7.3.5 已知三角函数值求角-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.3.5　已知三角函数值求角 (教师独具内容) 课程标准：能够借助三角函数的图象解决已知三角函数值求角问题． 教学重点：熟练掌握已知特殊角的三角函数值求角问题． 教学难点：已知非特殊角的三角函数值求角． 核心素养：利用三角函数线或三角函数的图象研究已知三角函数值求角的问题培养直观想象素养和数学运算素养． 知识点　已知三角函数值求角 (1)已知正弦值求角 任意给定一个y∈[－1，1]，当sinx＝y且x∈时，通常记作x＝arcsiny． [注意]　①arcsiny表示上正弦等于y的那个角． ②－1≤y≤1. ③sin(arcsiny)＝y. (2)已知余弦值求角 在区间[0，π]内，满足cosx＝y(y∈[－1，1])的x只有一个，这个x记作arccosy，即x＝arccosy． [注意]　①arccosy表示一个角． ②－1≤y≤1且0≤arccosy≤π. ③cos(arccosy)＝y. (3)已知正切值求角 在区间内，满足tanx＝y(y∈R)的x只有一个，这个x记作arctany，即x＝arctany． [注意]　①arctany表示一个角． ②y∈R且－<arctany<. ③tan(arctany)＝y. (4)已知三角函数值求角的步骤 ①由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限； ②若函数值为正数，先求出对应锐角α；若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α； ③根据角的终边所在象限，由三角函数线或诱导公式得出[0，2π)内的角．如果适合已知条件的角是第二象限的角，则它等于π－α；如果适合已知条件的角是第三或第四象限的角，则它等于π＋α或2π－α； ④如果要在整个实数集上求适合条件的角的集合，则利用终边相同的角的表达式来写出． 1．(已知正弦值求角)直线y＝与函数y＝sinx，x∈[0，2π]的交点坐标是________． 答案：， 2．(解余弦不等式)(教材P63练习A T5(2)改编)满足不等式2cosx＋≤0的x的集合为__________________． 答案： 3．(已知正切值求角)arctan＝________． 答案：－ 题型一　已知正弦值求角 例1　已知sinα＝－，若满足：(1)α∈；(2)α∈[0，2π]；(3)α为第三象限角；(4)α∈R，试分别求角α. [解]　(1)因为正弦函数在闭区间上是增函数，所以符合sinα＝－条件的角只有一个． 又因为sin＝－，所以α＝－. (2)因为sinα＝－<0，所以α是第三或第四象限角，符合sinα＝－的角有两个．根据三角函数式sin＝－sin＝－和sin＝sin＝－，得α＝或α＝. (3)因为α是第三象限角，在闭区间[0，2π]内有α＝符合条件，所以符合条件sinα＝－的第三象限角α的集合是. (4)由正弦函数的周期性可知，当α＝－＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z)时，sinα＝－，即所求的角α的集合是. 【感悟提升】　已知正弦值求角的方法 (1)若为特殊角的正弦值，根据角的范围确定角的大小． (2)若为非特殊角的正弦值，对应关系如下表： sinx＝a (|a|≤1) x∈ x∈[0，2π] x＝arcsina 0≤a≤1 －1≤a<0 x1＝arcsina x2＝π－arcsina x1＝π－arcsina x2＝2π＋arcsina 【跟踪训练】 1．已知sinx＝，根据下列条件求角x，并用计算器或计算机软件得出其近似值(精确到0.001)． (1)x∈；(2)x∈[0，2π]． 解：(1)∵x∈，∴x＝arcsin. 用计算器计算，得arcsin≈0.615， 即角x的近似值为0.615. (2)∵x∈[0，2π]，sinx＝>0，∴x∈[0，π]． 当0≤x≤时，x＝arcsin； 当≤x≤π时，0≤π－x≤，且sin(π－x)＝sinx＝， ∴π－x＝arcsin，则x＝π－arcsin， ∴x＝arcsin或x＝π－arcsin. 用计算器计算，得arcsin≈0.615，π－arcsin≈2.526，即角x的近似值为0.615或2.526. 题型二　已知余弦值求角 例2　已知cosα＝－，若满足：(1)α∈[0，π]；(2)α∈[0，2π]；(3)α∈R，试分别求角α. [解]　(1)因为余弦函数在[0，π]上单调递减， 所以符合cosα＝－的角α只有一个． 又cos＝－，所以α＝. (2)因为cosα＝－，所以α是第二或第三象限角，符合cosα＝－的角有两个， 根据cos＝，cos＝cos＝－cos＝－，cos＝－cos＝－， 得α＝或α＝. (3)由余弦函数的周期性知， 当α＝＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z)时，cosα＝－， 即所求的角α的集合为. 【感悟提升】　已知余弦值求角的方法 (1)若为特殊角的余弦值，根据角的范围确定角的大小． (2)若为非特殊角的余弦值，对应关系如下表： cosx＝a (|a|≤1) x∈[0，π] x∈[0，2π] x＝arccosa x1＝arccosa x2＝2π－arccosa 【跟踪训练】 2．若cosx＝－，x∈[0，π]，则x的值为________． 答案：π－arccos 解析：∵x∈[0，π]，且cosx＝－，∴x∈，∴x＝arccos＝π－arccos. 题型三　已知正切值求角 例3　已知tanα＝－1，若满足：(1)α∈；(2)α∈[0，2π]；(3)α∈R，试分别求角α. [解]　(1)由正切函数在开区间上是增函数，可知符合tanα＝－1的角只有一个，α＝－. (2)∵tanα＝－1<0，∴α是第二或第四象限角． 又α∈[0，2π]，由正切函数在区间，上是增函数知，符合tanα＝－1的角有两个． ∵tan(α＋π)＝tanα＝－1，∴α＝或. (3)α＝－＋kπ(k∈Z)． 【感悟提升】　已知正切值求角的方法 (1)若为特殊角的正切值，根据角的范围确定角的大小和角的个数． (2)若为非特殊角，对应关系如下表： tanx＝a (a∈R) x∈ x∈[0，2π) x＝arctana a≥0 a<0 x1＝arctana x2＝π＋arctana x1＝π＋arctana x2＝2π＋arctana 【跟踪训练】 3．已知tanα＝－2，α∈，则α＝____________． 答案：π－arctan2 解析：因为tanα＝－2<0，α∈，所以π－α∈且tan(π－α)＝2>0，所以α＝π－arctan2. 题型四　综合应用 例4　(1)方程tan＝在区间[0，2π)上的解的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　令t＝2x＋，作出函数y＝tant的图象如下图所示： 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z.由0≤<2π，得0≤k<4，又k∈Z，所以k＝0，1，2，3.故方程tan＝在区间[0，2π)上有4个解．故选C. [答案]　C (2)求函数y＝ 的定义域． [解]　为使函数有意义，需满足2sin2x＋cosx－1≥0，即2cos2x－cosx－1≤0，解得－≤cosx≤1.结合余弦函数的图象，如图所示．可得所求定义域为. (3)求不等式sin≥的解集． [解]　画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象如图所示． 由图象知sin＝sin＝， 令α＝2x＋，因为y＝sinx的周期为2π，所以sinα≥的解集为， 所以原不等式的解集为. 【感悟提升】　 1．已知ωx＋φ的某三角函数值求角的方法 已知ωx＋φ的一个三角函数值及x的范围求角x，可以先由x的范围确定ωx＋φ的范围，然后判断角的个数求出角；也可以把ωx＋φ看成任意角，分类求出所有角，再根据x的范围确定整数k的值后得到所求角． 2．求解三角不等式问题的基本方法 求解三角不等式问题时，常利用“数形结合法”，解题时常借助三角函数曲线或单位圆等图形，使问题更直观形象．此类问题也常结合函数的定义域进行考查． 【跟踪训练】 4．(1)若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0，2π)，则α＝________． 答案： 解析：由条件可知2cos＝1，即cos＝，所以＋α＝±＋2kπ(k∈Z)．因为α∈(0，2π)，所以α＝. (2)求函数y＝ ＋lg (1－tanx)的定义域． 解：函数y＝＋lg (1－tanx)有意义， 等价于 解得0≤tanx<1. 由正切曲线可得kπ≤x<＋kπ，k∈Z. 所以函数y＝＋lg (1－tanx)的定义域为. 1．已知α是三角形的内角，sinα＝，则角α等于(　　) A． B． C．或 D．或 答案：D 解析：在(0，π)内，正弦值是的有两个，分别是和.故选D. 2．下列式子中错误的是(　　) A．arcsin1＝ B．arccos(－1)＝π C．arctan0＝0 D．arccos1＝2π 答案：D 解析：arcsinx∈，arccosx∈[0，π]，arctanx∈，arccos1＝0.故选D. 3．(多选)已知cosα＝，α∈，则α可能为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：AB 解析：因为cos＝，cos＝.故选AB. 4．若θ∈[0，2π)，则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是________． 答案：∪∪ 解析：由0≤θ<2π且tanθ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是∪∪. 5．已知cos(－4π＋α)＝－.若0≤α≤2π，求角α. 解：∵cos(－4π＋α)＝cosα＝－，0≤α≤2π， ∴α∈或α∈， ∴α＝或. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 主考点 已知正弦值求角 已知余弦值求角 已知正切值求角 已知正弦值求角 arcsinx的含义 已知正切值、余弦值求角 arcsinx，arccosx，arctanx的含义 关联点 解不等式 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 综合应用 已知正切值求角 已知余弦值、正切值求角 已知正弦值、余弦值求角 已知正弦值、余弦值求角 综合应用 已知余弦值求角 关联点 求定义域 解不等式 解不等式 同角三角函数的基本关系 求定义域 一、选择题 1．已知sinx＝－，x∈，则x＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：在上有sin＝－，∴x＝－.故选B. 2．方程cosx＋＝0，x∈[0，2π]的解集是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：在[0，2π]内，cos＝cos＝－cos＝－.故选A. 3．若tanx＝0，则x＝(　　) A．kπ(k∈Z) B．＋kπ(k∈Z) C．＋2kπ(k∈Z) D．－＋2kπ(k∈Z) 答案：A 解析：若x∈，由tanx＝0得x＝0，则x＝kπ(k∈Z)．故选A. 4．在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P2OM2＝，∠P1OM2＝，||＝||＝，则图中阴影部分(包含边界)即为所求，即x∈.故选B. 5．(多选)下列等式正确的是(　　) A．arcsin＝1 B．arcsin＝－ C．arcsin＝ D．sin＝ 答案：BCD 解析：对于A，由于y＝arcsinx中－1≤x≤1，而>1，故A无意义；对于B，在上只有sin＝－，所以arcsin＝－，故B正确；对于C，D，由arcsinx的含义知是正确的．故选BCD. 二、填空题 6．若α∈(0，2π)，tanα＝1，cosα＝－，则α＝________． 答案： 解析：由已知可判断α是第三象限角，又α∈(0，2π)，∴只有tan＝1，cos＝－， ∴α＝. 7．求值：arccos＋arcsin＋arctan(－1)＝________． 答案： 解析：因为cos＝－，所以arccos＝. 因为sin＝－，sin＝－， 所以arcsin＝arcsin＝－. 因为tan＝－1，所以arctan(－1)＝－.故原式＝－－＝. 8．函数y＝的定义域为________． 答案：，k∈Z 解析：要使y＝有意义，则有sinx>0且tanx>1.由sinx>0得x∈(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z，由tanx>1得x∈，k∈Z，因为(2kπ，2kπ＋π)∩＝，k∈Z，所以函数的定义域为，k∈Z. 三、解答题 9．已知tanx＝－. (1)当x∈时，求角x的值； (2)当x为三角形的一个内角时，求角x的值； (3)当x∈R时，求角x的取值集合． 解：令tanα＝，α为锐角，则α＝arctan＝. (1)∵tanx＝－<0，x∈， ∴x∈，∴x＝－α＝－. (2)∵tanx＝－<0且x为三角形的一个内角， ∴x∈，∴x＝π－α＝. (3)∵tanx＝－<0，x∈R， ∴x为第二或第四象限角， ∴x＝π－α＋2kπ＝π－＋2kπ(k∈Z)或x＝－α＋2kπ＝－＋2kπ(k∈Z)， ∴x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)， 即角x的取值集合为. 10．求下列不等式的解集． (1)cosx－<0； (2)3tanx－≥0. 解：(1)因为cosx－<0，所以cosx<，利用余弦线或余弦曲线可知所求解集为. (2)因为3tanx－≥0，所以tanx≥，利用正切线或正切曲线可知所求解集为. 11．若0<α<2π，则使sinα<和cosα>同时成立的α的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ 答案：D 解析：如图，适合sinα<的α的取值范围和适合cosα>的α的取值范围的公共部分，即为α的取值范围．故选D. 12．已知sin(π－x)－cos(π＋x)＝，x是第二象限角．求： (1)sinx，cosx的值； (2)x的取值集合． 解：sin(π－x)－cos(π＋x)＝sinx＋cosx＝， ∵x为第二象限角， ∴sinx>0，cosx<0. (1)∵sinx＋cosx＝，　　　　　　① ∴①式两边平方得sinxcosx＝－. ② 由①②两式，结合sinx>0，cosx<0， 解得sinx＝，cosx＝－. (2)∵sinx＝，cosx＝－，且x为第二象限角， ∴x＝2kπ＋，k∈Z， ∴x的取值集合为. 13．求y＝lg (2sin2x＋)－的定义域． 解：由题意，得 即 对sin2x>－，可结合图(1)得－＋2kπ<2x<＋2kπ(k∈Z) ， 图(1) 所以－＋kπ<x<＋kπ(k∈Z)． 当k＝0时，－<x<； 当k＝－1时，－<x<－； 当k＝1时，<x<. 又－3≤x≤3，可结合图(2)，利用数轴得定义域为∪∪. 图（2） 14．已知cosα＝a(－1≤a≤1)，求角α的值． 解：①当a＝－1时，角α的终边在x轴的负半轴上，此时α＝(2k＋1)π(k∈Z)． ②当a＝1时，角α的终边在x轴的正半轴上， 此时α＝2kπ(k∈Z)． ③当a＝0时，角α的终边在y轴上，此时α＝kπ＋(k∈Z)． ④当－1<a<0时，角α的终边在第二、三象限，满足cosα1＝|a|的锐角α1＝arccos|a|＝arccos(－a)，在[0，2π)内对应的第二、三象限的角分别为π－arccos(－a)和π＋arccos(－a)， 即此时α＝±arccos(－a)＋(2k＋1)π(k∈Z)． ⑤当0<a<1时，角α的终边在第一、四象限，同④可求得在[0，2π)内对应的第一、四象限的角分别为arccosa和2π－arccosa，即此时α＝±arccosa＋2kπ(k∈Z)． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$