2.2.1 向量的加法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

2.1　向量的加法 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：1.向量加法的平行四边形法则、三角形法则.2.利用向量加法的运算律进行向量运算． 教学难点：运用向量的加法解决实际问题． 知识点一　向量加法的定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法． 知识点二　平行四边形法则和三角形法则 (1)平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． (2)三角形法则 作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则． 若两个共线向量方向相同，则它们的和向量方向与原方向一致，大小为两个向量大小之和；若两个共线向量方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与模较大的向量一致，大小为两个向量大小差的绝对值． 互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 知识点三　向量加法的运算律 (1)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (2)交换律：a＋b＝b＋a． 求n个向量α1，α2，…，αn的和可以按以下步骤进行：任取一点O，依次作有向线段＝α1，＝α2，…，An－1An＝αn，即为这n个向量之和． 当然，也可以把n个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和． 1．两个向量的和仍是一个向量，联系物理学中力的合成、速度的合成有助于对向量加法的理解和掌握． 2．当a与b不共线时，两法则一致；当a与b共线时，平行四边形法则就不适用了．特别地，当b＝0时，a＋b＝a＋0＝a. 3．对任意两个向量a，b，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量相加结果可能是一个数量．(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　) (4)零向量与任一向量可以相加．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是(　　) A.＋ B.＋＋ C.＋＋ D.＋＋ (2)根据下图填空： a＋d＝________；e＋g＝________；b＋c＋d＝________；c＋d＋e＝________． (3)在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状是________． (4)若a表示向东走8 km, b表示向北走8 km，则|a＋b|＝________ km. 答案：(1)C　(2)f　h　f　0　(3)平行四边形 (4)8 题型一　已知向量作和向量 　如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c. [解]　如图，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c. 【感悟提升】　求和向量的方法 (1)利用三角形法则．在平面内任取一点，以该点为始点，将其中一向量的起点平移至该点，之后再将其他向量平移并首尾相接，从一个向量的始点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和． (2)利用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和． 【跟踪训练】 1.如图，已知正方形ABCD，＝a，＝b，＝c，试作向量a＋b＋c. 解：由已知得a＋b＝＋＝，又＝c，所以延长AC至E，使||＝||，则a＋b＋c＝，即为所求，如图． 题型二　向量的加法运算 　如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量： (1)＋； (2)＋； (3)＋. [解]　(1)因为ABCDEF是正六边形，O是中心，所以四边形OABC是平行四边形，于是＋＝. (2)因为ABCDEF是正六边形，所以＝＝＝，所以＋＝＋＝，即＋＝. (3)＋＝＋＝0. 【感悟提升】　结合图形，适当选择法则是解决此类问题的关键．向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 【跟踪训练】 2.在▱ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　　) A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝＋ D.＋＋＝ 答案：C 解析：因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋. 题型三　向量加法的运算律 　化简或计算： (1)(＋)＋＋； (2)＋＋＋＋＋. [解]　(1)(＋)＋＋＝(＋)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 【感悟提升】　向量加法运算的注意事项 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序相加． (2)运用向量求和的多边形法则(如图)． ＝＋＋＋…＋An－1An，特别地，当A1和An重合时，有＋＋＋…＋An－1An＝0. 【跟踪训练】 3．化简：(1)＋＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＋＝0. (2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 题型四　巧用向量解决实际问题 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)． [解]　(1)如图所示，表示船速，表示水速，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则表示船实际航行的速度． (2)在Rt△ABC中，||＝2，||＝5， 所以||＝＝＝≈5.4. 因为tan∠CAB＝，由计算器得∠CAB≈68°. 答：船实际航行的速度的大小约为5.4 km/h，方向与水的流速间的夹角约为68°. 【感悟提升】　向量的实际问题的本质是用向量的加法解决物理问题，一般步骤如下： (1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用三角形法则或平行四边形法则求向量的和； (3)利用直角三角形知识解决问题． 【跟踪训练】 4.如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小． 解：如图，作▱OACB， 使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，和分别表示两根绳子的拉力，则表示这两根绳子拉力的合力，则||＝300 N. 在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°， 则||＝||cos30°＝300×＝150(N)，||＝||sin30°＝300×＝150(N)， 则||＝||＝150(N)． 则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 1．给出下列命题： ①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同； ②△ABC中，必有＋＋＝0； ③若＋＋＝0，则A，B，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：①是假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；②是真命题；③是假命题，当A，B，C 三点共线时也可以有＋＋＝0；④是假命题，只有当a与b同向时，|a＋b|与|a|＋|b|才相等，其他情况均为|a＋b|<|a|＋|b|. 2．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|等于(　　) A．1 B．2 C．3 D. 答案：B 解析：＋＝，＋＝，于是|＋＋＋|＝2||＝2. 3.如图，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD的中点，则等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案：C 解析：如图，连接BD交EF于点M，连接MH，MG，则四边形AEMG和四边形MFCH都是平行四边形，所以＝，＝＝，则有＝＋＝＋.故选C. 4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)： (1)＋＝________； (2)＋＝________； (3)＋＋＝________． 答案：(1)　(2)　(3) 解析：如题图，易知四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则，得 (1)＋＝＋＝. (2)＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝. 5．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船的实际速度． 解：如图，设表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，则∠AOC＝30°，||＝5(km/h)． ∵四边形OACB为矩形，∴||＝＝5(km/h)，||＝＝＝10(km/h)． 即水流速度是5 km/h，船的实际速度为10 km/h. 课后课时精练 一、选择题 1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：向量求和时要注意交换律和结合律的灵活运用． 2．C，D为线段AB上两点满足|AC|＝|BD|，O为AB所在直线外一定点，连接OC，OD，则＋为(　　) A．模恒定、方向不定的向量 B．模不定、方向一定的向量 C．模和方向都一定的向量 D．模和方向都不定的向量 答案：C 解析：由题意，可得与是相反向量，则＋＝0，则＋＝＋＋＋＝＋，因为O为AB所在直线外一定点，所以＋的模和方向都一定．故选C. 3．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 答案：D 解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形． 4．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．2 答案：B 解析：由题可知＝，所以|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2. 5．(多选)已知点D，E，F分别是△ABC的边的中点，则下列等式中正确的是(　　) A.＋＝ B.＋＋＝0 C.＋＝ D.＋＝ 答案：ABC 解析：易知A，B正确；＋＝＝，故C正确，D错误．故选ABC. 二、填空题 6．向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________． 答案：20　4 解析：当a，b同向共线时，得最大值20；反向共线时，得最小值4. 7．设六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，O是它的中心，则＋＋＋＋＋＝______． 答案：0 解析：∵与，与，与分别是相反向量，∴＋＋＋＋＋＝0. 8．若点P为△ABC的外心，且＋＝，则三角形的内角C＝________． 答案：120° 解析：根据向量加法的平行四边形法则以及外心的条件，及＋＝，可知P在△ABC的外部(如图所示)．则||＝||＝||，AB⊥PC，AC＝BC＝AP＝PB＝PC，所以C＝120°. 三、解答题 9．化简： (1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解：(1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0. 10.已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，求F1和F2的合力． 解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝. 在△OCA中，|F1|＝24(N)，||＝12(N)，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°. ∴||＝12(N)． ∴F1与F2的合力为12 N，与F2成90°角竖直向上． 11.如图，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝AiAi＋1＝(i＝1，2，…，7)，bj＝OAj(j＝1，2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7. 解：因为＋＝0， 所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＝b6. 12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0. 证明：连接EF，由题意知＝＋，＝＋，＝＋，由题意可知＝，＝. 所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋＋)＋(＋)＝(＋＋＋＋)＋0＝＋＋＝＋＋＝0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$