10.3 第1课时 复数的三角形式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

第1课时　复数的三角形式 (教师独具内容) 课程标准：通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 教学重点：复数的三角形式及复数的代数形式与三角形式的互化． 教学难点：复数的辐角主值，复数两种形式之间的互化． 核心素养：1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，培养逻辑推理素养，提升数学抽象素养.2.通过复数的代数形式与三角形式的互化，提升数学运算素养． 知识点　复数的三角形式 1．定义：一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，a＝rcosθ，b＝rsinθ． 因此z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角． 2．辐角与辐角主值：任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz. [注意]　在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z)．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．复数z的辐角主值是确定唯一的． 3．0的三角形式 (1)0＝0(cosθ＋isinθ)，其中θ可以为任意值． (2)任意复数都可以写成三角形式． 1．(复数的辐角主值)已知复数z＝－i，则argz＝(　　) A. B．－ C. D. 答案：C 2．(复数三角形式的判断)下列复数是三角形式的是(　　) A．2 B．2 C．－2 D．2 答案：D 3．(复数的三角形式)将复数z＝－1＋i表示成三角形式为____． 答案：2 4．(复数的代数形式)已知|z|＝2，argz＝，则复数z＝____． 答案：－3i 题型一　代数形式化为三角形式　 　把下列复数的代数形式化为三角形式． (1)＋i；(2)1－i. [解]　(1)r＝＝2， ∵＋i对应的点在第一象限， 且tanθ＝＝，∴θ＝， ∴＋i＝2. (2)r＝＝. ∵1－i对应的点在第四象限， 且tanθ＝＝－1，∴θ＝， ∴1－i＝. 【感悟提升】　复数代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模； (2)确定辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角(一般取其主值)； (4)求出复数三角形式． 【跟踪训练】 1．把下列复数表示成三角形式． (1)－2＋2i；(2)2. 解：(1)原式＝2＝2. (2)原式＝2＝2. 题型二　判断三角形式的条件　 　判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)－； (3)2； (4)sin＋icos. [解]　根据复数的三角形式的结构，z＝r(cosθ＋isinθ)，可依次作出判断． (1)不是.＝. (2)不是．－＝＝. (3)不是.2＝2. (4)不是．sin＋icos＝cos＋isin. 【感悟提升】　判断复数的三角形式的条件 (1)r≥0； (2)加号连接； (3)cos在前，sin在后； (4)θ前后一致，可为任意值． 即“模非负，角相同，余正弦，加号连”． 【跟踪训练】 2．(1)下列复数中是三角形式的是(　　) A．2 B．2 C．2 D．－2 答案：B 解析：复数的三角形式是r(cosθ＋isinθ)，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号． (2)求复数z＝3的辐角主值． 解：∵z＝3＝3， ∴辐角主值argz＝. 题型三　三角形式化为代数形式　 　把下列复数表示成代数形式． (1)4； (2)6. [解]　(1)4＝4×＋4×i＝2＋2i. (2)6＝6×＋6×i＝3－3i. 【感悟提升】　将复数的三角形式化为代数形式： 由z＝r(cosθ＋isinθ)＝rcosθ＋irsinθ， 可得a＝rcosθ，b＝rsinθ. 【跟踪训练】 3．将下列复数的三角形式化为代数形式． (1)z1＝2； (2)z2＝6(cos60°＋isin60°)． 解：(1)z1＝2＝＋i. (2)z2＝6＝3＋3i. 1．－6的辐角主值为(　　) A．0 B. C．π D．－ 答案：C 解析：－6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值arg(－6)＝π.故选C. 2．复数1＋i的三角形式是(　　) A．cos＋isin B．2 C．cos＋isin D．2 答案：B 解析：1＋i＝2＝2.故选B. 3．下列说法正确的是(　　) A．已知复数z＝cos＋isin，则z的辐角主值为 B．复数z＝2i＋3的虚部为2i C．复数z＝2的实部为 D．复数z＝2i的三角形式为z＝2 答案：C 解析：对于A，z的辐角主值argz＝，A错误；对于B，复数z的虚部为实数2，B错误；对于C，z＝2＝＋i，故z的实部为，C正确；对于D，z＝2(0＋i)＝2，D错误．故选C. 4．设复数z的辐角主值为，虚部为－，则z＝____． 答案：－1－i 解析：由复数z的辐角主值为，可设复数z＝r＝－r－ri.因为虚部为－，所以－r＝－，解得r＝2，所以z＝－1－i. 5．设复数z满足z－3的辐角主值为，z＋1的模为，求复数z. 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)． 由|z＋1|＝， 得|(x＋1)＋yi|＝， 所以(x＋1)2＋y2＝10.① 又z－3＝(x＋yi)－3(x－yi)＝－2x＋4yi， 所以arg(z－3)＝ ⇔② 解①②，可得x＝2，y＝－1. 所以z＝2－i. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 求三角形式的复数的辐角主值 求代数形式的复数的辐角主值 求共轭复数的三角形式 求复数对应的点的位置；三角函数符号的判断 求复数的辐角主值 求复数的辐角 求复数的辐角主值；三角形式与代数形式的互化 复数的实部、虚部、三角形式 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 复数的模、辐角主值、三角形式 代数形式的复数的辐角主值；两角和的正切 写出复数的三角形式 复数的乘法、乘方运算；复数的模及辐角主值 复数的除法运算；求复数的辐角主值 已知复数的辐角求复数 复数的混合运算；求复数的模及辐角主值 求共轭复数的辐角主值 一、单选题 1．复数z＝－3的辐角主值是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：z＝－3＝3＝3，∴argz＝. 2．复数z＝的辐角主值是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：z＝＝－i＝，所以辐角主值是.故选D. 3．已知复数z＝－1＋i，则它的共轭复数的三角形式为(　　) A.＝2 B.＝－2 C.＝2 D.＝2 答案：C 解析：∵＝－1－i，∴||＝2，＝2＝2. 4．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：eix＝cosx＋isinx(其中i为虚数单位，i2＝－1)，根据这个公式，e3i表示的复数在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：∵eix＝cosx＋isinx，∴e3i＝cos3＋isin3，3弧度的角终边在第二象限．故选B. 5．(2024·浙江杭州专题练习)复数z＝1－cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的辐角主值为(　　) A.－ B. C.－ D.－ 答案：C 解析：z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin2＋2isincos＝2sin＝2sin.∵π<θ<2π，∴<<π，∴sin>0，－<－<0.∵辐角主值的取值范围为[0，2π)，∴复数z的辐角主值为－.故选C. 二、多选题 6．复数－－i的辐角可能是(　　) A. B. C．－ D. 答案：BCD 解析：复数－－i的辐角为＋2kπ，k∈Z，且当k＝0时，为；当k＝－1时，为－；当k＝1时，为；不存在的情况． 7．(2024·山东青岛专题练习)下列说法正确的是(　　) A．复数z＝cos＋isin的辐角主值为 B．复数z＝cos＋isin的辐角主值为－ C．复数z＝8的代数形式为4＋4i D．复数z＝－2i的三角形式为z＝－2 答案：AC 解析：对于A，因为∈[0，2π)，故z的辐角主值为，故A正确；对于B，－∉[0，2π)，故z的辐角主值不是－，故B错误；对于C，z＝8＝8＝4＋4i，故C正确；对于D，－2＝－2，故D错误．故选AC. 三、填空题 8．复数z＝2的实部是____，虚部是____，三角形式是____． 答案：　－1　2 解析：z＝2＝－i，所以实部为，虚部为－1，三角形式为2. 9．复数1＋i的模是____，辐角主值是____，三角形式是____． 答案：　　 解析：复数1＋i的模是＝，∵1＋i对应的点在第一象限，且辐角的正切tanθ＝1，∴arg(1＋i)＝，∴三角形式为. 10．复数2＋i和－3－i的辐角主值分别为α，β，则tan(α＋β)＝____． 答案：1 解析：∵复数2＋i和－3－i的辐角主值分别为α，β，∴tanα＝，tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝1. 四、解答题 11．把下列复数表示成三角形式： (1)z1＝3＋3i；(2)z2＝－4i. 解：(1)由a＝3，b＝3，知点Z1(3，3)在第一象限，故辐角为第一象限角． r＝＝6. 又tanθ＝＝，所以argz1＝. 所以复数z1＝3＋3i的三角形式为 z1＝6. (2)由a＝0，b＝－4<0， 知r＝＝4，argz2＝， 因此复数z2＝－4i的三角形式为 z2＝4. 12．已知复数z＝＋i，w＝＋i，求复数zw＋zw3的模及辐角主值． 解：∵zw＋zw3＝zw(1＋w2) ＝(1＋i) ＝ ＝. ∴复数zw＋zw3的模为，辐角主值为. 13．已知复数z＝＋i，则arg是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题设，＝＝，所以复数对应的点为，在第四象限，且正切值为－，则arg＝.故选B. 14．(2024·河北邯郸专题练习)已知复数z－1的一个辐角为，z＋1的一个辐角为，则复数z＝____． 答案：－＋i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为z－1＝a－1＋bi的一个辐角为，所以tan＝＝－.因为z＋1＝a＋1＋bi的一个辐角为，所以tan＝＝，解得所以z＝－＋i. 15．已知复数z＝1＋i，求复数的模和辐角主值． 解：＝＝＝1－i， |1－i|＝＝， 因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ＝－1， 所以辐角主值为. 16．已知复数z＝1－sinθ＋icosθ，求z的共轭复数的辐角主值． 解：z＝1＋cos＋isin ＝2cos2＋2isincos ＝2coscos＋isin， 当<θ<π时，<－<，<＋<， ∴＝－2cos－cos＋isin ＝－2cos， ∴的辐角主值为－. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$