9.1.1 第1课时 正弦定理(一)-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册创新导学案word（人教B版2019）

9.1.1　正弦定理 第1课时　正弦定理(一) (教师独具内容) 课程标准：探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理． 教学重点：正弦定理的推导及知三求三的解三角形问题． 教学难点：正弦定理的推导． 核心素养：在对任意三角形边角关系的探究中，通过转化、构造、归纳出正弦定理，培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　三角形的面积 一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝absinC＝acsinB＝bcsinA． [拓展]　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl(其中r为△ABC内切圆的半径，l为△ABC的周长)． (2)海伦公式：S△ABC＝. 知识点二　正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 知识点三　解三角形 习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 1．(正弦定理的内容)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是(　　) A.＝ B.＝ C．asinB＝bsinA D.＝ 答案：C 2．(三角形解的个数判断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝2，A＝，则此三角形(　　) A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 答案：C 3．(正弦定理解三角形)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝30°，c＝5，a＝8，则cosA＝(　　) A. B．± C．－ D. 答案：B 4．(三角形的面积公式)在△ABC中，若B＝30°，a＝2，c＝4，则△ABC的面积为____． 答案：2 题型一　利用正弦定理解三角形　 1．已知两角及一边解三角形 　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c. [解]　∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理，得c＝＝10， b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)， ∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10. 【感悟提升】　已知三角形两角和任一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解． 【跟踪训练】 1．(1)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为____． 答案：2 解析：在△ABC中，由＝，得b＝＝＝＝2. (2)已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的长为1，则最小边的长为____． 答案：－1 解析：设△ABC的三个内角中，A＝45°，B＝60°，则C＝75°.∵C>B>A，∴最小边的长为a.∵c＝1，∴由正弦定理，得a＝＝＝＝－1，即最小边的长为－1. 2．已知两边及一边的对角解三角形 　根据下列条件解三角形： (1)b＝，B＝60°，c＝1； (2)c＝，A＝45°，a＝2. [解]　(1)∵＝， ∴sinC＝＝＝. ∵b>c，B＝60°，∴C<B，∴C为锐角， ∴C＝30°，A＝90°，∴a＝＝2. (2)∵＝， ∴sinC＝＝＝， ∴C＝60°或120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 【感悟提升】　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角． (3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角是否为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论． 【跟踪训练】 2．在△ABC中，已知a＝2，c＝，cosC＝，解此三角形． 解：因为cosC＝，C∈(0，π)， 所以C＝，sinC＝. 因为＝，所以sinA＝＝. 因为c>a，所以C>A，所以A＝，所以B＝. 所以b＝＝＝＋1. 题型二　三角形的面积计算问题　 　在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于____． [解析]　解法一：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，即＝，解得sinB＝1.因为0°<B<120°，所以B＝90°，所以C＝30°，所以S△ABC＝AC×BCsinC＝2. 解法二：由解法一知，B＝90°，所以AB＝＝2，所以S△ABC＝AB×BC＝2. [答案]　2 【感悟提升】　求三角形面积的两种方法 (1)当已知三角形一边上的高时，常用S＝底×高． (2)当已知三角形的一个角α时，常用S＝absinα(三角形两边a，b的夹角为α)． 【跟踪训练】 3．在△ABC中，已知tanB＝，cosC＝，AC＝3，求△ABC的面积． 解：设AB，BC，CA的长分别为c，a，b， 由tanB＝，0°<B<180°，得B＝60°， ∴sinB＝，cosB＝. ∵cosC＝，∴sinC＝＝. ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC ＝×＋×＝＋， 由正弦定理，得c＝＝＝8. 故S△ABC＝bcsinA＝×3×8×＝6＋8. 题型三　三角形解的个数的判断　 　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解？ (1)a＝，b＝，A＝120°； (2)a＝60，b＝48，B＝60°； (3)a＝14，b＝16，A＝45°. [解]　(1)由＝， 得sinB＝＝＝， 因为a>b，所以A>B，所以B＝45°. 所以有一解，即这样的三角形是唯一的． (2)由＝，得sinA＝＝＝>1. 与0<sinA≤1矛盾，所以无解，即不存在这样的三角形． (3)由＝，得sinB＝＝＝<1. 又b>a，所以B>A，所以B有一个锐角值和一个钝角值，即有两解，即符合条件的三角形有两个． 【感悟提升】　三角形解的个数的判断方法 (1)从代数角度分析 ①若sinB＝>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； ②若sinB＝＝1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB＝<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB＝<1可得B有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形的内角和等于180°”等，此时需进行讨论． (2)从几何角度分析 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a＝bsinA； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【跟踪训练】 4．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝，b＝1，B＝30°. 解：(1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下： ∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10>a， ∴a<bsinA，∴此三角形无解． (2)a＝，b＝1，b<a，B＝30°<90°， ∵asinB＝sin30°＝， ∴asinB<b<a，∴此三角形有两解． 由正弦定理，得sinA＝＝＝. 由a>b，得A>B，∴A＝45°或A＝135°. 当A＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝105°， c＝＝＝； 当A＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝15°， c＝＝＝. 综上可得，A＝45°，C＝105°，c＝或A＝135°，C＝15°，c＝. 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则c＝(　　) A．4 B．5 C. D．5 答案：A 解析：由S△ABC＝acsinB，得2＝×1×c×sin45°，解得c＝4.故选A. 2．在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，则a＝(　　) A．2 B．4 C．10 D. 答案：A 解析：由tanA＝2，得sinA＝2cosA.由sin2A＋cos2A＝1及A∈(0，π)，得sinA＝.由题意知，b＝5，B＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝2. 3．(多选)已知锐角三角形ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝4，B＝60°，则边b的可能取值为(　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：CD 解析：在△ABC中，c＝4，B＝60°，由正弦定理＝，可得b＝＝＝，由0°<C<90°，可得sinC∈(0，1)，所以b>2，故排除A，B.若b＝4，则b＝c，即B＝C＝60°，△ABC为等边三角形，成立；若b＝5，可得sinC＝∈，且b>c，所以B>C，所以30°<C<60°，所以60°<A<90°，成立．故选CD. 4．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝____． 答案：105°或15° 解析：根据正弦定理＝，得sinC＝＝＝，所以C＝45°或135°.当C＝45°时，B＝105°；当C＝135°时，B＝15°. 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足B＝60°，b＝2的三角形有两解，求a的取值范围． 解：因为三角形有两解， 所以即 解得2<a<，则a的取值范围是. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 由角的比求边之比 利用正弦定理求比值 利用面积公式求三角形面积 利用正弦定理求最大边 利用正弦定理求角的最大值 三角形中角的关系 三角形解的个数的判断 利用正弦定理及两角和公式求角及三角形面积 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用正弦定理求角 利用正弦定理求角的余弦值 已知两角及一对边、两边及一对角解三角形 利用四边形中角的关系证明恒等式；利用正弦定理求边长 利用正弦定理及“大边对大角”求角的范围 根据三角形解的个数求边的范围 已知两角及一对边解三角形；求三角形面积 利用两角和与差的公式求角；利用正弦定理求高 一、单选题 1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　) A．4∶1∶1 B．2∶1∶1 C.∶1∶1 D.∶1∶1 答案：D 解析：∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝∶∶＝∶1∶1.故选D. 2．(2024·江苏扬州阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，b＝3，则＝(　　) A. B. C．2 D．6 答案：C 解析：由正弦定理可得＝＝，再由和比定理得＝＝＝＝2.故选C. 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为(　　) A. B. C．1 D．2 答案：A 解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝或sinA＝－1(舍去)，所以S△ABC＝bcsinA＝×2×＝. 4．在△ABC中，已知cosA＝，tanB＝，若△ABC的最短边长为，则其最长边长为(　　) A. B. C. D．2 答案：A 解析：在△ABC中，因为cosA＝，所以sinA＝，因为tanB＝，所以sinB＝，cosB＝，因为sinA<sinB，所以a<b，因为cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－＝－<0，所以sinC＝，C为钝角，故a<b<c，所以a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得c＝，所以最长边长为.故选A. 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c≤2，asinC＝，则A的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由正弦定理＝可得csinA＝asinC＝，所以sinA＝≥，因为0<sinA≤1，则≤sinA≤1，因为A∈(0，π)，则≤A≤.故选C. 二、多选题 6．(2024·湖南邵阳期中)已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的是(　　) A．sin(A＋B)＝sinC B．cos(A＋B)＝cosC C．若sinA<sinB，则A<B D．若A>B，则sinA>sinB 答案：ACD 解析：对于A，在△ABC中，因为A＋B＝π－C，可得sin(A＋B)＝sinC，所以A正确；对于B，由A＋B＝π－C，可得cos(A＋B)＝－cosC，所以B不正确；对于C，因为sinA<sinB，由正弦定理得a<b，所以A<B，所以C正确；对于D，因为A>B，可得a>b，由正弦定理得sinA>sinB，所以D正确．故选ACD. 7．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是(　) A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝120° C．a＝2，b＝4，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80° 答案：ACD 解析：对于A，B＝180°－A－C＝65°，三角形有唯一解；对于B，B为钝角且b＜c，三角形无解；对于C，a＝bsinA＝2，三角形有唯一解；对于D，A为锐角且a＞b，三角形有唯一解．故选ACD. 三、填空题 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，c＝，A＝，则△ABC的面积为____． 答案： 解析：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝，c＝，A＝，利用正弦定理得＝，所以sinC＝＝.因为a>c，所以A>C，所以cosC＝，则sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝，所以S△ABC＝acsinB＝. 9．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝______，sin∠BAC＝____． 答案：　 解析：如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD，所以DC＝2，AC＝＝.在△ABC中，由正弦定理知，sin∠BAC＝＝＝. 10.如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝____． 答案： 解析：因为AD＝DB，所以A＝∠ABD，∠BDC＝2A.设AD＝DB＝x，则在△BCD中，由＝，可得＝　①，在△ADE中，由＝，可得＝　②，由①②可得＝，解得cosA＝. 四、解答题 11．(1)在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形； (2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形． 解：(1)∵＝＝， ∴b＝＝＝＝4. ∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°) ＝105°， ∴c＝＝＝ ＝2＋2. (2)∵a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°， 又bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA， ∴本题有两解，由正弦定理，得 sinB＝＝＝， 故B＝60°或120°. 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2. ∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2. 12．在平面四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠DAC＝30°，∠DCB＝150°，CD＝1，BC＝2. (1)求证：sin2B＋sin2D＝1； (2)求AC的长． 解：(1)证明：因为∠BAC＝90°，∠DAC＝30°， 所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°＋30°＝120°， 由四边形ABCD的内角和定理， 得∠BAD＋∠B＋∠DCB＋∠D＝360°， 所以∠B＋∠D＝360°－120°－150°＝90°， 所以cosB＝cos(90°－D)＝sinD， 因为sin2B＋cos2B＝1， 所以sin2B＋sin2D＝1. (2)在△ABC中，由正弦定理，得 ＝，即＝＝2，　① 在△ACD中，由正弦定理，得 ＝，即＝＝2，　② 由①②得＝，所以sinB＝sinD， 由(1)知，sin2B＋sin2D＝1， 所以sin2B＋sin2B＝1， 解得sinB＝，又0°<B<90°，所以B＝45°， 在△ABC中，AC＝BCsinB＝2×＝. 13．在△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由正弦定理＝，得sinC＝sinA，∴0＜sinC≤.∵AB＜BC，∴C＜A，∴角C必定为锐角，∴C∈. 14．(2024·山东济南期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，B＝，且该三角形有两解，则a的取值范围是____． 答案：(6，12) 解析：由正弦定理可得＝，即sinA＝＝＝，因为三角形有两解，所以A>B且A≠，则即所以6<a<12，即a的取值范围是(6，12)． 15．(2024·北京东城期中)在△ABC中，cosC＝，c＝8，cosB＝. 求：(1)b的值； (2)角A的大小和△ABC的面积． 解：(1)因为cosB＝，0<B<π， 所以sinB＝＝＝. 因为cosC＝，0<C<π， 所以sinC＝＝＝. 由正弦定理＝，得＝， 解得b＝5. (2)由(1)知sinB＝，sinC＝， 又因为cosB＝，cosC＝， 在△ABC中，A＝π－(B＋C)， 所以cosA＝cos[π－(B＋C)] ＝－cos(B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC ＝－×＋×＝， 又0<A<π， 所以A＝. 所以S△ABC＝bcsinA＝×5×8×＝10. 16．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB. (1)求sinA； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)， ∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC， ∴sinAcosC＝3cosAsinC， ∴sinA＝3cosA， 即tanA＝3，∴0<A<， ∴sinA＝＝. (2)由(1)知，cosA＝＝， sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC ＝×＝， 由正弦定理＝，可得b＝＝2， ∴AB边上的高h＝bsinA＝2×＝6. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$