10.1.2 复数的几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

10.1.2　复数的几何意义 (教师独具内容) 课程标准：理解复数的代数表示及其几何意义． 教学重点：1.复数的几何意义，共轭复数的概念.2.求复数的模． 教学难点：应用复数的几何意义解决有关问题． 核心素养：通过对复数几何意义的理解，培养数学抽象素养． 知识点一　复数的几何表示 1．复平面的概念 在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi↔点Z(a，b)． 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴． 2．复数的向量表示 因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi↔向量＝(a，b)． 知识点二　复数的两个重要概念 1．共轭复数 (1)定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi． 特别地：当b＝0时，实数a的共轭复数仍是a本身，即z＝⇔z∈R． (2)几何意义：显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数． 2．复数的模(或绝对值) (1)定义：一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示． (2)公式：|z|＝． 当b＝0时，|z|＝＝|a|，这说明复数的模是实数绝对值概念的推广． (3)一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|＝||． [拓展]　满足条件|z|＝r(r为正实数)的复数z所对应的点Z的集合是以原点为圆心，r为半径的圆．满足条件|z|<r(r为正实数)的复数z所对应的点Z的集合是以原点为圆心，r为半径的圆的内部区域(不含圆的边界)．满足条件|z|>r(r为正实数)的复数z所对应的点Z的集合是以原点为圆心，r为半径的圆的外部区域(不含圆的边界)． 1．(复数对应点的坐标)在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标是(　　) A．(1，1) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(－1，－1) 答案：B 2．(复数的向量表示)在复平面内，复数z1对应的点为Z1(1，2)，复数z2对应的点为Z2(2，1)，则对应的复数为(　　) A．3＋3i B．1－i C．－1＋i D．2＋2i 答案：B 3．(共轭复数)复数z满足z＋6i＝(i为虚数单位)，则z的虚部为____． 答案：－3 4．(复数的模)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则|z2|＝____． 答案： 题型一　复数与复平面内的点的对应　 　实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点： (1)位于第二象限？ (2)位于直线y＝x上？ [解]　根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)． (1)由点Z位于第二象限，得解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)． (2)由点Z位于直线y＝x上，得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1. 故满足条件的实数a的值为1. 【感悟提升】　复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 【跟踪训练】 1．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i： (1)对应的点在实轴上方？ (2)对应的点在直线y＝－x－4上？ 解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5， 所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在实轴上方． (2)由题意，得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－， 所以当m＝1或m＝－时，复数z对应的点在直线y＝－x－4上． 题型二　复数与复平面内的向量的对应　 　已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求： (1)表示的复数； (2)表示的复数； (3)点B对应的复数． [解]　(1)∵＝(0，0)－(3，2)＝(－3，－2)， ∴表示的复数为－3－2i. (2)∵＝(3，2)－(－2，4)＝(5，－2)， ∴表示的复数为5－2i. (3)∵＝＋＝＋＝(3，2)＋(－2，4)＝(1，6)， ∴表示的复数为1＋6i， 即点B对应的复数为1＋6i. 【感悟提升】　复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解． 【跟踪训练】 2．(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i 答案：B 解析：向量＝(2，－3)，＝(－3，2)，∵向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，∴向量对应的复数是5－5i. (2)在复平面内，向量(O为坐标原点)对应的复数为1＋i，将向右平移一个单位长度后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　) A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋i C．1＋i，2＋i D．2＋i，1＋i 答案：C 解析：向量向右平移一个单位长度后得到向量，则O′(1，0)，∵＝＋＝＋＝(1，0)＋(1，1)＝(2，1)，∴点A′对应的复数为2＋i.又＝，∴对应的复数为1＋i.故选C. 题型三　共轭复数　 　已知复数z＝6－2i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数所对应的点为(　) A．(6，－2) B．(6，2) C．(－2，6) D．(2，6) [解析]　由题意，可知＝6＋2i，则在复平面内所对应的点为(6，2)．故选B. [答案]　B 【感悟提升】　复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于实轴对称． 【跟踪训练】 3．在复平面内，复数＝sin2＋icos2，则z对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：∵sin2>0，cos2<0，∴复数对应的点(sin2，cos2)在第四象限，∴z对应的点在第一象限．故选A. 题型四　复数模的计算　 　(1)求下列复数的模： ①i；②－2i；③－i. [解]　①|i|＝1. ②|－2i|＝2. ③＝＝1. (2)已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，求|z|. [解]　由题意得A(6，－5)，B(－2，3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)，其对应的复数z＝2－i，则|z|＝＝. 【感悟提升】　复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【跟踪训练】 4．(1)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则的虚部为(　　) A．－ B．－ C. D．－ 答案：B 解析：因为z1＝1－2i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以z2＝－1－2i，所以＝＝＝－－i，其虚部为－. (2)复数z1＝sin－icos，z2＝＋i，试比较|z1|与|z2|的大小． 解：因为|z1|＝ ＝ ＝＝， |z2|＝＝＝1， 且＝>1，所以|z1|>|z2|. 题型五　复数模的几何意义　 　(1)设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ [解]　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5. 这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5. 因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，5为半径的圆． (2)满足条件3≤|z|<4的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ [解]　满足条件3≤|z|<4的复数z在复平面内对应的点Z的集合是圆心为原点O，半径分别为3和4的两圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周，如图所示． 【感悟提升】　根据复数的几何意义及复数模的定义可知，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模的几何意义就是复平面内点(a，b)到原点的距离．解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合所表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决． 【跟踪训练】 5．设z∈C，且满足条件1<|z|<2，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 解：|z|>1表示复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，1为半径的圆外部分， |z|<2表示复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆内部分， ∴复数z对应的点Z的集合是圆心为原点O，半径分别为1和2的两圆所夹的圆环，不包括环的边界． 1．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则(　) A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 答案：D 解析：由z对应的点在虚轴上，可知复数z是纯虚数或0，得a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0. 2．已知复数z在复平面内对应的点与复数3－2i在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数z的共轭复数为(　　) A．3＋2i B．2－3i C．－3－2i D．－3＋2i 答案：D 解析：复数3－2i在复平面内对应的点为(3，－2)，关于虚轴对称的点为(－3，－2)，所以复数z在复平面内对应的点为(－3，－2)，即z＝－3－2i，所以＝－3＋2i. 3．若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　) A．5 B. C．2 D．2 答案：A 解析：由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，∴解得 ∴|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.故选A. 4．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则满足条件1<|z|<2的点Z(x，y)构成的图形的面积为____． 答案：3π 解析：满足条件1<|z|<2的点Z(x，y)的集合是以原点为圆心，1和2分别为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，其面积为π(22－12)＝3π. 5．在复平面内作出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面内的位置关系． 解：根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1，0)，， 则向量，，如图所示． |z1|＝＝1，|z2|＝|－1|＝1， |z3|＝＝1. 在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 求复数对应的复平面内的点的坐标 求复数的模 求复数对应的复平面内的点所在象限 已知复数及其模的数量关系求复数 求复数对应的点的轨迹形状 复数的模；共轭复数的概念及计算 求复数的模；与复数模相关的轨迹问题 根据复数对应的点的坐标的特点求复数 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 求复数模的取值范围 由复数的向量表示求参数的值 由复数对应的点的坐标的特点求参数的取值范围 复数的几何意义及应用 由复数模的范围求参数的取值范围 由复数模的范围求参数的取值范围；集合的交集运算 求共轭复数；由复数的模求参数的取值；求复数模的最小值 由复数模的大小关系求参数的取值范围 一、单选题 1．在复平面内，复数3i－i2对应的点的坐标为(　) A．(1，3) B．(3，1) C．(－1，3) D．(3，－1) 答案：A 解析：3i－i2＝1＋3i，故复数3i－i2对应的点的坐标为(1，3)．故选A. 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 答案：C 解析：若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C. 3．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点为P，则点P不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，又z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)，所以x＝m＋3，y＝m－1，所以x－y－4＝0，因为直线x－y－4＝0不经过第二象限，所以复数z在复平面内对应的点P不可能在第二象限． 4．(2024·安徽合肥期末)已知复数z满足||－z＝2＋i，则z＝(　　) A.＋i B．－＋i C.－i D．－－i 答案：D 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由已知得－a－bi＝2＋i，由实部、虚部分别相等得解得a＝－，b＝－1，所以z＝－－i.故选D. 5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点组成的集合是(　) A．1个圆 B．1条线段 C．2个点 D．2个圆 答案：A 解析：由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，∴复数z对应的点组成的集合是以原点为圆心，3为半径的圆． 二、多选题 6．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，则(　　) A．z不可能为纯虚数 B．若z的共轭复数为，且z＝，则z是实数 C．若z＝|z|，则z是实数 D．|z|可以等于 答案：BC 解析：当a＝0，b＝1时，z＝i为纯虚数，故A错误；若z＝，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，故B正确；由|z|是实数且z＝|z|，知z是实数，故C正确；若|z|＝，则a2＋b2＝，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32＜0，无解，即|z|不可以等于，故D错误．故选BC. 7．(2024·山东泰安期中)已知复数z1＝3＋4i，z2＝－2＋5i，z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则(　　) A．Z1，Z2两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．Z1，Z2两点之间的距离为|Z1Z2|＝ C．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足|z1|<|z|<|z2|的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 答案：BD 解析：对于A，由题意得z1＝3＋4i，z2＝－2＋5i，所以|z1|＝＝5，|z2|＝＝，所以|z1|≠|z2|，所以Z1，Z2两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误；对于B，Z1，Z2两点之间的距离为|Z1Z2|＝＝，故B正确；对于C，满足|z|＝|z1|＝5的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，5为半径的圆，所以其周长为2π×5＝10π，故C错误；对于D，满足|z1|<|z|<|z2|的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以＝5，＝为半径的两个圆所夹的圆环，所以其面积为π×()2－π×52＝4π，故D正确．故选BD. 三、填空题 8．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|＝5，在复平面内对应的点在函数y＝x的图象上，则z＝____． 答案：－3＋4i 解析：由题意设＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti.∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1.又z在复平面内对应的点在第二象限，∴t<0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i. 9．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为____． 答案：(0，2) 解析：|z|＝＝，∵π<α<2π，∴－1<cosα<1.∴0<2＋2cosα<4.∴|z|∈(0，2)． 10．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是____． 答案：5 解析：由已知，得＝(－1，2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，∴x＋y＝x(－1，2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)．由＝x＋y，可得解得∴x＋y＝5. 四、解答题 11．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点： (1)在第四象限？ (2)在x轴负半轴上？ (3)在实轴上方(含实轴)? 解：(1)要使点位于第四象限， 需∴ 解得－7<m<3. ∴当－7<m<3时，复数z对应的点在第四象限． (2)要使点位于x轴负半轴上，需 ∴得m＝4. ∴当m＝4时，复数z对应的点在x轴负半轴上． (3)要使点在实轴上方(含实轴)，需m2＋3m－28≥0， 解得m≥4或m≤－7. ∴当m≥4或m≤－7时，复数z对应的点在实轴上方(含实轴)． 12．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. (1)求向量，，对应的复数； (2)判断△ABC的形状． 解：(1)由复数的几何意义知， ＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)， 所以＝－＝(1，1)， ＝－＝(－2，2)， ＝－＝(－3，1)， 所以向量，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. (2)因为||＝，||＝2，||＝， 所以||2＋||2＝||2， 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 13．使|logx－4i|≥|3＋4i|成立的x的取值范围是(　) A. B．(0，1]∪[8，＋∞) C.∪[8，＋∞) D．(0，1)∪(8，＋∞) 答案：C 解析：由题意得≥5，∴(logx)2≥9，∴logx≥3或logx≤－3，∴0<x≤或x≥8. 14．(2024·山东淄博期中)设集合M＝{y|y＝|cosx－sinx|，x∈R}，N＝{x||＋xi|<，x∈R，i为虚数单位}，则M∩N＝____． 答案：[0，1) 解析：∵y＝|cosx－sinx|＝∈[0，]，∴M＝[0，]．∵|＋xi|<，∴<，∴－1<x<1，∴N＝(－1，1)，∴M∩N＝[0，1)． 15．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)． (1)若m＝1，且||＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值； (2)求当m为何值时，||最小．并求出||的最小值． 解：(1)由m＝1，得z＝3＋4i，＝3－4i， 则由||＝|x＋(x－1)i|， 得＝， 整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3. (2)||＝＝＝≥，当且仅当m＝－1时，||取得最小值，为. 16．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围． 解：∵|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|， 且|z1|>|z2|， ∴>|x2＋a|对x∈R恒成立，等价于(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立． 不等式等价于①解得a＝， 或② 解得－1<a<. 综上可得，实数a的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$