9.1.1 第2课时 正弦定理(二)-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

第2课时　正弦定理(二) (教师独具内容) 课程标准：掌握正弦定理及其应用． 教学重点：利用正弦定理进行边角互化解决解三角形问题． 教学难点：正弦定理与外接圆半径的关系． 核心素养：通过边角互化解三角形，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　正弦定理的推论 △ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R. 1.＝＝＝2R． 2．a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC． 3．sinA＝，sinB＝，sinC＝． [拓展]　正弦定理的变形 (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. (2)＝＝＝. 1．(正弦定理的推论)已知△ABC外接圆的半径是2，A＝60°，则BC＝____． 答案：2 2．(正弦定理边化角求角)在△ABC中，若a＝2bsinA，则B＝____． 答案：或 3．(正弦定理的推论求值)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为2，则＝____． 答案：4 题型一　边角互化解三角形　 　已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为2(＋1)，且sinB＋sinC＝sinA，则a＝(　) A. B．2 C．4 D．2 [解析]　∵sinB＋sinC＝sinA，∴b＋c＝a，又△ABC的周长为2(＋1)，∴b＋c＋a＝a＋a＝2(＋1)，解得a＝2. [答案]　B 【感悟提升】　边角互化是正弦定理非常重要的应用，需要在解题过程中将条件中的边角关系转化为角的关系或边的关系，一般来说，当条件中齐次特征明显时，常进行边角互化来解题． 【跟踪训练】 1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝(　　) A．2 B．2 C. D. 答案：D 解析：∵asinAsinB＋bcos2A＝a，∴由正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，∴sinB·(sin2A＋cos2A)＝sinB＝sinA，∴＝＝. 题型二　判断三角形的形状　 　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． [解]　解法一：∵A，B，C为三角形的内角， ∴A＝π－(B＋C)， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC. ∵sinA＝2sinBcosC， ∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0. ∵－π<B－C<π，∴B－C＝0，∴B＝C， ∴A＝π－2B，∴sin2A＝sin22B. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C＝2sin2B， ∴sin22B＝2sin2B，∴2sinBcosB＝sinB. ∵sinB≠0，∴cosB＝， ∴B＝，∴C＝，A＝. ∴△ABC为等腰直角三角形． 解法二：由正弦定理，得＝＝. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2， ∴A＝，B＋C＝. ∵sinA＝2sinBcosC， 即sinA＝2sinBcos，∴1＝2sin2B， ∵A＝，∴B∈，∴sinB＝， ∴B＝，∴C＝－B＝，∴B＝C， ∴△ABC为等腰直角三角形． 【感悟提升】　判断三角形形状的方法及常见结论 (1)判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断． (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． (3)判断三角形形状的常见结论 ①若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形； ②若sinA＝sinB或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形； ③若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【跟踪训练】 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案：D 解析：已知c－acosB＝(2a－b)cosA，由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，即cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA.又A，B∈(0，π)，所以A＝或A＝B或A＋B＝π(舍去)．故选D. 题型三　利用正弦定理证明恒等式　 　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，求证：＝. [证明]　根据正弦定理，得 左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝右边， 故原式成立． 【感悟提升】　证明三角形中的恒等式的方法 与证明一般的三角恒等式类似，可从左边证到右边，也可从右边证到左边，也可左右归一． 【跟踪训练】 3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，求证：＋＋＝0. 证明：∵＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)， ∴＝ ＝ ＝ ＝4R2(cosB－cosA)． 同理，＝4R2(cosC－cosB)， ＝4R2(cosA－cosC)． ∴＋＋ ＝4R2(cosB－cosA＋cosC－cosB＋cosA－cosC)＝0， ∴原式成立． 题型四　利用正弦定理求范围或最值　 　在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是(　) A．[3，6] B．(2，4) C．(3，4] D．(3，6] [解析]　由已知和正弦定理，得＝＝＝＝2，∴AC＝2sinB，AB＝2·sinC，∴AC＋AB＝2(sinB＋sinC)＝2[sinB＋sin(120°－B)]＝2＝2＝6＝6sin(B＋30°)．∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°，∴<sin(B＋30°)≤1，∴3<6sin(B＋30°)≤6，∴3<AC＋AB≤6. [答案]　D 【感悟提升】　解决取值范围或最值问题的思路 (1)利用正弦定理厘清三角形中基本量间的关系或求出某些量． (2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数，从而转化为求函数的值域或最值的问题． 【跟踪训练】 4．(2024·辽宁部分学校高一期末)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA(1＋cosB)＝sinBcosA. (1)求A的取值范围； (2)求的取值范围． 解：(1)由题意得sinA＝sinBcosA－cosBsinA＝sin(B－A)， 所以A＝B－A＋2kπ或A＋B－A＝π＋2kπ，k∈Z， 所以2A＝B＋2kπ或B＝π＋2kπ，k∈Z， 由于A，B，C为锐角三角形ABC的内角， 所以B＝2A. 因为△ABC是锐角三角形， 所以得A∈. (2)由正弦定理得＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 由A∈，得cosA∈，2cos2A∈， 所以＝∈， 即的取值范围为. 1．在△ABC中，若BC＝，sinC＝2sinA，则AB＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：A 解析：由sinC＝2sinA，可得AB＝2BC＝2. 2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sinBsinC＝4sinA，则△ABC的面积为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：∵a2sinBsinC＝4sinA，∴由正弦定理可得a2bsinC＝4a，即absinC＝4，∴S△ABC＝absinC＝×4＝2. 3．(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是(　　) A．若sinA＝sinB，则△ABC一定是等腰三角形 B．若sinA∶sinB∶sinC＝∶∶，则△ABC一定是等腰直角三角形 C．若sin2A＝sinBsinC，2a＝b＋c，则△ABC一定是等边三角形 D．若a＝bsinA，则△ABC一定是等腰三角形 答案：ABC 解析：若sinA＝sinB，则a＝b，所以△ABC一定是等腰三角形，故A正确；由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝∶∶，知a∶b∶c＝∶∶，所以a＝b，且a2＋b2＝c2，所以△ABC一定是等腰直角三角形，故B正确；因为sin2A＝sinBsinC，所以a2＝bc，又2a＝b＋c，所以(b＋c)2＝4a2＝4bc，所以(b－c)2＝0，所以b＝c，所以a＝＝b，所以△ABC一定是等边三角形，故C正确；因为a＝bsinA，所以sinA＝sinBsinA，又sinA≠0，所以sinB＝1，B＝90°，所以△ABC一定是直角三角形，故D错误．故选ABC. 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝____． 答案： 解析：由已知及正弦定理得sinBsinA＋sinAcosB＝0，又sinA≠0，即sinB＝－cosB，则tanB＝－1.又0<B<π，所以B＝. 5．在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC. 证明：由正弦定理知＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)， 则a＝2RsinA，b＝2RsinB， 于是a2sin2B＋b2sin2A ＝4R2sin2A·2sinBcosB＋4R2sin2B·2sinAcosA ＝8R2sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB) ＝8R2sinAsinBsinC ＝2·2RsinA·2RsinB·sinC ＝2absinC， 所以原式成立． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 利用正弦定理判断三角形形状 利用正弦定理及两角和公式求角 利用三角形面积公式求边 利用正弦定理的推论求角的正弦值 利用正弦定理与三角恒等变换公式求角 由正弦定理及三角形形状求边的范围 求三角形外接圆的半径；判断三角形形状；判断三角形解的个数；判断三角不等式 用正弦定理边化角，求三角形面积 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 由正弦定理求比值 由三角形面积公式及正弦定理求边的范围 利用正弦定理与三角恒等变换公式证明等式 利用正弦定理与三角恒等变换公式证明角的关系；由三角形面积公式求角 利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求角，利用均值不等式求面积的最大值 利用正弦定理及均值不等式求角 利用正弦定理与三角恒等变换公式求角；利用正弦定理边角转化求三角形周长 利用正弦定理边化角，结合三角形内角的关系求角；由正弦定理及角的范围求面积的取值范围 一、单选题 1．在△ABC中，＝＝，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案：D 解析：因为＝＝，由正弦定理可得＝＝，所以＝，即sinB＝cosB.因为角B为三角形的内角，所以B＝.同理，C＝，所以A＝，因此△ABC是等腰直角三角形． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C＝(　　) A．120° B．105° C．90° D．75° 答案：A 解析：∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sinC＝－cosC，∴tanC＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°. 3．已知半径R为4的圆的内接三角形ABC的面积S是，△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则abc的值为(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案：A 解析：由三角形的面积公式S＝absinC＝，得absinC＝.由正弦定理可知＝2R＝8，∴sinC＝c，∴abc＝1. 4.(2024·云南昆明期中)“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具．有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10 cm，较短边为5 cm，若将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝3 cm，则sinC＝(　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设△ABC外接圆的半径为R，则2R＝＝5(cm)，由正弦定理＝2R，可得sinC＝＝＝. 5．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝，则B＝(　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意结合正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA，整理可得sinBcosA＝0，由于B∈(0，π)，故sinB>0，据此可得cosA＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 二、多选题 6．在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的值可能是(　　) A．1.3 B．1.5 C．1.7 D．1.9 答案：BC 解析：在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，∴<3A<π，且0<2A<，故<A<，故<cosA<.由正弦定理可得＝，又BC＝1，B＝2A，∴＝，∴AC＝2cosA，∴<AC<，∴AC的取值范围为(，)．故选BC. 7．(2024·浙江温州高一期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆的半径等于1 B．若cos2＝，则此三角形为直角三角形 C．若a＝3，b＝4，B＝，则此三角形必有两解 D．若△ABC是锐角三角形，则sinA＋sinB>cosA＋cosB 答案：ABD 解析：根据正弦定理，2R＝＝＝2，所以R＝1，则△ABC外接圆的半径等于1，故A正确；cos2＝＝＝＝，所以2sinC＋2cosAsinC＝2sinB＋2sinC，所以cosAsinC＝sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝0，在△ABC中，sinA>0，所以cosC＝0，所以C＝，则此三角形为直角三角形，故B正确；因为a＝3，b＝4，B＝，所以asinB＝，所以asinB<a<b，则此三角形只有一解，故C错误；因为△ABC是锐角三角形，所以0<C<，所以<A＋B<π，所以0<－B<A<，所以sin<sinA，即cosB<sinA，同理cosA<sinB，则sinA＋sinB>cosA＋cosB，故D正确．故选ABD. 三、填空题 8．在△ABC中，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积为____． 答案： 解析：由正弦定理，得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.又因为A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝. 9．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC，则＝____． 答案： 解析：由正弦定理得，＝　①，＝　②.又AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以可得＝＝. 10．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝2S，则b的取值范围为____． 答案：(2，4) 解析：因为·＝2S，所以bccosA＝2×bcsinA，解得tanA＝.又A∈，所以A＝.若△ABC为锐角三角形，则0＜B＜，A＋B＝＋B＞，解得＜B＜，所以＜sinB＜1.在△ABC中，由正弦定理，得＝，则b＝＝4sinB∈(2，4)． 四、解答题 11．在△ABC中，若acos2＋ccos2＝，求证：a＋c＝2b. 证明：因为acos2＋ccos2＝， 所以由正弦定理得 sinAcos2＋sinCcos2＝， 所以sinA·＋sinC·＝， 即sinA＋sinAcosC＋sinC＋sinCcosA＝3sinB， 所以sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB， 所以sinA＋sinC＝2sinB， 所以由正弦定理可得a＋c＝2b. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB. (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． 解：(1)证明：由正弦定理，得 sinB＋sinC＝2sinAcosB， 即sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB， 于是sinB＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，所以0<A－B<π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. (2)由S＝得absinC＝， 由正弦定理易得 sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB， 因为sinB≠0，所以sinC＝cosB. 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B. 当B＋C＝时，A＝； 当C－B＝时，A＝. 综上，A＝或A＝. 13．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且asinB＝bcosA，当b＋c＝4时，△ABC面积的最大值为(　　) A. B. C. D．2 答案：C 解析：由asinB＝bcosA，得sinAsinB＝sinBcosA，又sinB≠0，∴tanA＝，∵0<A<π，∴A＝，故S△ABC＝bcsinA＝bc≤＝(当且仅当b＝c＝2时取等号)． 14．(2024·陕西咸阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝2c，则A＝____． 答案： 解析：在△ABC中，sinA>0，sinB>0，由＋＝2c及正弦定理，得2sinC＝＋≥2，即sinC≥1，当且仅当sinA＝sinB时取等号，而sinC≤1，因此sinC＝1，且sinA＝sinB，所以C＝，A＝B＝. 15．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝2. (1)求A； (2)若a＝2，bsinC＝csin2B，求△ABC的周长． 解：(1)解法一(利用辅助角公式求解)： 由sinA＋cosA＝2，可得sinA＋cosA＝1，即sin＝1，由于A∈(0，π)⇒A＋∈，故A＋＝，解得A＝. 解法二(利用同角三角函数的基本关系求解)： 由sinA＋cosA＝2， 又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA， 得4cos2A－4cosA＋3＝0 ⇔(2cosA－)2＝0， 解得cosA＝， 又A∈(0，π)，故A＝. (2)由题设条件和正弦定理， 得bsinC＝csin2B ⇔sinBsinC＝2sinCsinBcosB， 又B，C∈(0，π)，则sinBsinC≠0， 得cosB＝，故B＝， 于是sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝， 由正弦定理＝＝， 得＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋3＋. 16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理， 得sinAsin＝sinBsinA. 因为sinA≠0，所以sin＝sinB. 由A＋B＋C＝180°可得＝B，A＋C＝2B， 所以3B＝180°，所以B＝60°. (2)由题设及(1)知S△ABC＝a. 由(1)知A＋C＝120°， 由正弦定理，得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°. 结合A＋C＝120°，得30°<C<90°， 所以<a<2，从而<S△ABC<. 因此△ABC面积的取值范围是. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$