7.3.4 正切函数的性质与图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.3.4　正切函数的性质与图象 (教师独具内容) 课程标准：1.理解正切函数的定义，能画出正切函数的图象.2.了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正切函数在上的性质． 教学重点：正切函数的性质与图象． 教学难点：应用正切函数的性质与图象解决问题． 核心素养：在探究正切函数的性质与图象的过程中体会类比、换元、数形结合的数学思想，培养数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　正切函数的概念 对于任意一个角x，只要x≠＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tanx与之对应，因此y＝tanx是一个函数，称为正切函数． 知识点二　正切函数的性质 (1)函数y＝tanx. (2)定义域为． (3)值域为R． (4)奇偶性：正切函数是奇函数． (5)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π． (6)单调性：正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都是单调递增的． (7)零点：正切函数的零点为kπ(k∈Z)． 知识点三　正切函数的图象 (1)y＝tanx的函数图象称为正切曲线，其图象如下，由图可知，正切曲线是中心对称图形，其对称中心为(k∈Z)． (2)类似于正、余弦函数的“五点法”作图，作正切函数图象采用的是“三点两线法”，即由(kπ，0)，，(k∈Z)这三点及x＝＋kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)这两条直线作出正切函数的图象． (3)正、余弦曲线在整个定义域内是连续的，而正切曲线是被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．因此，需注意以下几点： ①正切函数在定义域上不具有单调性． ②正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在，，…上都是增函数． ③正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在∪∪…上是增函数． 知识点四　正切型函数的性质 函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0) 定义域 值域 R 周期性 是周期函数，最小正周期为 奇偶性 当φ＝(k∈Z)时为奇函数，当φ≠(k∈Z)时为非奇非偶函数 单调性 每一个单调区间可由－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ(k∈Z)求得 图象的对称中心 可由ωx＋φ＝(k∈Z)求得横坐标，纵坐标为0，故图象的对称中心为 1．(周期性)f(x)＝tan的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 答案：B 2．(奇偶性)f(x)＝tan(x＋π)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：A 3．(值域)(教材P59练习B T3改编)函数y＝tanx的值域是(　　) A．[－1，1] B．[－1，0)∪(0，1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 答案：B 4．(单调性)(教材P59练习B T5改编)函数y＝tan的单调递增区间是________． 答案：(k∈Z) 题型一　与正切函数有关的图象问题 例1　作出函数y＝tanx＋2，x∈的简图． [解]　解法一：可以先作出函数y＝tanx，x∈的图象，再将函数y＝tanx，x∈图象上所有的点向上平移2个单位，所得图象即函数y＝tanx＋2，x∈的图象，如图所示． 解法二(三点两线法)： ①列表： x － 0 tanx －1 0 1 tanx＋2 1 2 3 ②画x＝－，x＝两条虚线，描点． ③用光滑曲线连接，如图所示． 【感悟提升】　 (1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凹凸性． (2)正切曲线是由无穷多支被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的曲线组成的．这些平行直线也称为正切曲线的渐近线． 【跟踪训练】 1．画出函数y＝2tan在x∈[0，2π]上的简图． 解：令x－＝＋kπ，k∈Z，可得x＝＋2kπ，k∈Z，又x∈[0，2π]，所以x＝是该函数图象的一条渐近线方程． 当x＝0时，y＝2tan＝－2； 当x＝π时，y＝2tan＝2； 当x＝2π时，y＝2tan＝－2. 令x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z， 由于x∈[0，2π]，故当x＝时，y＝0. 描点(0，－2)，，(π，2)，(2π，－2)，画虚线x＝，根据正切曲线的趋势，画出简图如图所示． 题型二　与正切函数有关的定义域、值域(最值)问题 例2　(1)函数y＝tan的定义域为________． [解析]　要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为. [答案]　 (2)函数y＝tan，x∈的值域是________． [解析]　y＝tan＝－tan.∵x∈，∴2x－∈，∴0≤tan≤ ，∴－≤tan≤0，故函数y＝tan，x∈的值域为[－，0]． [答案]　[－，0] 【感悟提升】　与正切函数有关的定义域、值域(最值)问题的解法 (1)求与正切函数有关的定义域时，对于函数y＝tanx，则需要满足x≠kπ＋，k∈Z；对于函数y＝Atan(ωx＋φ)，则需要将ωx＋φ视为一个整体，使得ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z. (2)已知角的范围，求正切函数的值域时，如果角的范围在一个单调区间内，可直接运用单调性得到正切函数的值域，如果角的范围不在一个单调区间内，则要结合函数图象求正切函数的值域． (3)求含有正切函数的复合函数的值域(或最值)的基本方法是换元法，换元后转化为以前所学过的函数值域问题，或利用正切函数的单调性来求解． 【跟踪训练】 2．(1)若y＝tan，则该函数的定义域为________． 答案： 解析：∵y＝tan，∴2x－≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，∴该函数的定义域为. (2)函数y＝tan(sinx)的值域为________． 答案：[－tan1，tan1] 解析：令t＝sinx，当x∈R时，－<－1≤sinx≤1<，即函数y＝tant在t∈[－1，1]上是增函数，∴－tan1≤tant≤tan1，∴y＝tan(sinx)的值域为[－tan1，tan1]． 题型三　与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 例3　(1)函数y＝5tan(3πx)的最小正周期为________． [解析]　由正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期公式T＝，可求得函数y＝5tan(3πx)的最小正周期T＝＝＝. [答案]　 (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝； ②f(x)＝tan＋tan. [解]　①由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． ②函数f(x)的定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 【感悟提升】　 1．求函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求正切函数的周期，可直接对解析式变形，关键是抓住自变量“x”增加多少函数值重复出现，进而得到周期． (2)图象法：画出图象，借助图象写出函数周期． (3)公式法：y＝Atan(ωx＋φ)与y＝|Atan(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝. 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． 【跟踪训练】 3．(1)函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 答案：D 解析：函数f(x)＝tan的最小正周期为T＝＝2π.故选D. (2)试判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝1－2cosx＋|tanx|； ②f(x)＝x2tanx－sin2x. 解：①因为函数f(x)的定义域是，关于原点对称，且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数． ②因为函数f(x)的定义域是，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)2·tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 题型四　与正切函数有关的单调性问题 例4　(1)求函数y＝tan的单调区间． [解]　y＝tan＝－tan， 则由－＋kπ<x－<＋kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)． 所以函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)． (2)比较tan1，tan2，tan3的大小． [解]　∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)， 又<2<π，∴－<2－π<0. ∵<3<π， ∴－<3－π<0， 显然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tanx在上是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan1， 即tan2<tan3<tan1. (3)若函数y＝tanωx(ω>0)在(－π，π)上单调递增，求ω的取值范围． [解]　因为函数y＝tanωx(ω>0)在(－π，π)上单调递增，所以kπ－≤ω·(－π)，且ω·π≤＋kπ，k∈Z，解得ω≤－k且ω≤＋k，k∈Z，所以ω≤，所以ω的取值范围为. 【感悟提升】　 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ(k∈Z)，解得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用正切函数的单调性比较大小关系． 【跟踪训练】 4．(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 答案：A 解析：由kπ－<x＋<kπ＋(k∈Z)，得2k－<x<2k＋(k∈Z)．故选A. (2)(多选)下列式子中正确的是(　　) A．tan<tan B．sin145°>tan47° C．tan<tan D．tan>tan 答案：ACD 解析：对于A，因为tan＝tan＝tan，0<<<，函数y＝tanx在上单调递增，所以tan<tan，即tan<tan，故A正确；对于B，因为sin145°＝sin35°<1，tan47°>1，所以sin145°<tan47°，故B错误；对于C，因为tan＝tan，且0<<<，函数y＝tanx在上单调递增，所以tan<tan，即tan<tan，故C正确；对于D，因为tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝－tan，函数y＝tanx在上单调递增，所以tan<tan，所以－tan>－tan，所以tan>tan，故D正确．故选ACD. (3)已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，点和是函数f(x)图象的相邻的两个对称中心，且函数f(x)在区间上单调递减，则φ＝(　　) A． B．－ C．或－ D．－ 答案：A 解析：正切函数图象相邻两个对称中心的距离d＝，∴函数f(x)的最小正周期T＝2d＝2×＝π，即＝π，解得ω＝±1.又f(x)在区间上单调递减，∴ω＝－1，f(x)＝tan(－x＋φ)．由－＋φ＝，k1∈Z，得φ＝＋，k1∈Z.∵|φ|<，∴k1可取－1和－2.当k1＝－1时，φ＝，则f(x)＝tan＝－tan，由k2π－<x－<k2π＋，k2∈Z，得k2π－<x<k2π＋，k2∈Z，即函数f(x)的单调递减区间为，k2∈Z，令k2＝1，得函数f(x)的一个单调递减区间为，满足条件；当k1＝－2时，φ＝－，则f(x)＝tan＝－tan，易得此时f(x)的单调递减区间为，k3∈Z，令k3＝1，得函数f(x)的一个单调递减区间为，不满足条件．综上，φ＝.故选A. 1．函数y＝的定义域为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：∵1＋tanx≠0，∴tanx≠－1，∴x≠－＋kπ且x≠＋kπ(k∈Z)，∴函数的定义域为.故选D. 2．下列函数中，在上单调递增，且以2π为最小正周期的奇函数是(　　) A．y＝cosx B．y＝－tanx C．y＝tanx D．y＝tanx 答案：D 解析：由最小正周期为2π，排除B，C，而A项在上单调递减．故选D. 3．(多选)已知函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期是，则(　　) A．ω＝2 B．f>f C．f(x)图象的对称中心为(k∈Z) D．f(x)在区间上单调递增 答案：BCD 解析：对于A，因为函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期是，所以T＝＝，又ω>0，得ω＝1，故A错误；对于B，f(x)＝tan，因为f＝tan＝－tan，f＝tan＝－tan，又0<<<，由函数y＝tanx的性质知，tan<tan，所以f>f，故B正确；对于C，由2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以f(x)＝tan图象的对称中心为(k∈Z)，故C正确；对于D，当x∈时，2x－∈，由函数y＝tanx的性质知，f(x)在区间上单调递增，故D正确．故选BCD. 4．直线y＝3与函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的交点中，相邻两点的距离为，则f＝________． 答案： 解析：由已知可得，f(x)＝tanωx(ω>0)的最小正周期T＝，所以ω＝＝＝4，所以f(x)＝tan4x，所以f＝tan＝. 5．求函数y＝3tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性． 解：由题意，得函数的定义域为 ；值域为R；周期T＝；函数为非奇非偶函数；在(k∈Z)上为增函数． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 与正切函数有关的图象问题 与正切函数有关的奇偶性问题 与正切函数有关的单调性问题 正切函数图象的应用 与正切函数有关的函数的性质 与正切函数有关的单调性问题 与正切函数有关的图象问题 关联点 比较大小 交点个数 周期性、奇偶性、对称性、单调性 单调递增区间 图象变换、对称性 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 主考点 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 与正切函数有关的值域问题 与正切函数有关的函数的性质与图象 与正切函数有关的值域问题 与正切函数有关的图象问题 与正切函数有关的单调性问题 与正切函数有关的单调性、周期性问题 关联点 求函数值 弦化切、二次函数 周期性、图象变换 求参数的取值范围 单调性 定义域、单调区间、比较大小 求参数的取值范围 一、选择题 1．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．y＝ C．x＝ D．y＝ 答案：C 解析：令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，则x＝.故选C. 2．函数f(x)＝(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 答案：A 解析：要使函数f(x)＝有意义，必须使即x≠＋kπ且x≠(2k＋1)π，k∈Z，∴函数f(x)＝的定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝＝－f(x)，∴函数f(x)＝是奇函数．故选A. 3．下列不等式中，正确的是(　　) A．tan>tan B．tan<tan C．tan>tan D．tan<tan 答案：C 解析：对于A，tan<0<tan，故A错误；对于B，tan>0>tan，故B错误；对于C，tan＝tan＝tan， tan＝tan＝tan，∵>>>0，∴tan>tan，∴tan>tan，故C正确；对于D，∵tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝－tan，且tan<tan，∴－tan>－tan，∴tan>tan，故D错误．故选C. 4．在区间内，函数y＝tanx与函数y＝sinx 的图象交点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：解法一：在同一直角坐标系中，作出y＝sinx与y＝tanx在内的图象，如图所示．当x∈时，有sinx<x<tanx(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，所以由图象可知它们有3个交点． 解法二：由得sinx＝tanx＝，即sinx＝0，解得sinx＝0或cosx＝1.在x∈内，x＝－π，0，π满足sinx＝0；x＝0满足cosx＝1，故交点个数为3. 5．(多选)关于函数f(x)＝|tanx|的性质，下列叙述正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称 D．f(x)在每一个区间(k∈Z)上单调递增 答案：BCD 解析：由题意得，f(x)＝|tanx|＝ 根据正切函数的特点作出函数f(x)＝|tanx|的简图，如图所示，由函数f(x)＝|tanx|的图象知，f(x)的最小正周期为π，故A不正确；函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)是偶函数，故B正确；函数f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，故C正确；由f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(k∈Z)上单调递增，故D正确．故选BCD. 二、填空题 6．函数y＝2tan－5的单调递增区间是________． 答案：(k∈Z) 解析：令－＋kπ<3x＋<＋kπ(k∈Z)，得－＋<x<＋(k∈Z)． 7．函数y＝tanx图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，将得到的图象向左平移个单位，再将得到的图象向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则f(x)图象的对称中心为________________． 答案：(k∈Z) 解析：由题意，得f(x)＝tan＋2＝tan＋2，由4x＋＝(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)，所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z)． 8．已知f(x)＝asin2x＋btanx＋1，且f(－2)＝4，那么f(2＋π)＝________． 答案：－2 解析：令g(x)＝f(x)－1，易知g(x)为奇函数并且周期为π，因为g(－2)＝f(－2)－1＝3，所以g(2)＝f(2)－1＝－3，因为函数g(x)的周期为π，所以g(2＋π)＝g(2)，即f(2＋π)－1＝f(2)－1＝－3，所以f(2＋π)＝－3＋1＝－2. 三、解答题 9．求下列函数的值域． (1)y＝tan，x∈[0，π]且x≠； (2)y＝＋2tanx＋1，x∈. 解：(1)因为x∈∪， 所以＋∈∪. 令t＝＋，由y＝tant的图象(如图所示)可得， 函数y＝tan，x∈[0，π]且x≠的值域为∪[，＋∞)． (2)y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1 ＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1. 因为x∈，所以tanx∈[－，1]． 故当tanx＝－1时，y取最小值1；当tanx＝1时，y取最大值5. 所以函数y＝＋2tanx＋1，x∈的值域为[1，5]． 10．(2024·四川绵阳高一期末)已知函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)函数y＝g(x)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移λ(λ>0)个单位得到的，若g＝－f(0)，求λ的最小值． 解：(1)因为T＝＝，且ω>0， 解得ω＝， 所以f(x)＝tan. (2)由题意可知g(x)＝tan， 因为－f(0)＝－tan＝tan，g＝tan， 又g＝－f(0)， 所以tan＝tan， 因为函数y＝tanx在每个周期上均为单调函数， 所以λ＋＝－＋kπ，k∈Z， 解得λ＝－＋，k∈Z， 又λ>0，所以λ的最小值为. 11．当x∈时，f(x)＝k＋tan不存在正的函数值，则实数k的取值范围为________． 答案：(－∞，－] 解析：当x∈时，2x－∈，f(x)＝k＋tan不存在正的函数值，即f(x)≤0，即k≤－tan恒成立，故k≤.因为tan∈[0，]，所以－tan∈[－，0]，所以k≤－，故实数k的取值范围为(－∞，－]． 12．已知f(x)＝ . (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)当x∈[－π，π]，且x≠±时，画出f(x)的简图，并指出函数的单调区间． 解：(1)由函数f(x)＝的解析式可得函数的定义域为，关于原点对称， 又因为f(x)＝＝， 所以f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)＝为奇函数． (2)由(1)可得 f(x)＝ 其图象如图所示． 由图象可知，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，. 13．已知函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的定义域； (2)写出函数f(x)的单调区间； (3)比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小． 解：(1)由x＋≠kπ＋，k∈Z， 得函数f(x)的定义域为. (2)由kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，得函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． (3)f(0)＝tan＝1>0， 因为－<－1＋<0，0<<， 所以f(－1)＝tan＝－tan<0， 因为<1＋<π，0<<， 所以f(1)＝tan＝－tan ＝－tan<0， 因为－>0， y＝tanx在上是单调递增的， 所以tan>tan， 所以－tan<－tan， 即f(1)<f(－1)， 所以f(0)>f(－1)>f(1)． 14．已知函数f(x)＝tan，ω>0. (1)若函数f(x)在区间[0，π]上单调递增，求ω的取值范围； (2)若函数f(x)在区间[a，b](a，b∈R)上满足：方程f(x)＝在区间[a，b]上至少存在2025个实数根，且在所有满足上述条件的区间[a，b]中，b－a的最小值不小于2025，求ω的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)在区间[0，π]上单调递增， ∴ω×π＋<，即ω<， ∴ω的取值范围为. (2)∵方程f(x)＝在区间[a，b]上至少存在2025个实数根， ∴当x∈[a，b]时，关于x的方程tan＝至少有2025个实数根， ∴当x∈[a，b]时，关于x的方程ωx＋＝kπ＋，k∈Z至少有2025个实数根， 即当x∈[a，b]时，x＝，k∈Z至少有2025个实数根． 又在所有满足上述条件的[a，b]中，b－a的最小值不小于2025， ∴b－a至少包含2024个周期， 即b－a≥2024·≥2025，∴ω≤， ∴ω的取值范围为. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$