10.2.2 复数的乘法与除法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

10.2.2　复数的乘法与除法 (教师独具内容) 课程标准：掌握复数代数表示式的乘、除运算． 教学重点：复数的乘法运算和除法运算． 教学难点：运用复数的乘法运算和除法运算解决问题． 核心素养：通过复数的乘、除法运算，培养逻辑推理素养，提升数学运算素养． 知识点一　复数的乘法 1．定义：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝－1即可． 2．运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3.复数的乘方 (1)n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即zn＝． (2)可以验证，当m，n均为正整数时， zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz． [注意]　实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如： (1)当z∈R时，有|z|2＝z2；当z∈C时，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能简单进行比较．例如，当z＝1＋i时，|z|2＝2，z2＝2i，此时2和2i不能进行比较． (2)当m，n∈R时，有m2＋n2＝0⇔m＝n＝0；当z1，z2∈C时，z＋z＝0z1＝z2＝0，但z1＝z2＝0⇒z＋z＝0. 知识点二　共轭复数的乘积 ∀z∈C，z＝|z|2＝||2． 知识点三　复数的除法 1．定义：如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)． 而且同以前一样，z1称为被除数，z2称为除数． 利用复数除法的定义可以证明，当w为非零复数时，有＝，＝＋. 2．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， ＝＝＋i． 3．一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积． 4．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝． 知识点四　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 1．(复数的乘法)若复数z满足＝－1－i，则z＝(　　) A．2＋2i B．－2－2i C．－2i D．2i 答案：C 2．(复数的除法)复数z＝的虚部为(　　) A. B．－ C.i D．－i 答案：A 3．(复数的乘方)已知i是虚数单位，若复数z＝＋i2024，则z的虚部是____． 答案：－1 4．(实系数一元二次方程的解)若4－3i是实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的一个根，则该方程的另一个根为____． 答案：4＋3i 题型一　复数的乘法运算　 　计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [解]　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i. (3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)·(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 【感悟提升】　 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i2换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2.常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. 【跟踪训练】 1．(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝____． 答案：1＋2i 解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i，又(a＋i)(1＋i)＝bi，所以解得所以a＋bi＝1＋2i. (2)计算：(1＋i)． 解：(1＋i) ＝(1＋i) ＝(1＋i) ＝＋i ＝－＋i. 题型二　复数的除法运算　 　计算：(1)； (2). [解]　(1)＝ ＝＝－2＋i. (2)＝ ＝＝ ＝ ＝＝1－i. 【感悟提升】　复数除法的一般做法 通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简． 【跟踪训练】 2．(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 答案：A 解析：因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i.故选A. (2)已知z是纯虚数，是实数，那么z＝(　) A．2i B．i C．－i D．－2i 答案：D 解析：设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i. 题型三　共轭复数的应用　 　是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i [解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z＋＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i. [答案]　D 【感悟提升】　关于共轭复数的几个常用结论 (1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝|z|2＝||2＝a2＋b2.利用此结论，在复数集中可以将a2＋b2分解为(a＋bi)(a－bi)． (2)z∈R⇒z＝；对于非零复数z，z是纯虚数⇔z＋＝0. (3)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋＝2a，z－＝2bi. (4) ＝1±2，＝12. (5) ＝(z2≠0)． 【跟踪训练】 3．已知复数z的共轭复数为，且z－3iz＝，求z. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则＝a－bi，又z－3iz＝， ∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝， ∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i， ∴ ∴或 ∴z＝－1或z＝－1－3i. 题型四　复数的乘方及in的周期性　 　计算：(1)＋； (2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2024. [解]　(1)＋ ＝＋＝i(1＋i)＋ ＝－1＋i＋(－i)1012＝－1＋i＋1＝i. (2)∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*， ∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2024＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2021＋i2022＋i2023＋i2024)＝1. 【感悟提升】　 1．in(n∈N*)的性质 根据复数乘法法则，容易得到i的n次幂的计算法则，即n∈N*时，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中i0＝1，i－n＝(n∈N*)． 另外，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. 2．常用结论 (1±i)2＝±2i，＝－i，＝i，＝－i. 【跟踪训练】 4．(1)(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 答案：B 解析：由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B. (2)当z＝－时，z100＋z50＋1的值为(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案：D 解析：∵z2＝＝＝－i，∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i. 题型五　实系数一元二次方程在复数范围内的解集　 　(1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　) A．－3＋2i B．3＋2i C．－2＋3i D．2＋3i [解析]　Δ＝36－4×1×13＝－16，所以x＝＝－3±2i. [答案]　A (2)已知x1，x2是一元二次方程x2＋x＋2＝0的两根，则|x1－x2|2＝____． [解析]　解法一：因为Δ＝12－4×1×2＝－7，所以x2＋x＋2＝0有两个互为共轭的虚数根x1＝－＋i，x2＝－－i，所以|x1－x2|2＝|i|2＝7. 解法二：由一元二次方程根与系数之间的关系可得x1＋x2＝－1，x1x2＝2，所以|x1－x2|2＝|(x1＋x2)2－4x1x2|＝|(－1)2－4×2|＝7. [答案]　7 【感悟提升】　在复数范围内求实系数一元二次方程的解的方法 (1)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是实数，且a≠0)的根与根的判别式Δ＝b2－4ac有如下关系： ①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ<0时，方程无实数根，但有两个互为共轭的虚数根． 上述结论反过来也成立． (2)两根x1，x2有如下关系： x1＋x2＝－，x1x2＝. (3)当Δ≥0时， x＝＝； 当Δ<0时， x＝＝. 【跟踪训练】 5．(1)复数z是x2－2x＋3＝0的根，则|z|＝(　　) A．1 B. C. D．2 答案：C 解析：∵复数z是x2－2x＋3＝0的根，∴z＝1±i，∴|z|＝.故选C. (2)已知复数2i－3是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p，q的值分别是(　　) A．12，0 B．24，26 C．12，26 D．6，8 答案：C 解析：∵2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一个根为－2i－3，则＝(－3＋2i)(－3－2i)＝13，即q＝26，－＝－3＋2i－3－2i＝－6，即p＝12.故选C. 1．复数z1＝cosx－isinx，z2＝sinx－icosx，则|z1z2|＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：z1z2＝cosxsinx－cosxsinx－(cos2x＋sin2x)i＝－i，则|z1z2|＝1. 2．设i是虚数单位，复数i3＋＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 答案：D 解析：i3＋＝－i＋i(1－i)＝1. 3．(多选)已知复数z＝－i，其共轭复数为，则(　　) A．z＝1 B．z2＝ C．z3＝1 D．z124＝－＋i 答案：AD 解析：因为z＝＋＝1，所以A正确；因为z2＝＝－－i，＝＋i，所以z2≠，所以B错误；因为z3＝z2×z＝＝－1，所以C错误；因为z6＝z3×z3＝1，所以z124＝z6×20＋4＝z4＝z3×z＝(－1)＝－＋i，所以D正确． 4．若α，β是实系数一元二次方程x2＋x＋p＝0的两个虚数根，且满足|α－β|＝3，则p的值为____． 答案： 解析：设α＝a＋bi，β＝a－bi(a，b∈R)，则|α－β|＝|2bi|＝2|b|＝3，所以|b|＝.由根与系数的关系可得α＋β＝2a＝－1，所以a＝－，所以p＝αβ＝a2＋b2＝＋＝. 5．已知复数z＝. (1)求复数z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． 解：(1)z＝＝＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 复数的乘法运算；复数对应的点的位置 复数的除法运算；复数相等求参数的值 复数的除法运算 实系数方程在复数范围内的解 复数的乘方运算 根与系数的关系；复数的乘法、乘方运算 复数新定义问题；共轭复数的概念及运算 写出符合条件的复数；复数的乘法运算 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 共轭复数的概念及复数的乘法运算 由复数的除法运算结果求参数的值；求共轭复数及复数的模 复数的乘法和除法运算　 复数的除法运算；求复数的模；已知方程的复数根写方程 复数的乘方运算　 复数的模；复数为纯虚数的条件；复数的除法运算 复数的乘、除法运算；复数的模；复数为实数的条件 已知复数的模和虚部求复数；复数的减法及乘方运算；复数对应的点的坐标 一、单选题 1．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A. 2．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是(　) A．－15 B．－3 C．3 D．15 答案：B 解析：＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3. 3．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 答案：C 解析：因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 4．方程x2－x＋1＝0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：配方，得＝－，∴x－＝±i，∴x＝±i，∴方程的解集为. 5．已知复数z满足＝2i21，则(　　) A．z＝－＋i B.＝－i C．z的虚部为 D．z2＝－－i 答案：D 解析：由题意可得＝2i，即1＋2i＝z(－1＋2i)，所以z＝＝＝－i，所以z的虚部为－，＝＋i，z2＝－－i. 二、多选题 6．(2024·江西南昌开学考试)已知虚数z1，z2是方程z3－8＝0的两个不同的根，则下列说法正确的是(　　) A．z＋2z1＋4＝0 B．z＝z2 C．z1z2＝4 D．|z1|＝2 答案：ACD 解析：对于A，z3－8＝(z－2)(z2＋2z＋4)，令z2＋2z＋4＝0，其中Δ＝4－16＝－12<0，由于z1，z2为虚数，故z1，z2为z2＋2z＋4＝0的两个根，则z＋2z1＋4＝0，A正确；对于B，z2＋2z＋4＝0的两个根为＝－1±i，若z1＝－1＋i，z2＝－1－i，则z＝(－1＋i)2＝1－2i＋3i2＝－2－2i≠z2，B错误；对于C，由根与系数的关系得z1z2＝4，C正确；对于D，由B项分析可知，z1＝－1＋i或－1－i，均有|z1|＝＝2，D正确．故选ACD. 7．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，下列四个结论中正确的是(　　) A．(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3) B．z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3) C．(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3) D．z1*z2＝z2*z1 答案：AB 解析：对于A，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)3＝z13＋z23＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；对于B，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z12＋z13＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；对于C，(z1*z2)*z3＝(z12)3＝z123，而z1*(z2*z3)＝z1*(z23)＝z12z3，显然不一定成立；对于D，z1*z2＝z12，而z2*z1＝z21，显然不一定成立． 三、填空题 8．已知复数(2－i)的实部大于0，写出符合条件的一个复数z＝____． 答案：1＋i(答案不唯一) 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(2－i)＝(x－yi)(2－i)＝2x－y－(x＋2y)i，由2x－y＞0，可取x＝1，y＝1，此时z＝1＋i.(答案不唯一) 9．设z1是复数，z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为____． 答案：1 解析：设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x＋yi－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i，故有x－y＝－1，y－x＝1，所以z2的虚部为1. 10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，＋＝，则＝____，|z|＝____． 答案：－1－5i　 解析：＋＝＋＝＋i，＝＝＋i，所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以z＝－1＋5i，＝－1－5i，|z|＝＝. 四、解答题 11．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i(i为虚数单位)． (1)求z1z2； (2)若＝＋，求z. 解：(1)∵z1＝1－i，z2＝2＋2i， ∴z1z2＝(1－i)(2＋2i)＝4. (2)由＝＋，得z＝， z＝＝＝－i. 12．已知复数z1满足z1－4＝(3－2z1)i(i为虚数单位)，z＝＋|z1－2|，求一个以z为根的实系数一元二次方程． 解：由z1－4＝(3－2z1)i，得z1(1＋2i)＝4＋3i， 所以z1＝＝2－i， 所以z＝＋|－i|＝3＋i，若实系数一元二次方程有虚数根z＝3＋i，则必有共轭虚数根＝3－i. 因为z＋＝6，z＝10， 所以所求的一个一元二次方程可以是x2－6x＋10＝0. 13．(2024·陕西咸阳模拟)若复数z满足z2＋z＋1＝0，则z2023＋z2024＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案：B 解析：因为z2＋z＋1＝0，所以z3－1＝(z－1)·(z2＋z＋1)＝0，故z3＝1，因为2022＝3×674，所以z2022＝(z3)674＝1，z2023＋z2024＝z2022(z＋z2)＝z2＋z＝－1.故选B. 14．(2024·河南商丘期中)若复数z满足|z|＝|z＋2i|，且为纯虚数，则z＝____． 答案：1－i 解析：因为为纯虚数，设＝ai(a∈R，且a≠0)，则z＝，z＋2i＝，因为|z|＝|z＋2i|， 所以＝， 所以2|a|＝， 解得a＝－1，所以z＝＝1－i. 15．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω. 解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)， 由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)． 依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i为实数， ∴7x－y＝0.① 又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.② 由①②得或 ∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i. 16．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2. (1)求复数z； (2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi， 所以2ab＝2. 所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i. (2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i， 所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)， 所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1； 当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. 所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)， 所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1. 所以△ABC的面积为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$