝2O′B′＝4，还原平面图如图所示，对于A，根据作图可知，OA＝4，故A正确；对于B，因为OA＝OB＝OC＝4，故可得∠BCA＝∠BAC＝45°，则∠CBA＝90°，故△ABC是等腰直角三角形，故B正确；对于C，根据作图可知，OB＝4，故C正确；对于D，△ABC的面积S＝AC×OB＝×8×4＝16，故D错误．故选ABC. 7.(2024·河南驻马店期末)如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，AD＝2，用斜二测画法画出它的直观图四边形A′B′C′D′，其中∠x′A′y′＝45°，则下列说法正确的是(　) A．A′D′＝2 B．A′B′＝4 C．四边形A′B′C′D′为等腰梯形 D．四边形A′B′C′D′的周长为6＋4 答案：BC 解析：由题意可画出其直观图如右，其中A′B′∥C′D′，A′B′＝AB＝4，C′D′＝CD＝2，A′D′＝AD＝，故A错误，B正确；过点D′，C′分别作D′M⊥A′B′，C′N⊥A′B′，垂足分别为点M，N，故A′M＝D′M＝C′N＝A′D′·sin45°＝1，NB′＝A′B′－C′D′－A′M＝1，故B′C′＝，则四边形A′B′C′D′为等腰梯形，故C正确；四边形A′B′C′D′的周长为4＋2＋2＝6＋2，故D错误．故选BC. 三、填空题 8.如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为____． 答案：4＋4 解析：由题意可知O′D′＝A′D′＝2，∠A′O′D′＝45°，∴O′A′＝2，还原直观图可得原平面图形，如图，则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2，AB＝DC＝2，∴AD＝＝＝2，∴原平面图形的周长为4＋4. 9.如图是用斜二测画法作出的水平放置的△ABC在坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，∠ACB≠60°且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有____条． 答案：2 解析：由直观图可知△ABC为直角三角形，因为D为AC的中点，所以BD＝AD＝CD，因为∠ACB≠60°，所以BC≠BD，因为∠ACB≠30°，所以AB≠BD.所以与线段BD的长相等的线段有2条． 10.(2024·江苏淮安期中)如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O′为坐标原点，顶点A′，B′均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O′B′的长度为____． 答案：2 解析：因为O′A′，O′B′均在坐标轴上，设O′B′＝t，所以由图OA和OB分别在以O为原点的平面直角坐标的x和y轴上，且OA＝O′A′＝6，OB＝2O′B′＝2t，所以S△AOB＝OA×OB＝×6×2t＝6t＝12，解得t＝2，所以O′B′＝2. 四、解答题 11.如图是用斜二测画法得到的某个四边形的直观图，其中四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且对角线A′C′在水平位置，试画出该四边形的真实图形并求出其面积． 解：四边形ABCD的真实图形如图所示， ∵A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形， ∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， ∴在原四边形ABCD中， DA⊥AC，AC⊥BC. ∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝， ∴S四边形ABCD＝AC×AD＝2. 12.如图，一棱柱形的笔筒，其底面是边长为4 cm的正六边形，高为10 cm，画出此笔筒的直观图． 解：(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O′. (2)画底面：在x′O′y′平面上画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱：过点A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使它们都等于10 cm，如图甲所示． (4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线，就得到了笔筒的直观图，如图乙所示． 13．在下列各组图形中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　) 答案：C 解析：C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，AB边上的高h变为，后者画成斜二测直观图时，AB边上的高不变，底AB变为原来的，画出示意图易知C中两个图形的直观图不全等． 14．如图，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，CD⊥OA，用斜二测画法作出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为____． 答案： 解析：由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则CD＝OD＝2，则直观图中梯形的高h′＝C′D′sin45°＝CDsin45°＝. 15．(2024·安徽合肥期中)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图． (1)画出它的原图形； (2)若A′C′＝2，△A′B′C′的面积是，求原图形中AC边上的高和原图形的面积． 解：(1)画出平面直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′， 在图①中，过点B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在x轴上取OD＝O′D′，过点D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′， 连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′的原图形，如图②所示． (2)由(1)知，原图形中，BD⊥AC于点D，则BD为原图形中AC边上的高，且BD＝2B′D′， 在直观图中作B′E′⊥A′C′于点E′， 则S△A′B′C′＝A′C′×B′E′＝B′E′＝， 在Rt△B′E′D′中，B′D′＝B′E′＝， 所以BD＝2B′D′＝， 所以S△ABC＝AC×BD＝. 故原图形中AC边上的高为，原图形的面积为. 16．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图． 解：(1)画轴．示意图如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°. (2)画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面． (3)在Oz上截取OO′＝4 cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面． (4)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′＝3 cm. (5)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$