7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 (教师独具内容) 课程标准：了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：弧度制的概念及角度与弧度的互化． 核心素养：1.通过学习弧度制的概念和弧度制的意义培养数学抽象素养.2.通过学习角度与弧度的互化培养数学运算素养.3.通过推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式培养逻辑推理素养． 知识点一　角度制 (1)定义 用度作单位来度量角的制度称为角度制． (2)1度的角 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度．规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°＝60′，1′＝60″． 知识点二　弧度制 (1)定义 以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． (2)1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1__rad． (3)弧度数的计算公式 在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝． (4)弧度制的意义 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应． 于是，我们得到如图的对应关系． 知识点三　弧度与角度的换算 (1)弧度制与角度制的换算 (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π (3)弧度制下象限角与坐标轴上角的集合表示 终边所在位置 角的集合表示 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴正半轴 {α|α＝2kπ，k∈Z} x轴负半轴 {α|α＝π＋2kπ，k∈Z} x轴 {α|α＝kπ，k∈Z} y轴正半轴 y轴负半轴 y轴 坐标轴 与β终边相同 {α|α＝β＋2kπ，k∈Z} [注意]　(1)用弧度表示区域角的实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一． (2)用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错． 知识点四　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长l＝＝αr，扇形的面积S＝＝lr＝αr2. 1．(弧长公式)(教材P12练习A T5改编)在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为(　　) A． cm B． cm C． cm D． cm 答案：B 2．(角度与弧度的换算)－135°化为弧度为________，化为角度为________． 答案：－　660° 3．(扇形的面积公式)已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长l为________． 答案：4 题型一　弧度制的概念 例1　下列命题中，假命题是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 [解析]　根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．A，B，C均为真命题． [答案]　D 【感悟提升】角度制和弧度制的比较 (1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制． (2)1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同． (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法． 【跟踪训练】 1．下列叙述中正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大 答案：D 解析：弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关．故选D. 题型二　弧度制与角度制的换算 例2　把下列各角度化为弧度，弧度化为角度． (1)112°30′；(2)36°；(3)－；(4)3.5. [解]　(1)112°30′＝×＝. (2)36°＝36×＝. (3)－＝－×°＝－75°. (4)3.5＝3.5×°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)． 【感悟提升】　角度和弧度互化的注意点 (1)角度与弧度的换算公式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式180°＝π rad(或简写为180°＝π)，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算． (2)将角度转化为弧度时，如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度． (3)将弧度转化为角度时，如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×°＝°. (4)用弧度制表示角时，若无精确度要求，常常把弧度数用含有π的式子表示，而不把π取近似值计算． 【跟踪训练】 2．(1)－300°化为弧度是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：B 解析：－300°＝－300×＝－.故选B. (2)化为角度是(　　) A．278° B．280° C．288° D．318° 答案：C 解析：＝×180°＝288°.故选C. 题型三　用弧度制表示角的集合 例3　(1)已知角α＝1200°. ①将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； ②在区间[－2π，2π]上找出与α终边相同的角． [解]　①α＝1200°＝＝＋6π， 因为是第二象限角，所以α是第二象限角． ②与α终边相同的角可以表示为γ＝＋2kπ，k∈Z， 由γ＝＋2kπ∈[－2π，2π]， 得当k＝0时，γ＝， 当k＝－1时，γ＝－， 所以在区间[－2π，2π]上与α终边相同的角为和－. (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(包括边界)的角的集合． [解]　因为60°＝，所以以OA为终边的角为＋2kπ，k∈Z. 因为－30°＝－，所以以OB为终边的角为－＋2kπ，k∈Z. 所以终边落在阴影部分内的角的集合为. 【感悟提升】　用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用，如α＝2kπ＋60°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)都是不正确的写法． 【跟踪训练】 3．(1)将－1125°表示成α＋2kπ，0≤α<2π，k∈Z的形式为________． 答案：－8π 解析：－1125°＝－＝－，－＝－8π，即－1125°＝－8π. (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 解：因为60°＝， 所以以OA为终边的角为＋2kπ，k∈Z. 因为225°－360°＝－135°＝－， 所以以OB为终边的角为－＋2kπ，k∈Z. 所以终边落在阴影部分内的角的集合为. 题型四　扇形的弧长及面积公式的应用 例4　(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2. [解析]　设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8(cm)，解得r＝2 cm，则l＝4 cm.故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4(cm2)． [答案]　4 (2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？ [解]　设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l， 所以l＝2(π－1)R， 所以扇形的圆心角是＝2(π－1)， 扇形的面积是lR＝(π－1)R2. 【感悟提升】　弧度制下涉及扇形问题的解题策略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 【跟踪训练】 4．(1)若扇形的面积为，半径为4，则该扇形的圆心角为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由扇形的面积公式，得S＝αr2＝α×42＝，解得α＝.故选D. (2)已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求： ①的长； ②扇形所含弓形的面积(即阴影部分的面积)． 解：①因为120°＝，所以的长l＝×6＝4π. ②S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π. 如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D， 于是有S△AOB＝AB·OD＝×2×3×3＝9， 所以弓形的面积为S扇形AOB－S△AOB＝12π－9. 1．－660°＝(　　) A．－ rad B．－ rad C．－ rad D．－ rad 答案：C 解析：－660°＝－660× rad＝－ rad.故选C. 2．4 rad的角的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为1 rad≈57.30°，所以4 rad≈229.20°.故4 rad的角的终边在第三象限．故选C. 3．(多选)扇形的半径变为原来的2倍，弧长也增加为原来的2倍，则(　　) A．扇形的圆心角不变 B．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的面积增大到原来的4倍 答案：AD 解析：设原来扇形的半径为r，弧长为l，则半径、弧长扩大2倍后分别为2r，2l.因为原来扇形的圆心角为，半径、弧长扩大2倍后扇形的圆心角为＝，故A正确；因为原来扇形的面积为lr，半径、弧长扩大2倍后扇形的面积为·2l·2r＝2lr，是原来的4倍，故D正确．故选AD. 4．用弧度制表示终边在直线y＝－x上的角的集合为________． 答案： 解析：终边在直线y＝－x上的角，即终边与或－相同的角，表示成集合为∪＝. 5．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 解：解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝， θ＝105°＝105×＝. 显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ. 解法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°. 显然15°<18°<57.30°<105°， 故α<β<γ<θ＝φ. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 主考点 象限角的判定 角度制与弧度制的换算 弧长公式的应用 扇形的弧长与面积公式的应用 扇形的弧长与面积公式的应用 角度制与弧度制的换算 扇形的弧长与面积公式的应用 关联点 求圆心角 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 用弧度制表示角的集合 用弧度制表示角的集合 用弧度制表示角的集合 用弧度制表示角的集合 用弧度制表示角的集合 扇形的弧长与面积公式的应用 扇形的弧长与面积公式的应用 关联点 利用终边相同求角 象限角，轴线角 终边相同的角，象限角 利用终边相同求角 区域角 圆心角，弦长 一、选择题 1．－是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：D 解析：因为－＝－－4π，所以－与－的终边相同，为第四象限角．故选D. 2．(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15° 答案：ABD 解析：对于A，67°30′＝67.5×＝，故A正确；对于B，因为－×°＝－600°，所以－＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，因为×°＝15°，所以＝15°，故D正确．故选ABD. 3．若圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　　) A． B． C． D．2 答案：C 解析：如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R，则其所对圆心角的弧度数α＝＝.故选C. 4．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：l＝弦＋，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为(　　) A．＋2 B． C． D．2＋1 答案：C 解析：设扇形的圆心角为α，由扇形的面积公式可知×α×22＝，所以α＝.如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则OC⊥AB.易知∠OAD＝，则OD＝2sin＝1，所以CD＝2－1＝1，AD＝2cos＝，AB＝2AD＝2，所以该扇形弧长的近似值为l＝弦＋＝AB＋＝.故选C. 5．(多选)如图，A，B是半径为1的圆上的两点，点B的坐标为(1，0)，∠xOA＝60°，点A以1 rad/s的角速度、点B以2 rad/s的角速度均按逆时针方向开始在圆上运动，则(　　) A．1 s时，∠BOA的弧度数为＋3 B． s时，扇形AOB的弧长为 C． s时，扇形AOB的面积为 D． s时，点A、点B在圆上第一次重合 答案：BC 解析：1 s时，点A按逆时针方向运动1 rad，点B按逆时针方向运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为－1，故A不正确； s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确； s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C正确；设t s时，点A、点B在圆上第一次重合，则t＋＝2t，解得t＝(s)，故D不正确．故选BC. 二、填空题 6．－105°化为弧度为________，化为角度为________． 答案：－　216° 解析：－105°＝－105×＝－，＝×180°＝216°. 7．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为__________，面积为________． 答案：4　6π 解析：因为135°＝135×＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π. 8．若角α的终边与角的终边相同，则在[0，2π]上，与角的终边相同的角是____________． 答案：，，， 解析：由题意，得α＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．由0≤＋≤2π，解得－≤k≤，又k∈Z，则k＝0，1，2，3，∴终边与角的终边相同的角是，，，. 三、解答题 9．分别写出终边在第三象限内的角的集合和终边在y轴正半轴上的角的集合(用弧度制表示)． 解：终边在第三象限内的角的集合为，终边在y轴正半轴上的角的集合为. 10．已知角α＝－1725°，β＝. (1)将α，β改写成θ＋2kπ(k∈Z，0≤θ<2π)的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间[－4π，0)内找出与角α终边相同的角． 解：(1)α＝－1725°＝－1725×＝－＝－10π， 又0<<，故α是第一象限角． β＝＝＋4π，又π<<， 故β是第三象限角． (2)与角α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤＋2kπ<0，k∈Z，知k＝－1，－2. 当k＝－1时，＋2kπ＝－， 当k＝－2时，＋2kπ＝－. 所以在区间[－4π，0)内与角α终边相同的角是－，－. 11．已知0<β<π，若将角β的终边顺时针旋转所得的角的终边与角β的5倍角的终边重合，求角β. 解：角β的终边顺时针旋转所得的角为β－，由题意知， β－＝5β＋2kπ，k∈Z，则β＝－－，k∈Z，注意到0<β<π，则只有k＝－1，k＝－2符合题意，故β＝或β＝. 12．用弧度表示顶点在原点、始边重合于x轴的正半轴、终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)． 解：(1)如题图1中以OB为终边的330°角，可看成是－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝， ∴. (2)如题图2中以OB为终边的225°角，可看成是－135°，化为弧度，即－，而135°＝， ∴. (3)如题图3，∵30°＝，210°＝， ∴∪＝∪＝. 13．扇形AOB的周长为8 cm. (1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：(1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R cm. 依题意有解得θ＝或6. 即圆心角的大小为弧度或6弧度． (2)设扇形所在圆的半径为x cm， 则扇形的圆心角θ＝. 于是扇形的面积为 S＝··x2＝4x－x2＝－(x－2)2＋4. 故当x＝2 cm时，S取到最大值． 此时圆心角θ＝＝2弧度， 弦长AB＝2×2sin1＝4sin1(cm)． 即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1 cm. 14．如图，一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成的角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正) 解：在扇形ABA1中，圆心角为， 弧长l1＝×AB＝×＝π(dm)， 面积S1＝××AB2＝××4＝π(dm2)． 在扇形A1CA2中，圆心角为， 弧长l2＝×A1C＝×1＝(dm)， 面积S2＝××A1C2＝××12＝(dm2)． 在扇形A2DA3中，圆心角为π－－＝， 弧长l3＝×A2D＝×＝(dm)， 面积S3＝××A2D2＝××()2＝(dm2)， 所以点A走过的路程l＝l1＋l2＋l3＝π＋＋＝(dm)， 点A走过的弧所在的扇形的总面积S＝S1＋S2＋S3＝π＋＋＝(dm2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$