1.8 三角函数的简单应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

(教师独具内容) 课程标准：会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 教学重点：利用三角函数的图象和性质解决实际问题． 教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型． 知识点　三角函数模型的应用 应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．解决问题的一般程序是： (1)审题：先审清楚题目条件、要求，理解数学关系； (2)建模：分析题目条件(如周期性等)，选择适当三角函数模型； (3)求解：对所建立的三角函数模型进行分析研究，得到数学结论； (4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答． 运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． (2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，周期T＝，频率f＝.(　　) (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期．(　　) 答案：(1)√　(2)× 2．做一做 (1)某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 (2)如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 (3)电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流I为________． 答案：(1)C　(2)C　(3) A 题型一　利用已知三角函数模型解决问题 　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求： (1)开始时的电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． [解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V. (2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次获得最大值． 【感悟提升】　已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式结合题目中所提供的信息进行求解即可． 【跟踪训练】 1．在美国波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝3sin＋12，其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推． (1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？ (2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？ 解：(1)白昼时间最长的一天，即D(t)取得最大值的一天，此时t＝170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t＝353时，D(t)取得最小值，即12月20日白昼最短． (2)D(t)>10.5，即3sin＋12>10.5， 所以sin>－，t∈[0，365]， 所以49≤t<292，292－49＝243. 所以约有243天的白昼时间超过10.5小时． 题型二　建立三角函数模型解决实际问题 　如图，某游乐场的摩天轮的半径为50 m，圆心O距地面的高度为65 m．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30 min转动一圈．游客在摩天轮上的舱位转到距离地面最近的位置时进舱． (1)游客进入摩天轮的舱位，开始转动t min后，他距离地面的高度为h，求h关于t的函数解析式； (2)已知在距离地面超过40 m的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多长？ [解]　(1)如图，以摩天轮的圆心O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．设游客的位置为点P.因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30 min转动一圈，所以OP在t min内所转过的角为＝. 因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以以x轴非负半轴为始边，以OP为终边的角为－， 因此点P的纵坐标为50sin， 从而游客距离地面的高度 h＝50sin＋65＝65－50cos，t≥0. (2)令h＝65－50cos>40， 得cos<， 所以2kπ＋<<2kπ＋，k∈N，即30k＋5<t<30k＋25，k∈N，令k＝0，则5<t<25. 由于在距离地面超过40 m的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25－5＝20(min)． 【感悟提升】　解三角函数应用问题的基本步骤 【跟踪训练】 2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行活动？ 解：(1)由表中数据可画图． T＝12，所以ω＝. 由图可设y＝f(t)＝Acosωt＋b. 又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5； t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为， 函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)． (2)因为y＞1时，才对冲浪爱好者开放， 所以y＝cost＋1＞1，cost＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋(k∈Z)，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)． 又0≤t≤24， 所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24， 所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15. 1．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 答案：B 解析：由题意，知A＋2＝5，故A＝3.又该函数的周期T＝＝15(s)，所以ω＝＝.故选B. 2．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：函数y＝－sinx的周期T＝4，且x＝3时y取得最大值1，因此t≥7. 3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋) B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N＋) C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N＋) D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋) 答案：A 解析：解法一：令x＝3可排除D；令x＝7可排除B；由A＝＝2可排除C. 解法二：由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.∴f(x)＝2sin＋7.∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9，即sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝－.∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)． 4.如图所示是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________． 答案：y＝2sin 解析：设函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，由图象可知T＝2×(0.5－0.1)＝，∴ω＝＝，∴×0.1＋φ＝.∴φ＝.∴函数的解析式为y＝2sin. 5．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解：列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sin， 得s＝4sin＝2， 所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 课后课时精练 一、选择题 1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　) A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s 答案：D 解析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式，单摆来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期，∵ω＝2π，∴T＝＝1(s)． 2．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为时的电流强度为(　　) A．0 B．－5 C．10 D．－10 答案：A 解析：由图知I＝10sin.当t＝时，I＝10sin＝100sin6π＝0. 3.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　) 答案：C 解析：本题可采用特值法验证．P在P0点时，P点到x轴的距离d＝，此时t＝0，故排除A，D；由已知ω＝1，T＝＝2π，当P点到达P1点时，此时P点正好在x轴上，所以d＝0，此时经过t＝＝，故选C. 4．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方面积的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10000 9500 ？ 则此楼群在第三季度的平均单价大约是(　　) A．10000元 B．9500元 C．9000元 D．8500元 答案：C 解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，解得ω＝，φ＝0，即y＝500sinx＋9500，当x＝3时，y＝9000. 5.(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述正确的是(　　) A．R＝6，ω＝，φ＝－ B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减 D．当t＝20时，|PA|＝6 答案：ABD 解析：由题意得，R＝＝6，T＝60＝，∴ω＝.由一个水斗从点A(3，－3)出发，可知f(0)＝－3，∴－3＝6sinφ，sinφ＝－，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝－，A正确；由上可知，f(t)＝6sin，当t∈[35，55]时，t－∈，故点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；当t∈[10，25]时，t－∈，此时函数y＝f(t)不单调，C不正确；当t＝20时，t－＝，点P的纵坐标为6，此时P(0，6)，∴|PA|＝＝6，D正确． 二、填空题 6．用作调频无线电信号的载波以y＝asin(1.83×108πt)为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为______，频率为________． 答案：1.09×10－8　9.15×107 解析：T＝＝≈1.09×10－8，f＝＝9.15×107. 7．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若已知此振子的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的表达式为________． 答案：y＝3sin 解析：根据题意得A＝3，T＝，φ＝，则ω＝＝7，所以y＝3sin. 8．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示： t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为________． 答案：y＝4sin 解析：设y＝Asin(ωt＋φ)＋b，则A＝＝＝4.0，b＝＝0，ω＝＝＝，所以y＝4sin，将(0.4，4.0)代入上式，得φ＝－，从而可知y＝4sin. 三、解答题 9．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]． (1)求该地区这一段时间内的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？ 解：(1)由函数易知，当函数取得最大值时，x－＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝16k＋14，k∈Z. 又x∈[4，16]， ∴当x＝14时，函数取得最大值，此时最高温度为30 ℃. 当函数取得最小值时，x－＝2kπ－，k∈Z， 解得x＝16k＋6，k∈Z， 当x＝6时，函数取得最小值，此时最低温度为10 ℃， ∴最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃. (2)令10sin＋20＝15， 得sin＝－. ∵x∈[4，16]， ∴x＝. 令10sin＋20＝25，得sin＝. ∵x∈[4，16]，∴x＝. 故该细菌能存活的最长时间为－＝(时)． 10．某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)． (1)根据图中数据求函数解析式； (2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？ 解：(1)由图象可知ymax＝900，ymin＝700， 且A＋b＝ymax，－A＋b＝ymin， 所以A＝＝＝100， b＝＝800， 且T＝12＝，所以ω＝. 将(7，900)看作函数图象的第二个特殊点， 得×7＋φ＝.所以φ＝－. 因此所求的函数解析式为y＝100sin＋800. (2)由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰， 又＝＝6. 所以从7月1日开始，每隔6天种群数量就出现一个低谷或一个高峰． 11．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　) A．y＝12＋3sint，t∈[0，24] B．y＝12＋3sin，t∈[0，24] C．y＝12＋3sint，t∈[0，24] D．y＝12＋3sin，t∈[0，24] 答案：A 解析：对表中数据作近似处理，得下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15 12 9 12 15 12 9 12 可见k＝12，A＝3，且T＝12，所以ω＝. 又t＝3时，y＝15，代入选项检验得正确答案为A. 12．少林寺作为国家5A级旅游景区，每年都会接待大批游客．在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物？ 解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π)，其中x＝1，2，…，12. 根据①，可知这个函数的周期是12； 由②，可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200； 由③，可知f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500. 根据上述分析可得＝12，故ω＝，A＝200，B＝500－200＝300. 当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大， 故sin＝－1，且sin＝1. 又|φ|<π，故φ＝－. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为f(x)＝200sin＋300(x＝1，2，…，12)． (2)由条件，可知200sin＋300≥400， 化简得sin≥， 即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z. 因为x∈N＋，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10. 即客栈在6，7，8，9，10月份要准备400份以上的食物． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$