9.1.2 余弦定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

9.1.2　余弦定理 (教师独具内容) 课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 教学重点：余弦定理的推导及应用． 教学难点：向量知识在推导余弦定理时的应用． 核心素养：1.通过用向量推导余弦定理，提升逻辑推理素养.2.运用余弦定理及变形求解三角形问题，提升数学运算素养． 知识点一　余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍，即：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 知识点二　余弦定理的变形 cosA＝，cosB＝，cosC＝． sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA， sin2B＝sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB， sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC. 1．(判断三角形的形状)已知△ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是____三角形． 答案：钝角 2．(利用余弦定理求角)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为____． 答案： 3．(利用余弦定理求边)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC＝____． 答案： 4．(余弦定理边角互化的应用)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则＝____． 答案：1 题型一　利用余弦定理解三角形　 1．已知两边及一角解三角形 　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a. [解]　解法一：由余弦定理， 得b2＝a2＋c2－2accosB， ∴32＝a2＋(3)2－2a×3cos30°， ∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°； 当a＝6时，由正弦定理， 得sinA＝＝＝1， ∴A＝90°，∴C＝60°. 解法二：由b<c，B＝30°，c>b>csin30°＝3×＝知本题有两解． 由正弦定理，得 sinC＝＝＝， ∴C＝60°或120°. 当C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理，得a＝＝＝6； 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3. 【感悟提升】　已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)三角形中已知两边和一边的对角，有两种解法．解法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．解法二直接运用正弦定理，先求角再求边． (2)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用正弦定理或余弦定理求解． 【跟踪训练】 1．(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是(　　) A．8 B．2 C．6 D．2 答案：D 解析：根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，解得c＝2. (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，b＝1，则△ABC的面积为____． 答案： 解析：因为A＝，a＝，b＝1，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即7＝1＋c2－c，解得c＝3或c＝－2(舍去)，所以S△ABC＝bcsinA＝. 2．已知三边(三边关系)解三角形 　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　) A. B. C. D. [解析]　因为c<b<a，所以最小角为角C.因为cosC＝＝＝，所以C＝.故选B. [答案]　B (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长． [解]　已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4， 又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c， 从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14. 又b＝a－4>0，所以a＝14，即此三角形的最大边长为14. 【感悟提升】　已知三边求解三角形的方法 (1)已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理求解，若是求三角形的三个内角，则最后一个角用三角形内角和定理求解即可；若是求最大角或最小角，则要先判断最大角或最小角再求解． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解． 【跟踪训练】 2．(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为____． 答案：120° 解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，∴边a最大．又cosA＝＝－，且0°<A<180°，∴A＝120°. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2＝2a2，则cosA的最小值为____． 答案： 解析：由余弦定理的推论，得cosA＝≥＝＝，当且仅当b＝c＝a时，等号成立． 题型二　判断三角形的形状　 　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状． [解]　解法一：由正弦定理，得＝， 由2cosAsinB＝sinC，得cosA＝＝， 又cosA＝， ∴＝，即a＝b. 又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴b＝c， 综上a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形． 解法二：由2cosAsinB＝sinC，得2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB， ∴sin(A－B)＝0， 又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B. 由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab， ∴cosC＝，C＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 【感悟提升】　利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理、三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 【跟踪训练】 3．在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)·sinA，判断△ABC的形状． 解：解法一：由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 b＝a， 整理，得(b2－a2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2， 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． 解法二：由正弦定理，原等式可化为 (sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA， ∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A， ∴2B＝2A或2B＋2A＝π， ∴A＝B或A＋B＝， 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． 题型三　利用正、余弦定理解决平面图形中的计算、证明问题　 　在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长． [解]　在△ABD中，设BD＝x，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD×ADcos∠BDA， 即142＝x2＋102－2×10xcos60°， 整理得x2－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)． 在△BCD中，由正弦定理， 得＝， 所以BC＝×sin30°＝8. 【感悟提升】　 (1)与平面多边形有关的问题，有时可以转化为三角形的问题来求解． (2)在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是应用余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． (3)解题过程中，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用． 【跟踪训练】 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.BM是AC边上的中线，求证：BM＝. 证明：设BM＝x>0，∠BMC＝α， 则∠AMB＝π－α. 在△BCM中，由余弦定理的推论， 得cosα＝＝. 在△ABM中，同理得cos(π－α)＝. ∵cos(π－α)＋cosα＝0， ∴＋＝0， 得2x2＋－(c2＋a2)＝0， 即x2＝， 又x>0，∴x＝， 即BM＝. 题型四　正弦定理、余弦定理与其他知识综合　 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosB＝bcosC＋ccosB. (1)求B； (2)求函数f(A)＝2sin2－cos的最大值及取得最大值时A的值． [解]　(1)解法一：2acosB＝b×＋c×＝a，即cosB＝， 又0<B<π，∴B＝. 解法二：由已知条件及正弦定理可得 2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC， 即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA， ∵sinA≠0，∴cosB＝， 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)f(A)＝2sin2－cos ＝1－cos－cos ＝1＋sin2A－ ＝1＋sin2A－cos2A ＝sin＋1， 又B＝，∴0<A<，－<2A－<， ∴当2A－＝，即A＝时，f(A)取得最大值，为＋1. 【感悟提升】　余弦定理与同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数、向量等知识综合命题是高考的一种趋势．通常此类问题的第一问考查正弦或余弦定理，一般是利用定理进行边角互化求解；第二问通常求最值、面积，一般需利用向量运算、三角恒等变换等来化简函数解析式，或用正弦或余弦定理、三角恒等变换的思想将有关问题转化为某一个角的三角函数，再利用相应公式及性质求解． 【跟踪训练】 5．已知向量m＝(sinA，sinC)，n＝(cosC，cosA)，m·n＝sin2B，且A，B，C分别是△ABC的三边a，b，c所对的角． (1)求角B； (2)若b＝2，a＋c＝4，求△ABC的面积． 解：(1)∵m·n＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin2B， ∴sinB＝2sinBcosB. ∵B为△ABC的内角，∴0<B<π，sinB≠0， ∴2cosB＝1，∴cosB＝，∴B＝. (2)由余弦定理，得cosB＝， 即cos＝. ∴a2＋c2＝ac＋4. ∵a＋c＝4， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝16，∴ac＝4， ∴S△ABC＝acsinB＝×4×sin＝. 1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝＝＝. 2．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(a＋b)2－c2＝4，C＝60°，则ab的值为(　　) A. B．8－4 C．1 D. 答案：A 解析：由c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cosC)＝2ab(1＋cos60°)＝3ab＝4，∴ab＝. 3．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为____． 答案：120° 解析：由c>a>b，知角C为最大角，则cosC＝＝－，解得C＝120°，即此三角形的最大角的度数为120°. 4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且b＝，c＝1＋，a2＝b2＋c2－2bcsinA，则a＝____． 答案：2 解析：由已知及余弦定理，得sinA＝＝cosA，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，即a＝2. 5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状． 解：由余弦定理，知cosB＝， 代入c＝acosB，得c＝a×， ∴c2＋b2＝a2， ∴△ABC是以A为直角的直角三角形． 又b＝asinC，∴b＝a×，∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形． 综上所述，△ABC是等腰直角三角形． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 已知两边及夹角求三角形周长 已知边、角、三角形面积求角 余弦定理与平面向量结合求数量积 利用正、余弦定理进行边角转化求角 由三角形角的范围求边的范围 利用余弦定理判断三角形形状、求角；三角形中边角关系 利用余弦定理边化角求角 已知两边及夹角求角 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ 对点 利用余弦定理求边 利用余弦定理及三角形面积公式求边 已知边角关系求边长；利用两角差正弦公式求值 利用正弦定理边化角求角；利用余弦定理及三角形面积公式求面积 利用余弦定理判断三角形形状 利用正、余弦定理及均值不等式求角的最大值 已知三边关系及一角求边和角；利用两角差公式求值 已知边角求三角形面积；根据三角形形状求线段的取值范围 一、单选题 1．在△ABC中，若a＝2，b＝4，cosC＝，则△ABC的周长为(　　) A．8 B．16 C．10 D．20 答案：C 解析：因为a＝2，b＝4，cosC＝，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－2×2×4×＝16，所以c＝4，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋4＋4＝10. 2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则sinC＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由已知得S△ABC＝bcsinA＝c＝，∴c＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，∴a＝，由正弦定理知＝，即＝，∴sinC＝.故选C. 3．在△ABC中，AB＝，BC＝1，cosC＝，则·＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：C 解析：在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA×CBcosC，即2＝CA2＋1－2CA×，∴CA2－CA－1＝0，∴CA＝2，∴·＝||||cos(180°－C)＝－||·||cosC＝－1×2×＝－. 4．(2024·四川成都期末)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且sinA＝2sinB，2acosC＋b＝0，则cosA＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为sinA＝2sinB，所以a＝2b，因为2acosC＋b＝0，所以2a×＋b＝0，化简得a2＋2b2－c2＝0，将a＝2b代入，可得6b2＝c2，所以c＝b，所以cosA＝＝＝.故选C. 5．已知钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为(　　) A.<a<3 B.≤a<3 C.≤a≤3 D.<a≤3 答案：B 解析：设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理，得cosα＝＝，所以－≤<0，解得≤a<3. 二、多选题 6．在△ABC中，下列结论正确的是(　) A．若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形 B．若a2＝b2＋c2＋bc，则A为150° C．若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形 D．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3 答案：AB 解析：对于A，若a2>b2＋c2，则b2＋c2－a2<0，即有cosA＝<0，即A为钝角，故A正确；对于B，若a2＝b2＋c2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，则cosA＝＝－，即A＝150°，故B正确；对于C，若a2＋b2>c2，则a2＋b2－c2>0，即cosC>0，即C为锐角，不能说明A，B也是锐角，故C错误；对于D，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则A＝30°，B＝60°，C＝90°，故a∶b∶c＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝1∶∶2，故D错误．故选AB. 7．(2024·湖南衡阳期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcsin2A＝b2＋c2－a2，则A的大小可能为(　　) A. B. C. D. 答案：ACD 解析：依题意可得sin2A＝＝cosA，即2sinAcosA＝cosA，则cosA＝0或sinA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝或或.故选ACD. 三、填空题 8．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝____． 答案：30° 解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4cos60°＝12，∴c＝2.由正弦定理，得＝，解得sinA＝.∵a<c，∴A<60°，∴A＝30°. 9．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长度为____． 答案：4 解析：由题意知sin∠ABC＝＝sin＝cos∠CBD，在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC×BDcos∠CBD＝27＋25－2×3×5×＝16，所以CD＝4. 10．(2023·全国甲卷)在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝____． 答案：2 解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a. 解法一：在△ABC中，由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋.由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，×2×b×sin60°＝×2×AD×sin30°＋×AD×b×sin30°，解得AD＝＝＝2. 解法二：在△ABC中，由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋，由正弦定理可得，＝＝，解得sinB＝，sinC＝，因为1＋＞＞2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，所以AD＝AB＝2. 四、解答题 11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解：(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)， 又a＋c＝6，① b＝2，cosB＝，∴ac＝9，② 由①②，解得a＝3，c＝3. (2)在△ABC中， ∵cosB＝，∴sinB＝＝. 由正弦定理，得sinA＝＝， ∵a＝c，∴A为锐角， ∴cosA＝＝. ∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝. 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ccosB＋b＝a. (1)求角C； (2)如图，若a＝b，D为△ABC外一点，AD∥BC，AD＝CD＝2，求四边形ABCD的面积． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得 sinCcosB＋sinB＝sinA. 又A＝π－(B＋C)， 所以sinCcosB＋sinB＝sin(B＋C)， 即sinCcosB＋sinB＝sinBcosC＋cosBsinC， 所以sinBcosC＝sinB. 又B∈(0，π)，所以sinB≠0，故cosC＝. 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)因为AD∥BC， 所以∠CAD＝∠ACB＝. 在△ACD中，AD＝CD＝2， 所以∠ACD＝∠CAD＝，故∠ADC＝， 所以AC2＝22＋22－2×2×2cos＝12， 即AC＝2. 又∠ACB＝，AC＝BC， 所以S△ACB＝AC×BCsin＝AC2＝3. 又S△ACD＝CD×ADsin＝， 所以四边形ABCD的面积为3＋. 13．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 答案：A 解析：设直角三角形的三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，令三边都增加x(x>0)，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以c＋x所对的最大角变为锐角，所以三角形是锐角三角形． 14．(2024·内蒙古包头期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA＋2csinC＝2bsinCcosA，则角A的最大值为____． 答案： 解析：由asinA＋2csinC＝2bsinCcosA及正弦定理得a2＋2c2＝2bccosA，即cosA＝，又由余弦定理得cosA＝，∴a2＋2c2＝b2＋c2－a2，∴2a2＝b2－c2，∴cosA＝＝＝≥＝，当且仅当b＝c时，等号成立，又A∈(0，π)，∴角A的最大值为. 15．(2024·天津高考)在△ABC中，cosB＝，b＝5，＝. (1)求a； (2)求sinA； (3)求cos(B－2A)． 解：(1)设a＝2t，c＝3t，t>0，则根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB， 即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t×， 解得t＝2(负值舍去)，则a＝4，c＝6. (2)解法一：因为B∈(0，π)， 所以sinB＝＝＝， 再根据正弦定理，得＝， 解得sinA＝. 解法二：由余弦定理，得 cosA＝＝＝， 因为A∈(0，π)，则sinA＝＝. (3)因为cosB＝>0，且B∈(0，π)， 所以B∈， 由(2)解法一知sinB＝， 因为a<b，则A<B， 所以cosA＝＝， 则sin2A＝2sinAcosA＝2××＝，cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝， cos(B－2A)＝cosBcos2A＋sinBsin2A＝×＋×＝. 16．(2024·山西大同开学考试)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，sinB＋sinC＝2sinA. (1)若cosA＝，求△ABC的面积； (2)若△ABC是锐角三角形，D为BC的中点，求AD长的取值范围． 解：(1)因为sinB＋sinC＝2sinA， 由正弦定理可得b＋c＝2a，故b＋c＝4， 又4＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－＝16－， 故bc＝， 因为cosA＝，而A为三角形的内角， 故sinA＝， 所以S△ABC＝bcsinA＝××＝1. (2)在△ABD中，c2＝＋AD2－a×AD×cos∠BDA， 在△ACD中，b2＝＋AD2－a×AD×cos∠CDA， 而cos∠CDA＋cos∠BDA＝0， 所以b2＋c2＝＋2AD2＝2＋2AD2， 故AD2＝＝＝b2－4b＋7＝(b－2)2＋3， 而△ABC是锐角三角形， 故即 解得<b<， 故3≤AD2<，即≤AD<. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$