第1章 三角函数 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

第一章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列等式成立的是(　　) A．sin＝ B．cos＝－ C．sin＝ D．tan＝ 答案：C 解析：sin＝，cos＝－，tan＝－，sin＝.故选C. 2．如果sin(π＋A)＝－，那么cos的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：由sin(π＋A)＝－，得sinA＝，则cos＝cos＝－cos＝－sinA＝－. 3．设0≤x≤2π，使sinx≥且cosx<同时成立的x值是(　　) A.≤x≤ B.≤x≤ C.≤x≤ D.<x≤ 答案：D 解析：由正弦曲线得sinx≥时，x∈；由余弦曲线得cosx<时，x∈，∴sinx≥且cosx<时，x∈. 4．已知f(x)＝sin(2x＋φ)的一个单调区间是，则φ的一个值是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：排除法，若φ＝±，f(x)＝±cos2x不符合题意，若φ＝，也不符合题意，经检验A符合．故选A. 5．(2024·天津高考)已知函数f(x)＝sin3(ω>0)的最小正周期为π，则函数在的最小值是(　　) A．－ B．－ C．0 D. 答案：A 解析：f(x)＝sin3＝sin(3ωx＋π)＝－sin3ωx，由T＝＝π，得ω＝，即f(x)＝－sin2x.当x∈时，2x∈，画出f(x)＝－sin2x的图象，如图．由图可知，f(x)＝－sin2x在上单调递减，所以当x＝时，f(x)min＝－sin＝－.故选A. 6．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案：C 解析：∵b＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a，∴b>a.又c＝tan35°＝>sin35°＝cos55°＝b，∴c>b.∴c>b>a.故选C. 7．奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，且f(1)＝9，则f(2022)＋f(2023)＋f(2024)的值为(　　) A．－8 B．－9 C．－10 D．9 答案：B 解析：∵f(x＋2)＝－f(2－x)＝f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(x＋2－2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(2)＋f(－1)＋f(0)．∵f(x)为奇函数且x∈R，f(1)＝9，∴f(0)＝0，f(－1)＝－9，在f(2＋x)＋f(2－x)＝0中，令x＝0，得f(2)＝0，∴原式＝－9. 8．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝(　　) A．2＋ B. C. D．2－ 答案：B 解析：由图象可知，＝－＝，即T＝.所以ω＝2.由图象知，图象过点，所以0＝Atan，即π＋φ＝kπ(k∈Z)．所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，再由图象过点(0，1)，所以A＝1，则f(x)＝tan，故f＝tan＝tan＝. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中小于零的是(　　) A．sin B．cos C．sin(π－α) D．cos(π＋α) 答案：AB 解析：∵角α的终边在第二象限，∴sinα>0，cosα<0.对于A，sin＝cosα<0；对于B，cos＝－sinα<0；对于C，sin(π－α)＝sinα>0；对于D，cos(π＋α)＝－cosα>0.故选AB. 10．(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)与g(x)的零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，可知f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z⇔x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z⇔x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC. 11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，－为f(x)的一个零点，直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在(0，π)上有且仅有7个零点，下述结论正确的是(　　) A．φ＝ B．ω＝5 C．f(x)在(0，π)上有且仅有4个极大值点 D．f(x)在上单调递增 答案：CD 解析：∵直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，－为f(x)的一个零点，∴ω×＋φ＝＋k1π，且ω×＋φ＝k2π，k1，k2∈Z，∴ω＝2k＋1，k∈Z.又f(x)在(0，π)上有且仅有7个零点，设t＝ωx＋φ，由x∈(0，π)得t∈(φ，ωπ＋φ)，即y＝sint在(φ，ωπ＋φ)上有且仅有7个零点，又0<φ<，∴7π<ωπ＋φ≤8π，∴<ω<8，∴ω＝7，∴7×＋φ＝＋kπ(k∈Z)．又0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.令7x＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．由0<＋<π，解得－<k<.∵k∈Z，∴k＝0，1，2，3，故f(x)在(0，π)上有且仅有4个极大值点．由－＋2kπ≤7x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上单调递增，∴f(x)在上单调递增． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．y＝lg (cosx－sinx)的定义域是________． 答案：(k∈Z) 解析：由cosx－sinx>0知，cosx>sinx，由单位圆知2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z. 13．(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cosβ的最大值为________． 答案：－ 解析：由题意，β＝α＋π＋2kπ，k∈Z，从而cosβ＝cos(α＋π＋2kπ)＝－cosα，因为α∈，所以cosα∈，cosβ∈，所以cosβ的最大值为－. 14．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值是________． 答案： 解析：函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ωx的取值范围是 ，∴－≤－或≥，∴ω≥，即ω的最小值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)设tan＝a，求的值． 解：原式＝ ＝ ＝＝. 16．(本小题满分15分)已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)在的表达式； (2)求方程f(x)＝的解． 解：(1)因为当x∈时，函数解析式f(x)＝Asin(ωx＋φ)，观察图象易得，A＝1，ω＝1，φ＝，即函数f(x)＝sin. 由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称得， x∈时，函数f(x)＝－sinx， 所以f(x)＝ (2)当x∈时， 由sin＝得，x＋＝或， 即x＝－或x＝. 当x∈时，由－sinx＝得x＝－或x＝－. 所以f(x)＝的解集为. 17．(本小题满分15分)某港口相邻两次高潮发生的时间间隔12 h 20 min，低潮时入口处水的深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系； (2)求出10月5日4：00时水的深度． 解：(1)设此三角函数是d＝Asin(ωt＋φ)＋b， 根据题意可知T＝12 h， 所以ω＝＝，A＝＝＝2.8，b＝＝＝5.6. 所以d＝2.8sin＋5.6， 又因为t＝2时，d取得最大值， 所以2.8sin＋5.6＝8.4， 所以φ＝， 故d＝2.8sin＋5.6(t>0)． (2)10月5日4：00时，相当于t＝52，此时水深约为8.24 m. 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)． (1)求f(x)的解析式； (2)求满足f(x)≥的x的取值范围． 解：(1)由题意可得f(x)的周期为 T＝－＝＝， 因为ω>0，所以ω＝， 则f(x)＝Atan， 又它的图象过点， 所以tan＝0， 即tan＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－， 则f(x)＝Atan， 又它的图象过点(0，－3)， 所以Atan＝－3，得A＝3. 所以f(x)＝3tan. (2)因为3tan≥， 所以tan≥， 则kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z， 解得＋≤x<＋，k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是，k∈Z. 19．(本小题满分17分)设函数f(x)＝sin＋2. (1)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的简图； (2)求函数f(x)的周期、最大值、最小值及当函数取最大值和最小值时相应的x值的集合； (3)求函数f(x)的单调递增区间； (4)说明函数f(x)的图象可以由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换而得到． 解：(1)列表： x － 2x＋ 0 π 2π y＝sin＋2 2 ＋2 2 2－ 2 函数图象如图： (2)周期T＝π，f(x)max＝2＋，此时x∈. f(x)min＝2－，此时x∈. (3)函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (4)先将y＝sinx(x∈R)的图象向左平移个单位长度，然后将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将所得图象上各点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)，最后将所得图象向上平移2个单位长度，就可得到f(x)＝sin＋2的图象． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$