10.1.1 复数的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

10.1.1　复数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过方程的解，认识复数.2.理解两个复数相等的含义． 教学重点：复数的概念． 教学难点：应用复数相等的充要条件解决问题． 核心素养：通过虚数单位i的引入、复数的概念的形成，培养数学抽象素养． 知识点一　复数的有关概念 1．虚数单位 一般地，为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位． 2．复数 一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b. 3．复数集 (1)定义：所有复数组成的集合称为复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示，C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． 知识点二　复数的分类 1．任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数． 2．复数集内的包含关系 知识点三　复数相等的充要条件 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2. 如果a，b，c，d都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d； a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0． [注意]　两个复数一般只能说相等或不相等，不能比较大小，只有实数间才能比较大小． 1．(复数的概念)复数z＝3－4i(其中i是虚数单位)的虚部为(　　) A．5 B．－4i C．4 D．－4 答案：D 2．(复数集内的包含关系)设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为(　　) A．ABC B．BAC C．BCA D．ACB 答案：B 3．(复数的分类)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝____． 答案：±1 4．(复数相等的条件)设x，y∈R，若x＋(y－1)i＝3＋xi，其中i是虚数单位，则x＋y＝____． 答案：7 题型一　复数的有关概念　 　给出下列四个命题： ①两个复数不能比较大小； ②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④复数a＋bi(a，b∈R)不是实数． 其中真命题的个数是____． [解析]　①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则ai不是纯虚数；④当b＝0时，复数a＋bi是实数． [答案]　0 【感悟提升】　数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练】 1．下列命题中正确的是(　　) A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1 D．两个虚数不能比较大小 答案：D 解析：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错误；对于C，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确． 题型二　复数的分类　 　当m为何实数时，复数z＝＋(m2＋8m＋15)i是实数？虚数？纯虚数？ [解]　∵m∈R，∴①当即m＝－3时，z是实数． ②当m2＋8m＋15≠0，且m＋5≠0，即m≠－3且m≠－5时，z是虚数． ③当＝0，且m2＋8m＋15≠0，即m＝2时，z是纯虚数． 【感悟提升】　利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤 (1)判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练】 2．设复数z＝(m2－1)＋(m2－2m－3)i，试求实数m取什么值时，z分别为： (1)实数；(2)纯虚数． 解：(1)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，z为实数． (2)当即m＝1时，z为纯虚数． 题型三　复数相等的充要条件的应用　 　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值． [解]　∵M∪P＝P，∴M⊆P， 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得解得m＝1； 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 得解得m＝2. ∴实数m的值为1或2. 【感悟提升】　复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组． 【跟踪训练】 3．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值． 解：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)， ∴解得 ∴a＝－1. 1．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件． 2．以3i－的虚部为实部，3i2＋i的实部为虚部的复数是(　) A．3－3i B．3＋i C．－＋i D.＋i 答案：A 解析：3i－的虚部为3，3i2＋i的实部为－3，所以所求复数为3－3i. 3．已知复数z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值不可能为(　　) A. B. C．π D. 答案：D 解析：由题意，可知cosα＋cos2α＝0，所以cosα＋2cos2α－1＝0，解得cosα＝－1或cosα＝，因为0<α<2π，所以α＝π或α＝或α＝.故选D. 4．定义运算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x，y的值分别是____． 答案：－1，2 解析：由定义得＝3x＋2y＋yi，所以(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以即解得 5．若不等式m2－(m2－2m)i＜9＋i成立，求实数m的值． 解：依题意 得因此m＝2. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 由复数的分类求参数的值 复数集、实数集等之间的关系 由复数相等求值 由复数的实部和虚部求复数 复数相关概念的辨析 由复数相等求参数的取值(三角函数相关) 复数分类条件的判断 由纯虚数的条件求参数的取值范围 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 由复数为0的条件求参数的值 由复数比大小的条件求参数的取值范围 由复数为纯虚数求参数的值 由复数相等求参数的值 由复数为纯虚数求参数的值；利用同角三角函数关系求值 由复数为纯虚数求参数的值及复数的虚部 由复数为纯虚数求参数的值；由复数相等求参数的取值范围 由复数的大小关系求参数的取值范围 一、单选题 1．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为(　　) A．1或－1 B．1 C．－1 D．0或－1 答案：C 解析：∵复数z＝＋(a2－1)i是实数，∴解得a＝－1.故选C. 2．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则(　) A．C＝R∪I B．R∪I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅ 答案：D 解析：由Venn图可知R∩I＝∅. 3．复数z的实部Re(z)、虚部Im(z)满足：－Re(z)＋[1－2Im(z)]i＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　) A．1－i B．－1－i C．1－i D．－1－i 答案：B 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由－Re(z)＋[1－2Im(z)]i＝1＋2i，得－x＋(1－2y)i＝1＋2i，所以解得所以z＝－1－i. 4．(2024·广东湛江期末)以2i－的虚部为实部，i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　) A．－＋i B．2＋i C．2－2i D.＋i 答案：C 解析：复数2i－的虚部为2，又i＋2i2＝－2＋i，则i＋2i2的实部为－2，所以新复数为2－2i. 5．给出下列命题： ①不全为实数的两个复数不能比较大小； ②复数z1，z2，z3满足(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3； ③x＋yi＝i⇔x＝0，y＝1. 其中正确命题的个数为(　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：严格按照复数的有关概念和性质进行判断，可知①正确． 二、多选题 6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，z1＝z2，则θ的值可能为(　) A. B．－ C. D．－ 答案：AD 解析：由复数相等的定义，可知∴cosθ＝，sinθ＝，∴θ＝＋2kπ，k∈Z，令k＝0，得θ＝；令k＝－1，得θ＝－.故选AD. 7．(2024·山东济南月考)下列命题中不正确的是(　　) A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时，z为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若a∈R，则ai为纯虚数 D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 答案：ABC 解析：对于A，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数，故A不正确；对于B，当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，故B不正确；对于C，当a≠0时，ai为纯虚数，故C不正确；对于D，z∈R，则a＋|a|＝0，所以a≤0，故D正确．故选ABC. 三、填空题 8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是____． 答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞) 解析：若复数为纯虚数，则有即∴a＝－1，故复数不是纯虚数时，a≠－1. 9．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝____． 答案：－2 解析：∵m∈R，∴解得m＝－2. 10．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的取值范围是____． 答案：{－2} 解析：∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，∴ ∴∴x＝－2. 四、解答题 11．是否存在实数m，使复数z＝(m2－m－6)＋i为纯虚数？若存在，求出m的值；否则，请说明理由． 解：假设存在实数m，使复数z是纯虚数，则 　 由①，得m＝－2或m＝3. 当m＝－2时，②式无意义； 当m＝3时，②式不成立． 故不存在实数m，使复数z为纯虚数． 12．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且满足(M∩N)⊆M，M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，① 或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③ 由①得解得a＝－3，b＝±2， 由②得解得a＝±3，b＝－2， 由③得该方程组中a，b无整数解，不符合题意． 综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2. 13．若复数z＝(sinθ－2cosθ)＋(sinθ＋2cosθ)i是纯虚数，则sinθcosθ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：C 解析：因为z是纯虚数，所以⇒tanθ＝2，所以sinθcosθ＝＝＝＝.故选C. 14．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)，m∈R，如果z是纯虚数，则m的值是____，z的虚部为____． 答案：－1　2 解析：因为z是纯虚数，所以解得m＝－1.则z＝ilog2(3－m)＝ilog222＝2i，则z的虚部为2. 15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解：(1)若z1为纯虚数，则 解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 所以λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2. 因为－1≤sinθ≤1，所以当sinθ＝1时，λmin＝2，当sinθ＝－1时，λmax＝6，所以实数λ的取值范围是[2，6]． 16．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m值的集合又是什么？ 解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0， 解得m＝0，－1，－2，∴z1＝1或2或5. 当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0， 解得m＝0，1，4，∴z2＝2或6或18. 上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，z1＝1，z2＝2. ∴当z1>z2时，m值的集合为∅； 当z1<z2时，m值的集合为{0}． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$