7.3.1 第1课时 正弦函数的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.3.1　正弦函数的性质与图象 第1课时　正弦函数的性质 (教师独具内容) 课程标准：了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 教学重点：掌握正弦函数的性质． 教学难点：正弦函数性质的综合运用． 核心素养：1.根据三角函数线(正弦线)和诱导公式探究出正弦函数的性质培养直观想象素养.2.结合正弦函数的周期性提炼出函数的周期以及最小正周期的概念培养数学抽象素养.3.利用正弦函数的性质解决相关问题培养数学运算素养． 知识点一　正弦函数的概念 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sinx与之对应，因此y＝sinx是一个函数，一般称为正弦函数． 知识点二　函数的周期性 (1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． (2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期． 知识点三　正弦函数的性质 函数 y＝sinx 性质 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 单调性 在区间(k∈Z)上递增；在区间(k∈Z)上递减 最大值与最小值　　 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 零点 kπ(k∈Z) 1．(单调性)下列区间中，是函数y＝sinx的单调递增区间的是(　　) A．[0，π] B． C． D．[π，2π] 答案：C 2．(最大值)(教材P43练习A T4(1)改编)函数y＝2－sinx的最大值为________，取最大值时x的值为________． 答案：3　－＋2kπ，k∈Z 3．(值域)函数y＝sinx，x∈[0，π]时，值域为________． 答案：[0，1] 题型一　判断函数的奇偶性与周期性 例1　(1)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝cos； ②f(x)＝. [解]　①因为函数f(x)的定义域为R， f(x)＝cos＝sinx， 所以f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x)， 所以函数f(x)＝cos为奇函数． ②因为函数f(x)应满足1＋sinx≠0， 所以函数f(x)的定义域为. 因为函数f(x)的定义域不关于原点对称， 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)如果sin＝sin，那么是否为函数y＝sinx的一个周期？ [解]　不是．在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x值都有f(x＋T)＝f(x)成立，对于个别的x0，虽说满足f(x0＋T)＝f(x0)，但不能说T是函数f(x)的周期，如sin＝sin＝1，而sin0＝0，故sin≠sin0，所以不是函数y＝sinx的一个周期． 【感悟提升】　 (1)函数奇偶性的判断方法 ①看函数的定义域是否关于原点对称； ②看f(x)与f(－x)的关系． (2)判断函数周期性的方法 紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内每一个x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T. 【跟踪训练】 1．(1)(多选)已知函数f(x)＝xsin(π＋x)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是奇函数 B．函数f(x)是偶函数 C．函数f(x)的图象关于原点对称 D．函数f(x)的图象关于y轴对称 答案：BD 解析：因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，且其图象关于y轴对称．故选BD. (2)下列函数中，不是周期函数的是(　　) A．f(x)＝－sinx，x∈R B．f(x)＝3，x∈R C．f(x)＝sin(4π＋x)，x∈[－10π，10π] D．f(x)＝sinx，x∈[0，＋∞) 答案：C 解析：由周期函数的定义可知，选项A，B，D中的函数均为周期函数；对于C，因为f(x)＝sin(4π＋x)＝sinx，x∈[－10π，10π]，不存 在非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，所以选项C中的函数不是周期函数．故选C. 题型二　正弦函数的单调性及应用 例2　(1)求函数y＝－2sinx－1的单调递增区间． [解]　因为y＝－2sinx－1，所以函数y＝－2sinx－1的单调递增区间就是函数y＝sinx的单调递减区间， 所以＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数y＝－2sinx－1的单调递增区间为(k∈Z)． (2)比较下列各组数的大小： ①sin与sin；②sin与cos. [解]　①因为－<－<－<0，正弦函数y＝sinx在区间上是增函数， 所以sin>sin. ②因为cos＝sin， 又<<＋<， 而y＝sinx在上是减函数， 所以sin>sin， 即sin>cos. 【感悟提升】　利用正弦函数的单调性比较大小的步骤 (1)一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上； (2)二比较：利用函数的单调性比较大小． 【跟踪训练】 2．(1)函数y＝2sinx＋(x∈[0，π])的单调递减区间是(　　) A． B． C．[0，π] D． 答案：B 解析：y＝2sinx＋在[0，π]上的单调递减区间与y＝sinx在[0，π]上的单调递减区间相同，为.故选B. (2)下列关系式中正确的是(　　) A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10° C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C 解析：∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，且y＝sinx在上是增函数，∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.故选C. 题型三　求与正弦函数有关的函数的值域或最值 例3　(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值． ①y＝2sinx－1； ②y＝－sin2x＋sinx＋. [解]　①由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1； 当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3. ②y＝－sin2x＋sinx＋＝－＋， 因为－1≤sinx≤1， 所以当sinx＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝－sin2x＋sinx＋取得最大值，ymax＝； 当sinx＝－1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝－sin2x＋sinx＋取得最小值，ymin＝－－. (2)求函数y＝的值域． [解]　解法一：y＝＝＝1－. ∵sinx＋1∈(0，2]， ∴∈. 当sinx＝1时，ymax＝－， 故函数y＝的值域为. 解法二：由y＝， 得(sinx＋1)y＝sinx－2， 即(1－y)sinx＝y＋2， 显然y≠1，∴sinx＝. ∵－1<sinx≤1， ∴－1<≤1， 解得y≤－，即函数y＝的值域为. 【感悟提升】　与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法 (1)求形如y＝asinx＋b的函数的值域或最值时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解，若a是字母，要注意对a分类讨论． (2)求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性． (3)求形如y＝，ac≠0的函数的值域或最值，可以用分离常量法求解，也可以反解出y，利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式求解． 【跟踪训练】 3．(1)求函数y＝的最小值． 解：令t＝－4sinx＋3，则y＝. 因为sinx∈[－1，1]，y＝为减函数， 所以当sinx＝－1时，ymin＝＝. (2)设f(x)＝asinx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝b2sinx＋a2的最大值． 解：由题意，a≠0， 当a>0时，所以 此时g(x)＝sinx＋4的最大值为5； 当a<0时，所以 此时g(x)＝sinx＋4的最大值为5. 综上可得，g(x)的最大值为5. 1．函数y＝3sinx＋5的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π 答案：D 解析：∵y＝3sinx＋5和y＝sinx周期相同，∴函数的最小正周期为2π.故选D. 2．已知函数y＝sinx，x∈，则y的取值范围是(　　) A．[－1，1] B． C． D． 答案：C 解析：当x＝时，y取最小值；当x＝时，y取最大值1.故选C. 3．(多选)下列关系式中正确的是(　　) A．sin<sin B．sin<sin C．sin>sin D．sin194°>cos160° 答案：AD 解析：对于A，∵sin＝sin＝sin，0<<<，且y＝sinx在上单调递增，∴sin<sin，即sin<sin，故A正确；对于B，∵－<－<－<，且y＝sinx在上单调递增，∴sin>sin，故B错误；对于C，∵sin＝sin＝sin，sin＝sin＝sin，0<<<，且y＝sinx在上单调递增，∴sin<sin，即sin<sin，故C错误；对于D，∵sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°，故D正确．故选AD. 4．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________． 答案：0 解析：f(x)的定义域为R，∵f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－sinx－|a|，又f(x)＝－f(－x)，∴sinx－|a|＝sinx＋|a|，∴|a|＝0，即a＝0. 5．已知方程2cos2x＋6sinx－a＝0有解，求a的取值范围． 解：a＝2cos2x＋6sinx＝2(1－sin2x)＋6sinx ＝－2sin2x＋6sinx＋2＝－2＋， 所以当sinx＝－1时，amin＝－6； 当sinx＝1时，amax＝6， 所以a的取值范围为[－6，6]． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 主考点 判断函数的奇偶性 与正弦函数有关的函数的最值 正弦函数的单调性及应用 正弦函数的单调性及应用 正弦函数的性质的综合 正弦函数的奇偶性与周期性 与正弦函数有关的函数的最值 关联点 二次函数 比较大小 求单调递增区间 绝对值 求函数值 二次函数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 与正弦函数有关的函数的最值 正弦函数的奇偶性与周期性 正弦函数的单调性及应用 正弦函数的奇偶性及应用 函数的奇偶性与最值 函数的周期性 与正弦函数有关的函数的最值 关联点 绝对值 求解析式 比较大小 分组求和 绝对值 抽象函数求函数值 求参数值 一、选择题 1．函数f(x)＝x＋sinx，x∈R(　　) A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 答案：A 解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sinx＝－(x＋sinx)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，但不是偶函数．故选A. 2．函数y＝(sinx－2)2在R上的最大值为(　　) A．4 B．9 C．1 D．3 答案：B 解析：由y＝sinx在R上的最小值为－1，最大值为1，结合二次函数的图象，可得当sinx＝－1时，y＝(sinx－2)2取得最大值9.故选B. 3．下列大小关系正确的是(　　) A．sin<sin B．sin1<sin3 C．sin<sin D．sin<sin 答案：D 解析：sin＝sin>0，sin＝－sin<0，故A错误；sin3＝sin(π－3)，因为0<π－3<1<，所以sin(π－3)<sin1，所以sin1>sin3，故B错误；sin＝sin，sin＝sin，因为－<－<－<0，所以sin<sin，sin<sin，故C错误；sin＝sin，sin＝sin，所以sin<sin，故D正确．故选D. 4．函数f(x)＝5－3sinx在[0，π]上的单调递增区间是(　　) A． B． C． D．[0，π] 答案：B 解析：f(x)＝5－3sinx的单调性与y＝sinx的单调性相反，y＝sinx的单调递减区间是(k∈Z)，此即f(x)的单调递增区间．又x∈[0，π]，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为. 5．(多选)已知函数f(x)＝|sinx|，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值为0 B．f(x)的最小正周期为π C．f<f D．f(x)是偶函数 答案：ABD 解析：对于A，－1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，故A正确；对于B，|sinx|＝|sin(x＋π)|，即有f(x)＝f(x＋π)，故B正确；对于C，f＝sin，f＝sin，由正弦函数在上单调递增，则有f>f，故C错误；对于D，f(x)＝|sinx|，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|，故f(x)是偶函数，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为________． 答案： 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，所以f＝f＝f＝－f＝－sin＝sin＝. 7．已知|x|≤，则函数y＝cos2x＋sinx的最大值是________． 答案： 解析：y＝－sin2x＋sinx＋1＝－＋.∵－≤x≤，∴－≤sinx≤，∴当sinx＝时，ymax＝－＋＝. 8．已知函数f(x)＝sinx－2|sinx|，x∈[0，2π]，则函数f(x)的最小值为________，取得最小值时x的值为________． 答案：－3　 解析：当0≤x≤π时，0≤sinx≤1，则f(x)＝sinx－2sinx＝－sinx，又－1≤－sinx≤0，所以－1≤f(x)≤0；当π≤x≤2π时，－1≤sinx≤0，则f(x)＝sinx＋2sinx＝3sinx，又－3≤3sinx≤0，所以－3≤f(x)≤0.所以f(x)min＝－3，此时sinx＝－1，x＝. 三、解答题 9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝1－sinx，求当x∈时，f(x)的解析式． 解：当x∈时，3π－x∈， ∵当x∈时，f(x)＝1－sinx， ∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx. 又f(x)是以π为周期的偶函数， ∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， ∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈. 10．比较下列各组数的大小： (1)sin200°与cos190°； (2)cos，sin，－cos； (3)sin与sin. 解：(1)sin200°＝sin(180°＋20°)＝－sin20°， cos190°＝cos(180°＋10°)＝－cos10°＝－sin80°， ∵0°<20°<80°<90°， ∴sin20°<sin80°，∴sin200°>cos190°. (2)∵sin＝sin0.1， －cos＝－sin≈sin0.18， cos＝sin≈sin0.07. 又y＝sinx在上是增函数， ∴由0<0.07<0.1<0.18<， 可得sin0.07<sin0.1<sin0.18， 即cos<sin<－cos. (3)∵cos＝sin， ∴0<cos<sin<1. 而y＝sinx在[0，1]上单调递增， ∴sin>sin. 11．(2024·山东济南高一阶段练习)已知函数f(x)＝＋sinx，则f(－2025)＋f(－2024)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2024)＋f(2025)＝________． 答案：8102 解析：令g(x)＝，h(x)＝sinx，则f(x)＝g(x)＋h(x)，由于h(x)＝sinx为奇函数，故h(－2025)＋h(2025)＝h(－2024)＋h(2024)＝…＝h(－1)＋h(1)＝h(0)＝0，又g(－x)＋g(x)＝＋＝＋＝4，g(0)＝2，∴f(－2025)＋f(－2024)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2024)＋f(2025)＝g(－2025)＋g(－2024)＋…＋g(－1)＋g(0)＋g(1)＋…＋g(2024)＋g(2025)＝2025×4＋2＝8102. 12．已知函数f(x)＝|sinx－a|，a∈R. (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)求当f(x)取最大值时自变量x的取值集合． 解：(1)函数f(x)＝|sinx－a|的定义域为R，关于原点对称． 当a＝0时，f(x)＝|sinx|， 满足f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，即函数f(x)是偶函数； 当a≠0时，f(－x)＝|－sinx－a|＝|sinx＋a|，f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)， 故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)当a>0时，函数f(x)＝|sinx－a|中，sinx＝－1时，函数取得最大值1＋a，此时自变量x的取值集合为； 当a<0时，函数f(x)＝|sinx－a|中，sinx＝1时，函数取得最大值1－a，此时自变量x的取值集合为 当a＝0时，f（x）＝|sinx|取得最大值时，sinx＝±1，此时x的集合为. 13．已知函数f(x)对任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)． (1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－， ∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)， ∴函数f(x)是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是f(x)的一个周期， ∴f(5)＝f(1)＝－5， ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝. 14．已知函数f(x)＝－2cos2x－asinx－a＋1(a∈R)的最小值为g(a)，且g(a)＝. (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的最大值，并求此时x的取值集合． 解：(1)由题意得f(x)＝－2(1－sin2x)－asinx－a＋1＝2sin2x－asinx－a－1， 令t＝sinx，则－1≤t≤1. 令h(t)＝2t2－at－a－1，t∈[－1，1]， ①当≤－1，即a≤－4时，h(t)在t∈[－1，1]上单调递增，g(a)＝h(t)min＝h(－1)＝2＋a－a－1＝1≠， 所以不成立； ②当－1<<1，即－4<a<4时，g(a)＝h(t)min＝h＝2×－a×－a－1＝，整理可得a2＋8a＋12＝0，解得a＝－2或a＝－6(舍去)； ③当≥1，即a≥4时，h(t)在t∈[－1，1]上单调递减，g(a)＝h(t)min＝h(1)＝2－a－a－1＝1－2a＝，解得a＝，不满足a≥4，不成立． 综上所述，a＝－2. (2)当a＝－2时，f(x)＝2sin2x＋2sinx＋1＝2＋. 因为－1≤sinx≤1， 所以当sinx＝1， 即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝5. 综上，当x的取值集合为时，函数f(x)的最大值为5. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$