2.2.2 向量的减法-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

2.2　向量的减法 　　求作两向量的和向量有两种方法:一是利用三角形法则,二是利用平行四边形法则。在数的运算中,减法是加法的逆运算。 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算及运算法则,理解向量减法的几何意义。 1.向量减法的定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量,即a-b=a+(-b)。 2.向量减法的几何意义 如图,给定向量a与b,作有向线段=a,=b,故-b=,则a-b=a+(-b)=+=+=,即如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是a-b。 微提醒 (1)两个向量的差仍是一个向量。(2)向量a,b的模与a-b的模之间满足不等式:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|(当且仅当a,b反向时有|a-b|=|a|+|b|,当且仅当a,b同向时有||a|-|b||=|a-b|)。 微思考 1.有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“长度相等”是多余的,对吗? 提示:不对,相反向量要从“模长”与“方向”两个方面去理解,不仅是方向相反,还必须长度相等。 2.代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立? 提示:含有向量的等式称为向量等式,在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式,移项法则对向量等式也是适用的。 　 类型一　向量减法运算及其几何意义 　　【例1】　(1)四边形ABCD中,若=a,=b,=c,则= (　　) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 解析　=-=(+)-=a+c-b。 答案　A (2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c。 第(1)题图　　　　第(2)题图 解　如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c。 　　求作两个向量差向量的2种思路:(1)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量。(2)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可 【变式训练】　如图所示,O是四边形ABCD内任一点,试根据图中给出的向量,确定a,b,c,d的方向(用箭头表示),使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d。 解　 因为a+b=,c-d=,所以a=,b=,c=,d=。如图所示,作平行四边形OBEC,平行四边形ODFA。根据平行四边形法则可得b-c=,a+d=。 类型二　向量减法的运算律 　　【例2】　化简下列式子: (1)---; (2)(-)-(-)。 解　(1)原式=+-=+=0。 (2)原式=--+=(-)+(-)=+=0。 　　向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量是以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点 【变式训练】　化简:(1)(-)-(-); (2)(++)-(--)。 解　(1)(-)-(-)=-=。 (2)(++)-(--)=+-+(+)=+-+=-+=++=+=0。 类型三　用已知向量表示未知向量 　　【例3】　 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量,,。 解　因为四边形 ACDE是平行四边形,所以==c,=-=b-a,故=+=b-a+c。 　　(1)用向量表示其他向量的方法:解决此类问题要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和三角形法则。必要时可以直接用向量求和的多边形法则。(2)表示向量时要考虑以下问题:它是某个平行四边形的对角线吗?是否可以找到由起点到终点的恰当途径?它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点 【变式训练】　如图所示,解答下列各题: (1)用a,d,e表示; (2)用b,c表示; (3)用a,b,e表示; (4)用c,d表示。 解　(1)=++=d+e+a=a+d+e。 (2)=-=--=-b-c。 (3)=++=a+b+e。 (4)=-=-(+)=-c-d。 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的应用 【典例】　已知||=10,||=7,则||的取值范围是　　　　。  【解析】　从题目中所给向量的起点与终点容易看出,所给向量与所求向量的关系为+=,然后根据向量的和的模与各向量模的和的关系,分为与是否共线两种情况,可以得出答案。 |||-|||≤||≤||+||, 即|10-7|≤||≤10+7, 即3≤||≤17。 【答案】　3≤||≤17 　　解答此题的关键是由题目中所给出的向量的起点与终点得出未知向量与已知向量的关系 1.-等于 (　　) A. B. C. D. 解析　根据向量的减法法则知-=。故选D。 答案　D 2. 如图,向量=a,=