10.3 第2课时 复数三角形式的乘除法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

第2课时　复数三角形式的乘除法 (教师独具内容) 课程标准：了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 教学重点：1.用复数的三角形式进行复数乘、除运算.2.复数乘、除运算的几何意义的运用． 教学难点：对复数三角形式的乘、除运算的几何意义的理解． 核心素养：从向量的角度理解复数三角形式的乘、除、乘方运算及几何意义，培养逻辑推理素养，提升数学运算素养． 知识点一　复数三角形式的乘法 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)， 则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． 这就是说，由两个复数z1，z2的三角形式可以便捷地得到z1z2的三角形式：z1的模乘以z2的模等于z1z2的模，z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角．由此还能得到两个复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为，，将绕原点旋转θ2， 再将的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数即为z1z2，如图所示． [拓展]　复数三角形式的乘法公式推广 z1z2z3…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)×…×rn(cosθn＋isinθn)＝r1r2×…×rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． 知识点二　复数三角形式的乘方 两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘．特别地，如果n∈N，则[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]． 知识点三　复数三角形式的除法 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)， z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(z2≠0)， 则＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]， 由此可知，由两个复数z1，z2(z2≠0)的三角形式可以迅速地得到的三角形式：z1的模除以z2的模等于的模，z1的辐角减去z2的辐角是的辐角． 几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量，，将向量按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为原来的倍，所得向量就表示商. 复数除法实质也是向量的旋转和伸缩． 1．(复数乘法的几何意义)在复平面内，常把复数z＝a＋bi(a，b∈R)和向量进行一一对应．现把与复数2＋i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°，所得的向量对应的复数为(　　) A．1－2i B．－1－2i C．1＋2i D．－1＋2i 答案：A 2．(复数三角形式的除法)÷＝____(结果写成三角形式)． 答案：2 3．(复数三角形式的乘法)2(cos75°＋isin75°)×＝____． 答案：＋i 4．(复数三角形式的乘方)已知复数z＝1＋，则复数z在复平面内对应的点的坐标为____． 答案： 题型一　复数三角形式的乘法运算　 　计算下列各式： (1)×； (2)3×7； (3). [解]　(1)原式＝＝. (2)原式＝21 ＝21. (3)原式＝ ＝ ＝＝ ＝－＋i. 【感悟提升】　 (1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和． (2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向． (3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式． 【跟踪训练】 1．(1)计算：(1－i)6. 解：原式＝ ＝26(cos10π＋isin10π)＝64. (2)已知z1＝8(cos240°＋isin240°)，z2＝ 2(cos150°－isin150°)，求z1z2的代数形式． 解：z2＝2(cos150°－isin150°) ＝2[cos(－150°)＋isin(－150°)]， ∴z1z2＝8×2[cos(240°－150°)＋isin(240°－150°)] ＝16(cos90°＋isin90°)＝16i. 题型二　复数三角形式的除法运算　 　计算：(1＋i)÷. [解]　因为1＋i＝， 所以原式＝ ＝ ＝ ＝(0－i)＝－i. 【感悟提升】　 (1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角． (2)结果一般保留代数形式． (3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上，arg与argz1，argz2的关系是arg＝argz1－argz2＋2kπ(k∈Z)． 【跟踪训练】 2．计算：(1)[6(cos70°＋isin70°)]÷[3(cos40°＋isin40°)]； (2)÷. 解：(1)原式＝2(cos30°＋isin30°)＝＋i. (2)原式＝4＝4i. 题型三　几何意义的应用　 　如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝. [证明]　如图，建立平面直角坐标系(复平面)． ∠1＝arg(3＋i)，∠2＝arg(5＋i)，∠3＝arg(7＋i)，∠4＝arg(8＋i)． 又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角， 于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的辐角主值． 而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)， 所以arg[(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝. 【感悟提升】　复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件． 【跟踪训练】 3．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且argz∈. (1)求z的三角形式； (2)记A，B，C分别表示复数z，ω，－2ω在复平面内的对应点．已知A，B，C三点成逆时针顺序，且△ABC为等边三角形，求ω的辐角主值的正切值． 解：(1)由z2＋2z＋4＝0， 得z＝(－2±2i)＝－1±i. ∵argz∈， ∴z＝－1－i应舍去， ∴z＝－1＋i＝2. (2)由题意，：z－(－2ω)＝z＋2ω，：ω－(－2ω)＝3ω， 由△ABC为等边三角形，知||＝||， 又∠ACB＝，A，B，C三点成逆时针顺序， ∴把绕点C按逆时针方向旋转后即得， ∴3ω＝(z＋2ω). 将z＝2代入上式， 解得ω＝－(2＋i)， ∴tan(argω)＝. 1.＝(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 答案：A 解析：原式＝cos＋isin＝cos＋isin＝i. 2．复数z＝，则复数z的实部和虚部的乘积为(　　) A．－32 B．64 C．32 D．－64 答案：D 解析：∵z＝＝()8×＝16＝－8＋8i，∴实部为－8，虚部为8，故－8×8＝－64.故选D. 3．把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　) A．2 B．－2i C.－3i D．3＋i 答案：B 解析：3－i＝2，故所得向量对应的复数为2÷＝2＝－2i. 4．计算：2÷＝____． 答案：－i 解析：解法一：原式＝＝＝＝－i. 解法二：原式＝＝2＝2×＋2×＝－i. 5．已知复数z＝＋，求|z|. 解：因为＝cos＋isin， 所以＝ ＝cos＋isin＝－－i， 故z＝－－i＝－i，|z|＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★ 对点 复数的乘法运算　 复数的除法运算；求辐角主值 复数三角形式的除法运算；求辐角主值 复数三角形式的乘法运算 复数乘法运算的几何意义；求复数的乘积 复数的向量表示；复数的三角形式；复数运算的几何意义 复数的辐角主值；复数的乘除、乘方运算；共轭复数的计算 复数三角形式的乘法 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 复数运算的几何意义；复数的向量表示 复数三角形式的乘方运算 复数三角形式的乘方、除法运算 复数三角形式的乘方、乘法运算 三角表示下复数的乘方运算 复数三角形式的乘方运算 由复数的模及运算结果求复数 复数三角形式运算的几何意义 一、单选题 1.(1＋i)的值是(　　) A．－i B.i C．2i D．－2i 答案：B 解析：解法一：原式＝(1＋i)＝(1＋i)2＝×2i＝i.故选B. 解法二：原式＝×＝＝i.故选B. 2．复数的辐角主值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：解法一：原式＝＝－i＝cos＋isin.故选C. 解法二：原式＝＝cos(－30°)＋isin(－30°)＝cos330°＋isin330°，因为330°＝.故选C. 3．复数的辐角主值为(　　) A．40° B．140° C．220° D．310° 答案：B 解析：∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°，∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin310°， ∴＝＝cos(310°－170°)＋isin(310°－170°)＝cos140°＋isin140°.∴辐角主值为140°.故选B. 4．复数z＝－3＝(　　) A．3 B．3 C．3 D．3 答案：C 解析：z＝3＝3＝3＝3.故选C. 5．(2024·甘肃张掖高一阶段练习)复数z1，z2分别对应复平面内的点Z1(1，)，Z2(，1)，若将按逆时针方向旋转得到，对应复数z3，则z2z3＝(　　) A．－2＋2i B．－2－2i C．－1＋i D．－1－i 答案：A 解析：由题意＝，所以＝＝(0，2)，所以复数z3＝2i，又复数z2＝＋i，所以z2z3＝(＋i)·2i＝－2＋2i.故选A. 二、多选题 6．(2024·天津南开中学专题练习)已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是(　　) A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 答案：AD 解析：因为z1＝(－1－i)z＝2z＝2z，z2＝z＝z＝z，所以将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到.故选AD. 7．(2024·山东青岛二中高一月考)下列命题中正确的是(　　) A．复数z的辐角主值是θ，则z2的辐角主值是2θ B．复数z的辐角主值是θ，则的辐角主值是2π－θ C．复数z1，z2的辐角主值分别是θ1，θ2，则z1z2的辐角主值是θ1＋θ2 D．复数z1，z2的辐角主值分别是θ1，θ2，且θ1>θ2，则的辐角主值是θ1－θ2 答案：BD 解析：设z＝r(cosθ＋isinθ)，θ∈[0，2π)，则z2＝r2(cos2θ＋isin2θ)，若θ∈[π，2π)，2θ≥2π，则z2的辐角主值为2θ－2π，A不正确；＝r(cosθ－isinθ)＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]，的辐角主值为2π－θ，B正确；设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，θ1∈[0，2π)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，θ2∈[0，2π)，z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，若θ1＋θ2≥2π，则z1z2的辐角主值为θ1＋θ2－2π，C不正确；＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，所以的辐角主值是θ1－θ2，D正确．故选BD. 三、填空题 8．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝____． 答案：16i 解析：原式＝16(cos240°＋isin240°)×(cos210°＋isin210°)＝16(cos90°＋isin90°)＝16i. 9．如果向量对应的复数是1＋i，顺时针旋转135°后再把模变为原来的倍，得到向量，那么向量对应的复数是____． 答案：－2i 解析：对应的复数为1＋i＝(cos45°＋isin45°)，顺时针旋转135°，再把模变为原来的倍，即可理解为对应的复数为×[cos(45°－135°)＋isin(45°－135°)]＝－2i. 10.＋2＝____． 答案：－i 解析：原式＝＋2＝cos＋isin＋2＝－i＋2＝－i. 四、解答题 11．计算下列各式： (1)(cos36°＋isin36°)－5； (2). 解：(1)(cos36°＋isin36°)－5 ＝ ＝＝－1. (2)＝ ＝ ＝16 ＝－16i. 12．已知复数z1＝cos＋isin，z2＝2＋2i，求复数zz2＋zz1的值． 解：zz2＋zz1＝(2＋2i)＋(2＋2i)2× ＝×4＋42× ＝4＋16 ＝4＋16 ＝－8－2＋(2＋8)i. 13．(2024·北京西城区高一阶段练习)若z＝sin＋icos，则z3＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案：C 解析：＝＝cos＋isin＝i.故选C. 14．(2024·河北石家庄二中高一阶段练习)若ω＝－＋i，则1＋ω＋ω2＋ω3＝____． 答案：1 解析：因为ω＝－＋i＝cos＋isin，所以ω2＝cos＋isin＝cos＋isin＝－cos－isin＝－－i，ω3＝cos2π＋isin2π＝1.综上，1＋ω＋ω2＋ω3＝1－＋i－－i＋1＝1. 15．已知|z|＝1，z5＋z＝1，求复数z. 解：由|z|＝1，可设z＝cosθ＋isinθ且0≤θ<2π. 代入方程z5＋z＝1，得 (cosθ＋isinθ)5＋(cosθ＋isinθ)＝1， 即(cos5θ＋cosθ－1)＋(sin5θ＋sinθ)i＝0， 所以 即 两式平方后，相加得(1－cosθ)2＋(－sinθ)2＝1. 解得cosθ＝，从而sinθ＝±. 经验证知，z＝±i都是原方程的解． 故z＝＋i或z＝－i. 16．设复数z1，z2对应的向量为，，O为坐标原点，且z1＝－1＋i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2. 解：依题意(－1＋i)＝， 所以z2＝(－1＋i)· ＝2 ＝2＝－＋i. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$