7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 (教师独具内容) 课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx. 教学重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用． 教学难点：同角三角函数基本关系式在解题中的逆用、变形应用及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的对角的范围的讨论． 核心素养：根据具体题目条件选择恰当的关系式进行化简三角函数式、证明三角恒等式，培养数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点　　　　同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tanα＝ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [拓展]　(1)同角三角函数的基本关系式的变形形式 ①平方关系的变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. ②商数关系的变形 sinα＝cosαtanα，cosα＝. (2)对同角三角函数的基本关系式的理解 ①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1. ②sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2. ③约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义情况下的恒等式． 1．(知一求二)(教材P26练习A T1改编)若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值是(　　) A．－ B．－ C．± D．± 答案：A 2．(平方关系求值)化简：＝________． 答案：cos80° 3．(弦化切求值)已知＝－5，则tanα＝________． 答案：－ 题型一　三角函数求值 角度1　sinα，cosα，tanα的知一求二问题 例1　(1)(2023·全国乙卷)若θ∈，tanθ＝，则sinθ－cosθ＝________． [解析]　因为θ∈，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝＝，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sinθ＝－(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－. [答案]　－ (2)已知cosα＝－，求sinα和tanα. [解]　sin2α＝1－cos2α＝1－＝， 因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－； 当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝. 【感悟提升】　sinα，cosα，tanα的知一求二问题的解决方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 【跟踪训练】 1．(1)已知sinα＝，且α是第二象限角，求cosα和tanα. 解：cos2α＝1－sin2α＝1－＝， 又α是第二象限角， 所以cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－. (2)已知tanα＝，求sinα的值． 解：由tanα＝，得＝， 即2sinα＝cos2α＋sin2α＝1，解得sinα＝. 角度2　已知tanα，求sinα，cosα齐次式的值 例2　(1)已知tanα＝3，求的值． [解]　解法一：原式＝＝＝. 解法二：∵tanα＝3，∴sinα＝3cosα. 代入原式可得，原式＝＝＝. 解法三：∵tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα. 又sin2α＋cos2α＝1. ∴sinα＝，cosα＝， 或sinα＝－，cosα＝－， ∴原式＝. (2)已知tanα＝－，求的值． [解]　原式＝＝ ＝＝. [结论探究]　在本例(1)中条件不变的情况下，求sin2α＋cos2α的值． 解：原式＝＝ ＝＝. 【感悟提升】　已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 【跟踪训练】 2．(1)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值． 解：由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2. ∴2sinαcosα－cos2α＝ ＝＝＝－1. (2)已知＝，α∈，求的值． 解：∵＝，∴3tan2α－2tanα－1＝0. 即(3tanα＋1)(tanα－1)＝0，∴tanα＝－或tanα＝1. ∵α∈，∴tanα<0，∴tanα＝－， ∴＝＝. (3)已知sin2α－cos2α＝，求的值． 解：∵sin2α－cos2α＝， ∴＝. 将分子分母同时除以cos2α，得＝， 解得tan2α＝3. ∴＝＝－. 题型二　sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 例3　(1)已知sinαcosα＝－，α∈，则sinα－cosα＝________． [解析]　∵α∈，∴sinα>0，cosα<0，即sinα－cosα>0，又(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴sinα－cosα＝. [答案]　 (2)已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.求sinAcosA的值并判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形． [解]　∵sinA＋cosA＝， ∴两边平方，得1＋2sinAcosA＝. ∴sinAcosA＝－. ∵sinAcosA＝－<0，且0<A<π， 可知cosA<0，∴A为钝角． ∴△ABC是钝角三角形． 【感悟提升】　已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题的解题方法 已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ； (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ； (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2； (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθ·cosθ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出． 【跟踪训练】 3．(1)如果角θ满足sinθ＋cosθ＝，那么tanθ＋的值是(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案：D 解析：∵sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝2，即sinθcosθ＝，∴tanθ＋＝＋＝＝2.故选D. (2)已知0<θ<π，且sinθ－cosθ＝，求sinθ＋cosθ，tanθ的值． 解：∵sinθ－cosθ＝， ∴(sinθ－cosθ)2＝，解得sinθcosθ＝. ∵0<θ<π，且sinθcosθ＝>0， ∴sinθ>0，cosθ>0. ∴sinθ＋cosθ＝＝＝ ＝. 由得 ∴tanθ＝＝. 题型三　三角函数式的化简与证明 例4　(1)化简： . [解]　原式＝ ＝＝＝1. (2)求证：＝. [证明]　证法一：∵右边＝ ＝＝ ＝＝＝左边， ∴原等式成立． 证法二：∵左边＝＝， 右边＝＝＝ ＝＝， ∴左边＝右边，原等式成立． [条件探究]　将本例(1)改为α∈，化简：. 解：∵α∈， ∴原式＝＝＝－1. 【感悟提升】　 1．利用同角三角函数关系化简的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称，便于约分化简． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简． 2．简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边． (2)证明左、右两边等于同一个式子． (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简． 3．条件三角恒等式的证明方法 含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面，但应注意条件的利用，常用方法有： (1)直推法：从条件直推到结论． (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明． (3)换元法． 【跟踪训练】 4．(1)化简：·. 解：原式＝·＝·＝·＝·＝， 当sinα>0时，原式＝1；当sinα<0时，原式＝－1. (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：证法一：由tan2α＝2tan2β＋1， 可得tan2β＝(tan2α－1)， 即＝，故有 ＝＝×， 整理得＝， 即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)， 展开得sin2β＝sin2α－， 即sin2β＝2sin2α－1. 证法二：∵tan2α＝2tan2β＋1， ∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)． ∴＝2·. ∴＝. ∴cos2β＝2cos2α， ∴1－sin2β＝2(1－sin2α)． ∴sin2β＝2sin2α－1. 1．已知cosθ＝，且<θ<2π，则tanθ的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：由于cosθ＝，且<θ<2π，所以sinθ＝－ ＝－，所以tanθ＝－.故选B. 2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝，又tanθ＝2，故原式＝＝.故选D. 3．(多选)已知θ∈(0，π)，且满足sinθcosθ＝－，|sinθ|>|cosθ|，则下列说法正确的是(　　) A．θ∈ B．tanθ＝－ C．tanθ＝ D．sinθ＋cosθ＝ 答案：ABD 解析：因为θ∈(0，π)，且sinθcosθ＝－<0，可得θ∈，所以A正确；因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1－＝，sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1＋＝，即(sinθ＋cosθ)2＝，(sinθ－cosθ)2＝.因为|sinθ|>|cosθ|，sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ＋cosθ＝，sinθ－cosθ＝，所以D正确；由sinθ＋cosθ＝，sinθ－cosθ＝，解得sinθ＝，cosθ＝－，所以tanθ＝＝－，所以B正确，C错误．故选ABD. 4．已知sinθ＝，则sin4θ－cos4θ的值为________． 答案：－ 解析：由sinθ＝，可得cos2θ＝1－sin2θ＝，所以sin4θ－cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)(sin2θ－cos2θ)＝sin2θ－cos2θ＝－＝－. 5．已知角α的终边落在直线y＝－x上，求＋ 的值． 解：因为角α的终边落在直线y＝－x上， 所以α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z. 当α＝2kπ＋，k∈Z， 即角α的终边在第二象限时， sinα>0，cosα<0， 所以＋＝＋ ＝＋＝0； 当α＝2kπ＋，k∈Z， 即角α的终边在第四象限时， sinα<0，cosα>0， 所以＋＝＋＝＋＝0. 综上，＋＝0. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 三角函数求值 三角函数式的化简 三角函数式的化简 三角函数求值 三角函数求值 三角函数求值 三角函数求值 关联点 知一求二问题 由隐形齐次式求函数值 由齐次式求函数值、求隐形齐次式的值 知一求二问题 求隐形齐次式的值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 三角函数式的化简 三角函数式的化简 三角函数求值 同角三角函数的基本关系式的综合应用 三角函数式的证明 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 关联点 求函数式的值 知一求二问题、求隐形齐次式的值 三角函数值的正负 利用方程根与系数的关系求值 一、选择题 1．若tanα＝－，cosα>0，则sinα＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：∵tanα＝－<0，cosα>0，∴sinα<0，由tanα＝－，得＝－，∴＝，解得sin2α＝.又sinα＜0，∴sinα＝－.故选D. 2．若α为第三象限角，则＋的值为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案：B 解析：由题意，∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0.＝－cosα， ＝－sinα，∴＋＝＋＝－1－2＝－3.故选B. 3．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：sinα＋sin2α＝1得sinα＝cos2α，∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.故选B. 4．已知α是第二象限角，且3sin2α－sinαcosα＝2，则cosα的值是(　　) A．－ B． C．－ D．－ 答案：A 解析：∵α是第二象限角，∴tanα<0，cosα≠0，∴3sin2α－sinαcosα＝＝＝2，解得tanα＝－1.由tanα＝＝－1，sin2α＋cos2α＝1及α是第二象限角可得，cosα＝－.故选A. 5．(多选)已知＝3，α∈，则(　　) A．tanα＝2 B．sinα－cosα＝－ C．sin4α－cos4α＝ D．＝ 答案：ACD 解析：因为＝3，所以＝3，解得tanα＝2.又因为α∈，tanα>0，所以0<α<，所以sinα＝，cosα＝，所以sinα－cosα＝.sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝＝＝.＝＝ ＝＝.故选ACD. 二、填空题 6．若sinA＝，且A是三角形的一个内角，则＝________． 答案：6或－ 解析：∵sinA＝>0，∴A为锐角或钝角．当A为锐角时，cosA＝＝，∴原式＝6；当A为钝角时，cosA＝－ ＝－，∴原式＝＝－. 7．已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________． 答案：－1 解析：∵sinα＋2cosα＝0，即sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，则原式＝＝＝＝＝－1. 8．已知＝－，那么的值是________． 答案： 解析：∵＝＝＝＝＝－，∴＝. 三、解答题 9．化简下列各式： (1) ＋ (α是第三象限角)； (2). 解：(1)原式＝ ＋ ＝－＝－. (2)解法一：原式＝ ＝＝. 解法二：原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 解法三：原式＝ ＝ ＝＝＝. 10．已知sinα＝－，且α是第________象限角． 从①一，②二，③三，④四这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答下列问题： (1)求cosα，tanα的值； (2)化简求值：. 解：(1)因为sinα＝－，所以α为第三或第四象限角； 若选③，cosα＝－＝－，tanα＝＝； 若选④，cosα＝＝，tanα＝＝－. (2)原式＝＝＝＝＝. 11．(2024·上海高一上期末)α，β是三角形的两个内角，且sinα＝cosβ，tanα＝，则α＝________，β＝________． 答案：　 解析：因为sinα＝cosβ，tanα＝，两式相除得cosα＝＝sinβ，所以sin2α＋cos2α＝(cosβ)2＋＝cos2β＋＝1，又α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以sinα＞0，cosβ＞0，所以cosβ＝，sinα＝，所以α＝，β＝. 12．求证：－＝. 证明：证法一： 左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边． ∴原等式成立． 证法二：∵＝＝， ＝＝， ∴－＝. ∴原等式成立． 13．已知sinθ＋cosθ＝－，求： (1)＋的值； (2)tanθ的值． 解：(1)因为sinθ＋cosθ＝－， 所以1＋2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝－， 所以＋＝＝. (2)由(1)，得＝－， 所以＝－， 即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0， 所以tanθ＝－3或tanθ＝－. 14．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求： (1)＋的值； (2)m的值； (3)方程的两根及θ的值． 解：(1)由题意，得 所以＋＝＋ ＝＝sinθ＋cosθ＝. (2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝， 将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝， 所以sinθcosθ＝， 由(1)，知sinθcosθ＝， 所以＝，且m≤，所以m＝. (3)由(2)可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝. 所以或 又θ∈(0，2π)，所以θ＝或. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$