7.2.1 三角函数的定义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.2.1　三角函数的定义 (教师独具内容) 课程标准：理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 教学重点：1.任意角的三角函数的定义.2.三角函数在各象限内的符号． 教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程． 核心素养：1.通过学习任意角的三角函数的定义及三角函数在各象限内的符号培养数学抽象素养.2.通过应用三角函数的定义和三角函数在各象限内的符号解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 前提 如图，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ 定义 正弦 称为角α的正弦，记作sinα，即sinα＝ 余弦 称为角α的余弦，记作cosα，即cosα＝ 正切 当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tanα，即tanα＝ [注意]　(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． (2)终边相同的角的同名三角函数值相等． 知识点二　三角函数的定义 角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数． 知识点三　正弦、余弦与正切在各象限的符号 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数的定义知： (1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号． (2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号． (3)正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负． [注意]　一全正，二正弦，三正切，四余弦． 1．(三角函数值的符号)(教材P18练习A T5改编)若sinα<0，且tanα>0，则α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 2．(三角函数的定义)(教材P17练习A T1改编)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________． 答案：－　　－ 3．(三角函数值的符号)sin2cos3tan4的值的符号为________． 答案：负 4．(三角函数的定义)(教材P18练习B T4改编)若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝，则tanα＝________． 答案：－ 题型一　三角函数的定义 例1　已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a>0)，求sinα，cosα，tanα的值． [解]　r＝＝5|a|， 因为a>0，所以r＝5a，角α的终边在第二象限， sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－， tanα＝＝＝－. [条件探究]　在本例中，若将题设条件改为：已知角α的终边在直线y＝x上，问题不变，怎样求解？ 解：因为角α的终边在直线y＝x上， 所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点． 则r＝ ＝2|a|(a≠0)． 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝； 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝. 【感悟提升】　利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边求α的三角函数值时，常用的解题方法为：在α的终边上任选异于原点的一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝，cosα＝，当角α的终边不在y轴上时，tanα＝. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (3)当终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 【跟踪训练】 1．(1)设a<0，角α的终边经过点P(－12a，5a)，那么sinα＋cosα的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：∵角α的终边经过点P(－12a，5a)，则r＝＝13|a|.∵a<0，∴r＝－13a，∴sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，∴sinα＋cosα＝－＋×＝.故选A. (2)设θ是第三象限角，P(－4，y)为其终边上的一点，且sinθ＝y，则tanθ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：∵sinθ＝＝y，∴＝6，解得y＝±2，又θ是第三象限角，∴y＝－2，∴tanθ＝＝. 题型二　三角函数值的符号 例2　(1)若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [解析]　由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二、三象限角．由<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三、四象限角．综上可知，α为第三象限角． [答案]　C (2)判断下列各式的符号： ①tan120°sin269°；②cos4tan. [解]　①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0. ∵269°是第三象限角，∴sin269°<0， ∴tan120°sin269°>0. ②∵π<4<，∴4弧度是第三象限角， ∴cos4<0. ∵－＝－6π＋， ∴－是第一象限角， ∴tan>0，∴cos4tan<0. 【感悟提升】　 1．已知角的三角函数值的符号，判断角是第几象限角的步骤 (1)根据题目中所有三角函数值的符号来确定角的终边所在的象限； (2)取它们的公共象限． 2．判断给定角的三角函数值正负的步骤 (1)确定α的终边所在的象限； (2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 【跟踪训练】 2．(1)若三角形的两内角A，B满足sinAcosB<0，则此三角形必为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 答案：B 解析：三角形内角的取值范围是(0，π)，故sinA>0.∵sinAcosB<0，∴cosB<0，∴B是钝角，故三角形是钝角三角形．故选B. (2)若点P(tanα，cosα)在第三象限，则α是第________象限角． 答案：二 解析：∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα<0，cosα<0，则角α的终边在第二象限． (3)判断下列各式的符号： ①sin105°cos230°； ②sintan； ③cos6tan6. 解：①∵105°，230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0， ∴sin105°cos230°<0. ②∵<<π，∴是第二象限角， ∴sin>0，tan<0，∴sintan<0. ③∵<6<2π，∴6弧度的角为第四象限角， ∴cos6>0，tan6<0，∴cos6tan6<0. 1．已知角α的终边过点P(sin30°，－sin30°)，则sinα的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：由题意，知点P的坐标为，则sinα＝＝－.故选C. 2．下列各式为正值的是(　　) A．sin5－cos5 B．cos5sin5 C．tan5cos5 D．sin5tan5 答案：D 解析：因为5≈286.5°，所以sin5<0，cos5>0，tan5<0，所以sin5－cos5<0，cos5sin5<0，tan5cos5<0，sin5tan5>0.故选D. 3．(多选)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值可能是(　　) A．－1 B．2 C．3 D．4 答案：ABC 解析：由cosα≤0，sinα>0可知，角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上，所以有即－2<a≤3.故选ABC. 4．已知角α的终边过点P(12，a)，且tanα＝，则sinα＋cosα的值为________． 答案： 解析：由正切的定义，得tanα＝＝，所以a＝5，所以P(12，5)，所以sinα＝＝，cosα＝＝，所以sinα＋cosα＝＋＝. 5．已知角α的终边经过点P(2t，－3t)，其中t≠0，求角α的正弦值、余弦值、正切值． 解：∵x＝2t，y＝－3t， ∴r＝＝＝|t|. 当t>0时，α是第四象限角， ∴sinα＝＝＝－＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－； 当t<0时，α是第二象限角， 同理sinα＝，cosα＝－，tanα＝－. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 主考点 三角函数的定义 三角函数值的符号 三角函数值的符号 三角函数的定义 三角函数的定义及应用 三角函数值的符号 三角函数的定义及应用 关联点 求三角函数值 判断角所在的象限 求参数的值 弧长与圆心角 已知正弦值求参数的值 判断代数式的符号 已知余弦值求参数的值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 三角函数值的符号 三角函数值的符号 三角函数的定义及应用 三角函数的定义，三角函数值的符号 三角函数值的符号 三角函数的定义，三角函数值的符号 三角函数的定义及应用 关联点 去绝对值 求参数的值 求参数的范围及三角函数值 角的集合 判断角所在的象限、求值 终边相同的角的集合表示、扇形的面积公式 一、选择题 1．已知角α的终边经过点P(－2，4)，则sinα－cosα的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：∵角α的终边经过点P(－2，4)，∴sinα＝＝，cosα＝＝－，∴sinα－cosα＝－＝.故选A. 2．已知tanα>0，且sinα＋cosα>0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：A 解析：∵tanα>0，∴α在第一或第三象限．若α在第一象限，则sinα>0，cosα>0，∴sinα＋cosα>0.若α在第三象限，则sinα<0，cosα<0，与sinα＋cosα>0矛盾．故α只能在第一象限．故选A. 3．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)为角α终边上一点，且OP＝(O为坐标原点)，则m－n＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 答案：A 解析：∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，∴α为第三象限角，∴P(m，n)中m<0且n<0，据题意，得解得∴m－n＝2.故选A. 4．以原点为圆心，1为半径的圆上一动点P从(1，0)出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设Q(x，y)，由任意角的三角函数的定义可得x＝cos＝，y＝sin＝，所以点Q的坐标为.故选D. 5．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b，1)，且sinα＝，则(　　) A．a＝－ B．b＝－2 C．cosα＝－ D．tanα＝－ 答案：BCD 解析：因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b，1)，且sinα＝，所以＝＝，所以a2＝，b2＝8，由＝，可知a>0，所以角α为第二象限角，所以b<0，所以a＝，b＝－2，所以A错误，B正确；cosα＝＝－，tanα＝＝－＝－，所以C，D正确．故选BCD. 二、填空题 6．代数式sin(－2)cos5tan8的符号是________(填“＋”或“－”)． 答案：＋ 解析：因为－2为第三象限角，所以sin(－2)<0，5为第四象限角，所以cos5>0，8为第二象限角，所以tan8<0，所以sin(－2)cos5tan8>0，故符号为“＋”． 7．若角α的终边经过P(－3，b)，且cosα＝－，则b＝________，sinα＝________． 答案：4或－4　或－ 解析：∵cosα＝，∴＝－，∴b＝4或b＝－4.当b＝4时，sinα＝＝；当b＝－4时，sinα＝＝－. 8．已知角α＝－＋2kπ(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为________． 答案：－1 解析：由α＝－＋2kπ(k∈Z)知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0，所以y＝－1＋1－1＝－1. 三、解答题 9．确定下列各值的符号： (1)sin(－100°)；(2)tan300°； (3)sincos；(4)sin3cos4tan5. 解：(1)－100°是第三象限角，故sin(－100°)<0. (2)300°是第四象限角，故tan300°<0. (3)是第一象限角，故sin>0， －是第四象限角，故cos>0， 因此sincos>0. (4)因为<3<π<4<<5<2π， 所以sin3>0，cos4<0，tan5<0， 所以sin3cos4tan5>0. 10．已知角θ的终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cosθ＝x，求x，sinθ，tanθ的值． 解：由题意，知r＝ ， 由三角函数的定义，得cosθ＝＝. 又cosθ＝x，所以＝x. 因为x≠0，所以x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)， 此时sinθ＝＝，tanθ＝＝3； 当x＝－1时，P(－1，3)， 此时sinθ＝＝， tanθ＝＝－3. 11．若角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的正半轴上，终边经过点P，且sinαtanα>0. (1)判断实数m的符号，并说明理由； (2)求sinα＋cosα的值． 解：(1)因为sinαtanα>0， 所以sinα和tanα同号， 所以角α的终边落在第一象限或第四象限． 当P在第四象限时，没有满足题意的实数m； 当点P在第一象限时，m>0. 综上，m>0，符号为正． (2)由(1)知m>0， 所以OP＝ ＝， 所以sinα＝＝，cosα＝＝， 所以sinα＋cosα＝＋＝. 12．已知sinα<0，tanα<0. (1)求角α的集合； (2)试判断tansincos的符号． 解：(1)由sinα<0，知角α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上， 由tanα<0，知角α的终边在第二、四象限， 故角α的终边在第四象限， 所以角α的集合为. (2)由(1)知2kπ＋<α<2π(k＋1)，k∈Z，故kπ＋<<kπ＋π，k∈Z，故角的终边在第二、四象限． 当角的终边在第二象限时， tan<0，sin>0，cos<0， 所以tansincos>0； 当角的终边在第四象限时， tan<0，sin<0，cos>0， 所以tansincos>0. 综上，tansincos取正号． 13．已知＝－，且lg (cosα)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点是M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值． 解：(1)由＝－，可知sinα<0， 由lg (cosα)有意义可知cosα>0， ∴角α是第四象限角． (2)∵OM＝1，∴＋m2＝1， 解得m＝±. 又角α是第四象限角， 故m<0，从而m＝－. 由正弦函数的定义可知sinα＝＝＝＝－. 14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的正半轴重合且与以1为半径的圆相交于点A，它的终边与该圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tanα的值； (2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈，写出弓形AB的面积S与α的函数关系式． 解：(1)由题意可得B， 根据三角函数的定义得tanα＝＝－. (2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为. (3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α， 而S△AOB＝×1×sinα＝sinα， 故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sinα，α∈. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$