2.2.2 向量的减法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

2.2　向量的减法 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义． 教学重点：1.向量减法的运算法则.2.向量减法的几何意义． 教学难点：运用向量的减法解决实际问题． 知识点一　向量减法的定义 (1)向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)． (2)求两个向量差的运算，叫作向量的减法，其结果仍是一个向量． 知识点二　向量减法的几何意义 如果把两个向量的起点放在一起，这两个向量的差是以减向量的终点为起点，以被减向量的终点为终点的向量． 　非零向量a，b的差向量的三角不等式 (1)当a，b不共线时， 如图①，作＝a，＝b， 则a－b＝－＝. (2)当a，b共线且同向时， 若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)， 于是|a－b|＝|a|－|b|； 若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)， 于是|a－b|＝|b|－|a|. (3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)． 可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立： ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 说明：若a，b至少有一个零向量时，向量不等式的等号成立． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　) (3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．(　　) (4)相反向量是共线向量．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 (2)化简－＋＋的结果等于(　　) A. B. C. D. (3)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|－|＝________． 答案：(1)A　(2)B　(3) 题型一　已知向量作差向量 　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解]　作法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则＝b－c，所以＝＋＝a＋b－c. 作法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，则＝a＋b－c. 作法三：如图③，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 【感悟提升】　求两个向量的差，关键是把两向量平移到共起点的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算． 平移作两个向量的差的步骤： 此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”． 【跟踪训练】 1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解：在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量a－b＝，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 题型二　向量的减法运算 　化简下列各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－.结果为零向量的序号是________． [解析]　①＋＋＝＋＝0；②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；③－＋＝＋＝0；④＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.综上可得，结果为零向量的是①②③④. [答案]　①②③④ 【感悟提升】　向量减法的运算转换 (1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． (2)对于向量的加减运算，做加法时要首尾相接，如＋＝.做减法时要保证起点相同，如－＝.同时，注意交换一个向量的起点和终点，所得向量与原向量是相反向量． 【跟踪训练】 2．(1)若P是平行四边形ABCD外一点，则－＋－＝________． 答案：0 解析：－＋－＝＋，在平行四边形ABCD中，＝，∴原式＝0. (2)化简下列各式： ①(＋)＋(－)； ②－－＋. 解：①(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝. ②解法一：－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 解法二：－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 题型三　用已知向量表示未知向量 　已知O为平行四边形ABCD内一点，且有＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示. [解]　在△AOD中，＝＋，在△BOC中，＝－. 又四边形ABCD是平行四边形． ∴＝. ∴＝＋－＝a＋c－b. ∴＝b－a－c. 【感悟提升】　用几个向量表示某个向量的基本步骤 (1)观察各向量位置； (2)寻找(或作)相应的平行四边形或者三角形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果． 【跟踪训练】 3.如图在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，，，. 解：如图，连接AD.因为四边形ACDE是平行四边形，且＝b，＝c，所以＝b＋c， 故由三角形法则得，＝－＝b＋c－a，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝＝c，＝－＝c－b. 题型四　向量的模及其性质 　(1)若|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|的取值范围是________． [解析]　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，∴2≤|a－b|≤4，∴|a－b|的取值范围是[2，4]． [答案]　[2，4] (2)若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为________． [解析]　如图所示，设＝a，＝b，作平行四边形ABCD，则＝a＋b，＝a－b.由|a＋b|＝|a－b|，得平行四边形ABCD是矩形．又|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，∴BD＝2AB，∴∠BDA＝30°，∠DAC＝30°，∴向量b与a＋b的夹角为30°. [答案]　30° 【感悟提升】　解决向量模的问题的两种方法 (1)依据图形特点，适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化，要注意相关知识间的联系． (2)利用向量形式的三角不等式，即||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．用此法求解时，一定要注意等号成立的条件． 【跟踪训练】 4．已知向量m，n满足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝，则|m＋n|＝(　　) A．3 B. C. D．9 答案：A 解析：如图所示，设＝m，＝n，则m＋n＝，m－n＝.由平行四边形的性质，得AC2＋DB2＝2(AB2＋AD2)，所以|m＋n|2＋|m－n|2＝2|m|2＋2|n|2，所以|m＋n|2＋17＝8＋18，所以|m＋n|2＝9，|m＋n|＝3. 题型五　向量减法的应用 　如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AC，BD是它的两条对角线． (1)用a，b表示，； (2)当a，b满足什么条件时，表示a＋b与a－b的有向线段所在的直线互相垂直？ (3)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ [解]　(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b. (2)由(1)知a＋b＝，a－b＝.∵表示a＋b与a－b的有向线段所在的直线互相垂直，即AC⊥DB，且四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|. (3)不可能．∵▱ABCD的两对角线不可能平行， ∴a＋b与a－b不可能为共线向量， ∴a＋b与a－b不可能为相等向量． 【感悟提升】　解决这类问题时，需根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用向量加法的三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法． 【跟踪训练】 5．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c，证明：b＋c－a＝. 证明：证法一：因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝， 所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝. 证法二：＝＋＝＋＋＝c＋＋＝b＋c－＝b＋c－a. 证法三：因为c－a＝－＝－＝＝＋＝－＝－b， 所以b＋c－a＝. 1．在平行四边形ABCD中，－等于(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：－＝，在平行四边形ABCD中，＝，故选A. 2．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　) A．[3，8] B．(3，8) C．[3，13] D．(3，13) 答案：C 解析：因为＝－，所以当，同向共线时，||＝8－5＝3.当，反向共线时，||＝8＋5＝13.当，不共线时，3<||<13.所以3≤||≤13. 3．(多选)若A，B，C，D是平面内任意四点，则下列四式中正确的是(　　) A.＋＝＋ B.－＝＋ C.－－＝ D.＋－＝ 答案：ABD 解析：对于A，原式变形为－＝－，左边＝＋＝，右边＝＋＝，故A正确；对于B，原式变形为－＝＋，左边＝，右边＝＋＝，故B正确；对于C，左边＝－＝＋＝，与右边不相等，故C不正确；对于D，左边＝－＝，故D正确．故选ABD. 4.如图，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，则－＋等于________(用图中标注的向量表示)． 答案： 解析：－＋＝－＋＝＋＝＋＝. 5.如图所示，在正五边形ABCDE中，＝m，＝n，＝p，＝q，＝r，求作向量m－p＋n－q－r. 解：m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝－＝＋. 如图，连接AC，并延长AC到F， 使AC＝CF， 则向量＝＋＝＋， 即向量就是所求作向量． 课后课时精练 一、选择题 1.如图，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 答案：A 解析：由于a－b＝－＝，＋＝，所以＝a－b＋c. 2．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　) A．1 B．2 C. D. 答案：D 解析：如图，在▱ABCD中，△ABC为等边三角形，∵＝，∴|－|＝|－|＝||＝. 3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　) A.＋＋＝0 B.－＋＝0 C.＋－＝0 D.－－＝0 答案：A 解析：∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝0. 4．已知△ABC及所在平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在直线AB上 D．P是AC边上的一个三等分点 答案：D 解析：由＋＋＝＝－，得＋＝－，即＝＋，故P为AC边上靠近A的三等分点． 5．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中是真命题的是(　　) A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同 B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反 C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模 D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同 答案：ABD 解析：如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.当a，b同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|，||a|－|b||＝|a－b|.当a，b反向时有|a＋b|＝||a|－|b||，|a|＋|b|＝|a－b|，故选ABD. 二、填空题 6．在▱ABCD中，若|＋|＝|－|，则边AB与边AD的夹角为________． 答案：90° 解析：根据向量加减法的几何意义，知▱ABCD的对角线长度相等，∴四边形ABCD为矩形，∴边AB与边AD的夹角为90°. 7．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是________． 答案：平行四边形 解析：∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，即－＝－，∴＝，∴BA綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形． 8．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________，|c－a－b|＝________． 答案：2　0 解析：如图所示，|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝||＋||＝2||＝2.|c－a－b|＝|－－|＝|－|＝0. 三、解答题 9．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－－|，试判断△ABC的形状． 解：|＋－－|＝|－＋－|＝|＋|，|－|＝||＝|－|. ∵|－|＝|＋－－|， ∴|＋|＝|－|， ∴以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线的长度相等， ∴此平行四边形为矩形，∴AB⊥AC， ∴△ABC为直角三角形． 10.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，证明：a－(b＋c)＝－. 证明：a－(b＋c)＝a－b－c＝－－＝－－－＝－－＝－(＋)＝－. 11．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，求||. 解：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加减法的几何意义可知＝＋，＝－. 因为|＋|＝|－|， 所以||＝||. 又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB. 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线， 因此，||＝||＝2. 12．设△ABC的外心为O，垂心为H，连接BO并延长交外接圆于D.求证： (1)－＝； (2)－－＝. 证明：如图所示，在⊙O中， (1)＝－，－＝－， ∴－＝. (2)∵BD为直径， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∵△ABC的垂心为H， ∴AH⊥BC，CH⊥AB， ∴AH∥CD，AD∥CH. ∴四边形AHCD为平行四边形． ∴＝.∴＝＋＝＋＝＋＋＝＋＋，即－－＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$