2.1.2 向量的基本关系-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

1.2　向量的基本关系 (教师独具内容) 课程标准：1.理解相等向量和共线向量的含义.2.会表示两个平面向量的夹角． 教学重点：1.相等向量与共线向量的概念.2.两平面向量夹角的概念． 教学难点：相等向量与共线向量的应用． 知识点一　相等向量 (1)在数学中，相等向量是指它们的长度相等且方向相同．向量a与b相等，记作a＝b． (2)一条有向线段在平移过程中，虽然位置不同，但表示的是相等向量． 知识点二　共线向量 (1)若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b． (2)两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行． (3)若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量，相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a． (4)规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量． 知识点三　向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b． (2)规定零向量与任一向量垂直，即对于任意向量a，都有0⊥a． 1．理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． 2．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(非零向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量． 3．对共线向量的类型讨论，要考虑方向、长度和位置，尤其不能忘记对零向量的讨论． 4．向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．(　　) (2)向量与向量是相等向量．(　　) (3)共线的两个向量一定在一条直线上．(　　) (4)若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为150°.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)给出以下几种说法： ①向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有共同起点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中错误说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)下列说法正确的是(　　) A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．相反向量一定共线 D．共线向量是在同一条直线上的向量 (3)在等边三角形ABC中，与的夹角是________． 答案：(1)C　(2)C　(3)60° 题型一　相等向量与共线向量的含义 　给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②方向相同的两个向量是相等向量； ③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑥向量a与b不共线，向量b与c不共线，则a与c不共线． 其中假命题的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　①真命题． ②假命题．方向相同，长度不一定相等． ③真命题． ④假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反． ⑤假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行． ⑥假命题．向量a与c可以共线，如图． 故假命题的个数为4. [答案]　C 【感悟提升】　共线向量与相等向量的区别与联系 相等向量是指大小相等且方向相同的向量，共线向量是方向相同或相反的非零向量．相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．且相等向量具备传递性，而共线向量不具备传递性．共线向量也叫平行向量． 【跟踪训练】 1．给出下列命题： ①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量与是共线向量，则A，B，C三点共线； ③四边形ABCD是平行四边形，则一定有＝. 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：相等向量起点相同时，终点必相同，故①错误；因与共线且有公共点B，所以A，B，C三点必共线，故②正确；与同向且等长，则＝，③正确．故真命题的个数为2. 题型二　平面几何中的相等向量与共线向量 　如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝. 求证：＝. [证明]　∵＝， ∴||＝||且∥. ∴四边形ABCD为平行四边形． 从而＝， 又M，N分别是BC，AD的中点， 于是||＝||，||＝||， ∴||＝||， 又∥， ∴四边形AMCN是平行四边形． ∴＝. 【感悟提升】　要证两个向量相等，只要证得它们的模相等且方向相同即可．利用向量解决平面几何问题是向量作为工具的必然，其产生的目的也在于此． 【跟踪训练】 2．如图，在四边形ABCD中，＝且||＝||，则此四边形为________． 答案：菱形 解析：∵＝，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，∴平行四边形ABCD为菱形． 题型三　向量的夹角 　设O是正六边形ABCDEF的中心，指出如下各组向量的夹角． (1)与；(2)与；(3)与. [解]　(1)∵ABCDEF是正六边形， ∴与的夹角是∠DOE＝60°. (2)与的夹角是∠DOB＝120°. (3)∵＝， ∴与的夹角等于与的夹角，即∠DCB＝120°. 【感悟提升】　确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考察其角的大小，而不是简单地看成两条线段的夹角． 【跟踪训练】 3.在四边形ABCD中，＝，且||＝||，tan∠ADC＝，求与的夹角． 解：在四边形ABCD中，＝，∴AB綊DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵tan∠ADC＝，∴∠ABC＝∠ADC＝60°. 又||＝||，∴△ABC是等边三角形． ∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 即与的夹角为90°. 1．下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，则a与b共线 B．若a与b是平行向量，则a＝b C．若a＝0，b＝0，则a与b不同 D．共线向量方向必相同 答案：A 解析：平行向量的模可能不相等、方向相反，故B错误；a＝0，b＝0⇒a＝b，故C错误；共线向量方向可以相同也可以相反，D错误．故选A. 2．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则下列说法中正确的是(　　) A．有向线段与有向线段共线 B．有向线段与有向线段相同 C．有向线段与有向线段共线，||>|| D．有向线段与有向线段共线，比大 答案：C 解析：对于A，由题意知A，B，C三点不共线，所以有向线段，不可能共线，故A错误；对于B，由题意知有向线段和的大小相等、方向相同，但起点不同，故不是相同的有向线段，故B错误；对于C，有向线段与共线，有向线段只考虑长度时，可以比较大小，且||>||，故C正确；对于D，有向线段无法比较大小，故D错误．故选C. 3．下列命题正确的是(　　) A．|a|＝|b|⇒a＝b B．|a|>|b|⇒a>b C．a∥b⇒a＝b D．|a|＝0⇒a＝0 答案：D 解析：A中，两个向量的模相等，但是方向不一定相等，所以错误；B中，两个向量不能比较大小，所以错误；C中，向量平行只是方向相同或相反，不是向量相等，所以错误；D中，如果一个向量的模等于0，则这个向量是零向量． 4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)与向量相等的向量为________； (2)若||＝3，则向量的模等于________． 答案：(1)，　(2)6 解析：∵四边形ABCD和ABDE为平行四边形，∴＝，＝.∵＝，∴E，D，C三点共线，∴||＝2||＝2||＝6. 5．在平面直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标． (1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°； (2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°； (3)|a|＝4，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°. 解：如图所示． 课后课时精练 一、选择题 1．已知向量与向量共线，则下列关于向量的说法中，正确的是(　　) A．向量与向量一定同向 B．向量，向量，向量一定共线 C．向量与向量一定相等 D．以上说法都不正确 答案：B 解析：根据共线向量的定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，但方向不确定是同向还是反向，大小也不确定，故A，C，D错误，B正确．故选B. 2．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是(　　) A．CA B．A∩B＝{a} C．CB D．A∩B{a} 答案：B 解析：∵A∩B中还含有与a方向相反的向量，故B错误． 3．在平行四边形ABCD中，若向量与的夹角为90°，且∠ABC＝60°，则向量与的夹角为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 答案：D 解析：在平行四边形ABCD中，若向量与的夹角为90°，则⊥，故平行四边形ABCD是菱形，又∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，则向量与的夹角为120°.故选D. 4．设a，b是两个非零向量，e1，e2分别是a，b方向的单位向量，则下列命题正确的是(　　) A．若a∥b，则e1＝e2 B．若a∥b，则e1＝－e2 C．若|a|＝1，则a＝e1 D．若|a|＝|b|＝1，则e1＝e2或e1＝－e2 答案：C 解析：若a∥b，则a与b同向或反向，∴e1与e2同向或反向，∴A，B错误；若|a|＝|b|＝1，可知a＝e1，b＝e2，但不一定有e1＝e2或e1＝－e2，∴D错误．故选C. 5．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同 B．平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若m＝n，n＝k，则m＝k D．若a∥b，b∥c，则a∥c 答案：BC 解析：起点相同、终点相同的两个向量相等，但反之不成立，故A不正确；显然B，C正确；D中，若b＝0，则a与c就不一定平行，因此D不正确．故选BC. 二、填空题 6．下列命题中正确的是________． ①单位向量都相等； ②四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝； ③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 答案：② 解析：①不正确．单位向量模均相等且为1，但方向并不确定．很明显②正确．③不正确．点C是线段AB上的一点，则与共线，虽起点不同，但其终点却相同． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，设＝a，＝b，则与a相等的向量有________；与b相等的向量有________；与a平行的向量有________；与b共线的向量有________． 答案：　　，，，，　， 解析：两个向量相等要求大小相等，且方向相同，两者缺一不可． 8．给出以下四个条件： ①a＝b；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；④a与b都是单位向量． 其中能使a∥b成立的是________(填序号)． 答案：①②③ 解析：相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，②能使a∥b；零向量与任一向量平行，③能使a∥b；④不能使a∥b. 三、解答题 9.如图，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，分别找出符合下列条件的向量． (1)与，相等的向量； (2)与模相等的向量． 解：(1)＝＝，＝. (2)，，. 10.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，分别指出图中： (1)与向量相等的向量； (2)与向量平行的向量； (3)与向量模相等的向量； (4)与向量模相等、方向相反的向量． 解：(1)＝. (2)∥∥∥∥∥. (3)||＝||＝||＝||. (4)，与模相等、方向相反． 11．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边的中点，且△ABC的边长为2，连接BF，CD，EF. (1)试求||，||，||； (2)求向量与的夹角． 解：(1)因为E，F分别为边CB，CA的中点， 所以EF＝AB＝1，所以||＝1. 因为△ABC是等边三角形，F为边AC的中点，所以BF⊥AC. 在Rt△BFC中，由勾股定理， 得BF＝＝＝， 同理可得CD＝. 所以||＝，||＝. (2)易知∠FBC＝30°， 所以与的夹角为180°－30°＝150°. 12.如图，已知＝＝. 求证：(1)△ABC≌△A′B′C′； (2)＝，＝. 证明：(1)∵＝， ∴||＝||，且∥， ∴AA′綊BB′. ∴四边形AA′B′B是平行四边形， ∴||＝||. 同理||＝||，||＝||. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)由(1)知||＝||，∥， 且与的方向相同， ∴＝. 由(1)可知||＝||，∥， 且与的方向相同， ∴＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$