7.1.1 角的推广-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.1.1　角的推广 (教师独具内容) 课程标准：1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念.3.理解终边相同的角的集合表示． 教学重点：1.理解正角、负角、零角、象限角的概念.2.掌握终边相同的角的表示方法． 教学难点：用集合符号表示终边相同的角． 核心素养：1.通过学习任意角的概念和象限角的概念培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过用集合符号表示终边相同的角培养数学运算素养． 知识点一　角的概念 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这两条射线分别称为角的始边和终边． 知识点二　角的分类 按照角的旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 一条射线没有旋转时形成的角 这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 知识点三　角的加减运算的几何意义(β>0°) (1)α＋β：把角α的终边逆时针方向旋转角β，如图1. (2)α－β：把角α的终边顺时针方向旋转角β，如图2. 知识点四　象限角 (1)若角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，则角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角． (2)若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何象限． 知识点五　终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． [注意]　(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少． (3)终边相同的角的表示不唯一． [拓展]　 1．象限角的集合表示 角α的终边所在的位置 集合表示 第一象限 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 2.终边在坐标轴上的角的集合 角α的终边所在的坐标轴 集合表示 x轴的正半轴 {α|α＝k·360°，k∈Z} x轴的负半轴 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} y轴的正半轴 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} y轴的负半轴 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} x轴 {α|α＝k·180°，k∈Z} y轴 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 坐标轴 {α|α＝k·90°，k∈Z} 1．(终边相同的角的表示)与600°角终边相同的角可表示为(　　) A．220°＋k·360°(k∈Z) B．240°＋k·360°(k∈Z) C．60°＋k·360°(k∈Z) D．260°＋k·360°(k∈Z) 答案：B 2．(象限角的判定)－378°是第________象限角． 答案：四 3．(终边相同的角)已知α＝2025°，若β与α的终边相同，且0°<β<360°，则β＝________． 答案：225° 题型一　角的概念 例1　(1)下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 [解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是零角，也可以是负角，D错误．故选C. [答案]　C (2)时钟走了3小时20分钟，则时针转过的角度为________，分针转过的角度为________． [解析]　时针每小时转30°，分针每小时转360°，且都按顺时针方向旋转，又3小时20分钟即3小时，故时针转过的角度为－3×30°＝－100°，分针转过的角度为－3×360°＝－1200°. [答案]　－100°　－1200° 【感悟提升】 1．角的概念的三个“明确” (1) (2)技巧：逆时针方向为正角，顺时针方向为负角． (3)常见角α的范围：锐角0°<α<90°，钝角90°<α<180°，直角90°，平角180°，周角360°. 2．求解与角的概念有关问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小． (2)技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【跟踪训练】 1．(1)若将钟表调慢5分钟，则分针转过的角度为(　　) A．60° B．30° C．－60° D．－30° 答案：B 解析：将钟表的分针调慢5分钟，则分针逆时针转过30°.故选B. (2)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则OA转过的角度为(　　) A．150° B．－150° C．390° D．－390° 答案：B 解析：由题意，得OA转过的角度为120°＋(－270°)＝－150°. 题型二　终边相同的角的表示 例2　(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来． [解]　与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}． ∵－720°≤β<360°， ∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，3≤k<6. 又k∈Z，故k＝4，5，6， 当k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°， 当k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°， 当k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°. (2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合． [解]　①{β|β＝k·180°，k∈Z}． ②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}． 【感悟提升】在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用排除法． (2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 【跟踪训练】 2．(1)已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________． 答案：－960° 解析：∵α与120°角的终边相同，故有α＝120°＋k·360°，k∈Z.又－990°<120°＋k·360°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°，解得－3<k<－2，又k∈Z，故k＝－3，∴α＝120°＋(－3)×360°＝－960°. (2)在与1030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角： ①最小的正角；②最大的负角． 解：1030°＝310°＋2×360°，故与1030°角终边相同的角的集合为{α|α＝310°＋k·360°，k∈Z}． ①所求的最小正角为310°. ②取k＝－1，得所求的最大负角为－50°. 题型三　象限角的判定 例3　(1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①－75°；②855°；③－510°. [解]　作出各角，其对应的终边如图所示： ①由图a可知，－75°角是第四象限角． ②由图b可知，855°角是第二象限角． ③由图c可知，－510°角是第三象限角． (2)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z，0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角． ①420°；②－510°；③1020°. [解]　①420°＝360°＋60°， 而60°角是第一象限角，故420°角是第一象限角． ②－510°＝－2×360°＋210°， 而210°角是第三象限角，故－510°角是第三象限角． ③1020°＝2×360°＋300°， 而300°角是第四象限角，故1020°角是第四象限角． (3)若α是第一象限角，问－α，2α，是第几象限角？ [解]　∵α是第一象限角， ∴k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)． ①－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)， 故－α是第四象限角． ②2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)， 故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的正半轴． ③k·120°<<k·120°＋30°(k∈Z)． 解法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时， n·360°<<n·360°＋30°(n∈Z)， ∴是第一象限角； 当k＝3n＋1(n∈Z)时， n·360°＋120°<<n·360°＋150°(n∈Z)， ∴是第二象限角； 当k＝3n＋2(n∈Z)时， n·360°＋240°<<n·360°＋270°(n∈Z)， ∴是第三象限角． 综上可知，是第一或第二或第三象限角． 解法二(几何法)：如图， 先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为终边所落在的区域，故为第一或第二或第三象限角． 【感悟提升】象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 【跟踪训练】 3．(1)(多选)在四个角－20°，－400°，－2000°，1600°中，第四象限角是(　　) A．－20° B．－400° C．－2000° D．1600° 答案：AB 解析：因为－400°＝－360°－40°，－2000°＝－6×360°＋160°，1600°＝4×360°＋160°，所以－20°，－400°是第四象限角．故选AB. (2)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限． 解：因为α为第三象限角， 所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z， 则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z， 所以90°－α的终边在第三象限． (3)若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限． 解：由于α为第四象限角， 即－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z， 所以－45°＋k·180°<<k·180°，k∈Z. 当k＝2n，n∈Z时，－45°＋n·360°<<n·360°，n∈Z，所以是第四象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，135°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，所以是第二象限角． 综上可知，的终边所在的象限是第二或四象限． 题型四　区域角的表示 例4　写出终边落在阴影部分的角的集合． [解]　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成． ①{α|30°＋k·360°≤α<105°＋k·360°，k∈Z}， ②{α|210°＋k·360°≤α<285°＋k·360°，k∈Z}． ∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|30°＋k·360°≤α<105°＋k·360°，k∈Z}∪{α|210°＋k·360°≤α<285°＋k·360°，k∈Z}＝{α|30°＋2k·180°≤α<105°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|30°＋(2k＋1)·180°≤α<105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|30°＋2k·180°≤α<105°＋2k·180°或30°＋(2k＋1)·180°≤α<105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|30°＋n·180°≤α<105°＋n·180°，n∈Z}． [条件探究]　将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域内(包括边界)的角的集合． 解：(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}． (2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}． 【感悟提升】区域角的写法可分三步 (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合． 【跟踪训练】 4．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合． 解：(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|135°＋k·360°<α<300°＋k·360°，k∈Z}． (2){α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|－60°＋n·180°<α<45°＋n·180°，n∈Z}． 1．－100°角是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：因为－100°＝260°－360°，又因为260°角为第三象限角，所以－100°角是第三象限角．故选C. 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．终边相同的角不一定相等 B．钝角一定是第二象限角 C．第一象限角一定不是负角 D．小于90°的角都是锐角 答案：AB 解析：30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；－280°角是第一象限角，但此角为负角，故C错误；－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，故D错误．故选AB. 3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________，分针所转成的角度是________． 答案：－5°　－60° 解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°. 4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________． 答案：150°＋k·360°(k∈Z) 解析：∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)． 5．写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1080°范围内与75°角终边相同的角． 解：与75°角终边相同的角β的集合为{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}． 当360°≤β<1080°时， 即360°≤k·360°＋75°<1080°， 解得≤k<2. 又k∈Z，所以k＝1或k＝2. 当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°. 综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1080°范围内的角为435°角和795°角． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 终边相同的角的表示 角的概念 象限角的判定 两角终边的对称性 象限角的判定 两角终边的对称性 象限角的判定 关联点 角的终边的位置 判断两角的关系 已知2α所在的象限判断α所在的象限 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 终边相同的角的表示 象限角的判定 终边相同的角的表示 角的加减运算的几何意义 终边相同的角的表示 区域角的表示 角的概念 关联点 判断角的集合间的关系 终边相同的角 求有限制条件的终边相同的角 根据函数图象写出角的集合 一、选择题 1．把－1485°化成α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是(　　) A．315°－5×360° B．45°－4×360° C．－315°－4×360° D．－45°－10×180° 答案：A 解析：∵0°≤α<360°，∴排除C，D.经计算可知A正确．故选A. 2．若手表时针走过5小时，则时针转过的角度为(　　) A．150° B．－150° C．－30° D．30° 答案：B 解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－150°.故选B. 3．若β是第二象限角，则270°＋β是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：A 解析：由于β是第二象限角，所以90°＋k·360°<β<180°＋k·360°，k∈Z，则(k＋1)·360°<β＋270°<90°＋(k＋1)·360°，k∈Z，所以270°＋β是第一象限角．故选A. 4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与角β的终边(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称 答案：A 解析：因为β＝315°＝－45°＋360°，所以－45°角与315°角的终边相同，所以角α与角β的终边关于x轴对称．故选A. 5．(多选)若角α为第二象限角，则角的终边可能落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：ABD 解析：因为角α为第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.对k进行讨论，当k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)时，的取值范围分别为30°＋n·360°<<60°＋n·360°，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，所以角的终边可能落在第一或二或四象限．故选ABD. 二、填空题 6．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________． 答案：k·360°＋60°(k∈Z) 解析：因为在0°～360°内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)． 7．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角． 答案：一或第三 解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论，当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α的终边在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α的终边在第三象限．故α是第一或第三象限角． 8．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则M________N(填“”“”或“＝”)． 答案： 解析：M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z}，∵k∈Z，∴k＋2∈Z，2k＋1∈Z，且2k＋1为奇数，∴MN. 三、解答题 9．在0°～360°内，找出与下列各角的终边相同的角，并判断它们是第几象限角． (1)－315°；(2)905.3°；(3)－1090°；(4)530°. 解：(1)∵－315°＝－360°＋45°，45° 是第一象限角，∴－315° 是第一象限角． (2)∵905.3°＝2×360°＋185.3°，185.3° 是第三象限角， ∴905.3° 是第三象限角． (3)∵－1090°＝4×(－360°)＋350°，350° 是第四象限角， ∴－1090° 是第四象限角． (4)∵530°＝360°＋170°，170° 是第二象限角， ∴530° 是第二象限角． 10．已知角α的集合为M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题： (1)集合M中有几类终边不相同的角？ (2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (3)求集合M中的第二象限角β. 解：(1)集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角． (2)令－360°<30°＋k·90°<360°， 得－＜k＜. 又k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z. 11．下列图形中，γ＝α＋β的是________，γ＝α－β的是________． 答案：①④　②③ 解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β；在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；在③中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β；在④中，α与γ的始边相同，α的 终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.所以γ＝α＋β的是①④，γ＝α－β的是②③. 12．若角α的终边和函数y＝－|x|的图象重合，试写出角α的集合． 解：由于y＝－|x|的图象是第三、四象限的平分线，故在0°～360°内所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为{α|α＝225°＋k·360°或α＝315°＋k·360°，k∈Z}． 13．已知角α的终边落在图示阴影部分区域(包含边界)，写出角α组成的集合． 解：(1){α|k·360°－135°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． (2){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤α≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α≤n·180°＋60°，n∈Z}． 14．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值． 解：根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍， 故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z， 则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z. 因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°， 由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角，所以90°<2α<2β<180°，于是45°<α<90°，45°<β<90°. 所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°， 即<m<，<n<， 又α<β，所以m<n，从而可得m＝2，n＝3， 即α＝，β＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$