1.7.3 正切函数的图象与性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

7.3　正切函数的图象与性质 (教师独具内容) 课程标准：1.能画出正切函数的图象.2.了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正切函数在上的性质． 教学重点：1.画正切函数的图象.2.正切函数的性质． 教学难点：利用正切函数的性质解决问题． 知识点一　正切函数的图象 (1)正切函数的图象 (2)正切函数的图象称作正切曲线． (3)正切函数的图象特征 正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线称作正切曲线各支的渐近线． 知识点二　正切函数的性质 (1)正切函数的性质 函数 y＝tanx 定义域 值域 R 周期性 周期是kπ，k∈Z，k≠0，最小正周期是π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增 (2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是． (1)画函数y＝tanx，x∈的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点，(0，0)，，再画两条平行的虚线x＝－，x＝，最后连线．这两条虚线实质是正切函数图象的两条渐近线． (2)虽然正切函数y＝tanx在(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)正切函数在整个定义域上单调递增．(　　) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　) (4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)y＝tanx(　　) A．在整个定义域上单调递增 B．在整个定义域上单调递减 C．在每一个开区间(k∈Z)上单调递增 D．在每一个闭区间(k∈Z)上单调递增 (2)y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. (3)函数y＝2tan的最小正周期是________． (4)函数y＝tan的单调增区间为________． 答案：(1)C　(2)D　(3)　(4)(k∈Z) 题型一　与正切函数有关的定义域、值域问题 　(1)求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域． [解]　函数y＝＋lg (1－tanx)有意义， 等价于 解得0≤tanx<1. 由正切曲线可得kπ≤x<kπ＋，k∈Z. 所以原函数的定义域为. (2)求函数y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈的值域． [解]　函数y＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ(k∈Z)的值域为R，而在每一个单调区间上都是增函数，据此可求函数的值域． 由x∈，得tanx∈[1，]． 所以y＝－tan2x＋10tanx－1＝－(tanx－5)2＋24. 当tanx＝1时，y有最小值8； 当tanx＝时，y有最大值10－4. 故函数的值域为[8，10－4]． 【感悟提升】　 1．确定正切函数定义域的关键点 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 2．解形如tanx>a的不等式的步骤 3．求与正切函数有关的值域问题时应注意的两个问题 (1)注意函数的定义域，在定义域内求值域． (2)由正切函数复合成的函数求值域时，常用换元法，但应注意新“元”的范围． 【跟踪训练】 1．(1)函数y＝的定义域是____________． 答案：，k∈Z 解析：由题意得tanx－1≥0，即tanx≥1＝tan，由于正切函数在单调区间内是增函数，则在内有≤x<，则函数的定义域是，k∈Z. (2)若x∈时，k＋tan的值总不大于零，求实数k的取值范围． 解：∵x∈，∴≤2x≤. ∴0≤2x－≤，∴0≤tan≤， 又对任意x∈，都有k＋tan≤0， 只需k≤即可，∴k≤－. 题型二　正切函数的周期问题 　函数y＝tan的最小正周期是(　　) A. B. C．π D．2π [解析]　函数y＝tan的最小正周期T＝. [答案]　B 【感悟提升】　求有关正切函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求正切函数的周期，可直接对解析式变形，关键是抓住自变量“x”增加多少，函数值重复出现，进而得到周期． (2)图象法：画出图象，借助于图象写出函数周期． (3)公式法：函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝. 【跟踪训练】 2．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数f(x)＝tan(ω>0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2024相交于A，B两点，且|AB|＝2，则f＝(　　) A. B.－ C.－3 D．－－3 答案：A 解析：∵|AB|＝2，故f(x)的最小正周期为2，∴＝2，即ω＝.∴f(x)＝tan，故f＝tan＝tan＝. 题型三　正切函数的奇偶性问题 　试判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|； (2)f(x)＝x2tanx－sin2x. [解]　(1)因为该函数的定义域是，关于原点对称，且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数． (2)因为函数f(x)的定义域是，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 【感悟提升】　具有奇偶性的函数，定义域关于原点对称，所以若函数的定义域不能关于原点对称，它一定是非奇非偶函数． 【跟踪训练】 3．函数y＝的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 答案：A 解析：要使函数y＝有意义，必须使即x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π，k∈Z.∴函数y＝的定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝＝－f(x)．∴函数y＝为奇函数． 题型四　正切函数的单调性问题 　(1)求函数y＝tan的单调区间． [解]　y＝tan＝－tan，则由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间． (2)比较tan1，tan2，tan3的大小． [解]　∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)， 又<2<π，∴－<2－π<0. ∵<3<π，∴－<3－π<0， 显然－<2－π<3－π<1<，且y＝tanx在上是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan1， 即tan2<tan3<tan1. 【感悟提升】　 (1)求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，只需令kπ－<ωx＋φ<kπ＋(k∈Z)解出x即可，但ω<0时，应用诱导公式化为正的，还要注意A的正负对单调性的影响． (2)比较两个同名函数值的大小，应转化到同一单调区间上来比较．对不同名的三角函数，应先化为同名的． 【跟踪训练】 4．(1)求下列函数的单调区间： ①y＝tan；②y＝tan2x＋1. 解：①由－＋kπ<x－<＋kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ<x<＋kπ(k∈Z)， ∴函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)． ②令－＋kπ<2x<＋kπ(k∈Z)， ∴－＋<x<＋(k∈Z)， ∴函数y＝tan2x＋1的单调递增区间是(k∈Z)． (2)比较tan与tan的大小． 解：tan＝tan＝tan＝－tan， tan＝tan＝tan＝－tan， 因为0<<<且y＝tanx在上单调递增， 所以tan<tan，所以－tan>－tan， 所以tan>tan. 题型五　正切函数图象与性质的综合应用 　设函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． [解]　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)， 得x≠＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)的定义域是. 因为ω＝， 所以最小正周期T＝＝＝2π. 由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，得 －＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间． (2)由－1≤tan≤， 得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)． 所以不等式－1≤f(x)≤的解集是. 【感悟提升】　考查正切函数的性质，主要有五个方面：①定义域；②值域；③周期性；④奇偶性；⑤单调性． 【跟踪训练】 5．(1)画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调性． 解：由y＝|tanx|＋tanx知 y＝(k∈Z)． 其图象如图所示． 函数的主要性质为 ①定义域：； ②值域：[0，＋∞)；③周期：T＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数； ⑤单调性：单调增区间为，k∈Z. (2)根据正切函数的图象，写出下列不等式的解集． ①tanx≥－1；②tan2x≤－1. 解：作出y＝tanx的图象，如图所示． ①∵tanx≥－1，tan＝－1，在内，满足条件的x为－≤x<，由正切函数的图象可知，满足此不等式的x的取值集合为. ②在内，tan＝－1. ∴不等式tan2x≤－1的解集由不等式kπ－<2x≤kπ－(k∈Z)确定． 解得－<x≤－(k∈Z)． ∴不等式tan2x≤－1的解集为. 1．函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：x－≠＋kπ，k∈Z，∴x≠＋kπ，k∈Z. 2．sin2cos3tan4的值为(　　) A．负数 B．正数 C．0 D．不存在 答案：A 解析：先确定角2，3，4的终边所在的象限．∵<2<π，∴sin2>0.∵<3<π，∴cos3<0.∵π<4<，∴tan4>0.∴sin2cos3tan4<0，故选A. 3．函数y＝－2tan在区间上的值域为________． 答案： 解析：∵x∈，∴x＋∈， ∴tan∈.∴函数在区间上的值域为. 4．函数y＝3tan的单调区间为________． 答案：(k∈Z) 解析：y＝3tan＝－3tan，由－＋kπ<2x－<kπ＋(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)． 5．比较下列正切值的大小： (1)tan1320°与tan70°； (2)tan与tan. 解：(1)tan1320°＝tan(3×360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°， 因为当0°<x<90°时，函数y＝tanx单调递增，且0°<60°<70°<90°， 所以tan60°<tan70°，所以tan1320°<tan70°. (2)tan＝tan＝tan， 因为函数y＝tanx在上单调递增，且－<－<－<， 所以tan>tan， 即tan>tan. 课后课时精练 一、选择题 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由tanx≠0，得x≠kπ，k∈Z，又x≠kπ＋，k∈Z，2x≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ且x≠kπ＋且x≠＋，k∈Z，∴x≠，k∈Z. 2．函数f(x)＝sinxtanx(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案：B 解析：f(x)＝sinxtanx的定义域为，定义域关于原点对称，因为f(－x)＝sin(－x)tan(－x)＝sinxtanx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．故选B. 3．已知函数y＝tanωx在上单调递减，则(　　) A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1 答案：B 解析：由已知可得ω<0，且≥π，∴|ω|≤1，即－1≤ω<0. 4．函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　) 答案：A 解析：f(x＋2π)＝tan＝tan＝f(x)，∴函数的周期为2π，排除B，D.令tan＝0，－＝kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)，若k＝0，则x＝，即图象过点.故选A. 5．(多选)已知函数f(x)＝tan在上单调递增，则m可能的取值为(　　) A. B. C. D. 答案：ABC 解析：令kπ－<x＋<kπ＋(k∈Z)，解得kπ－<x<kπ＋(k∈Z)，故f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，令k＝1，得一个单调递增区间为，要想函数f(x)＝tan在上单调递增，则<m≤，所以，，满足要求，不满足要求．故选ABC. 二、填空题 6．比较大小：tan________tan. 答案：< 解析：tan＝tan，tan＝tan，又y＝tanx在上是增函数，所以tan<tan，即tan<tan. 7．函数y＝2tan－5的单调递增区间是______． 答案：(k∈Z) 解析：令kπ－<3x＋<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋，k∈Z. 8．已知f(x)＝asin2x＋btanx＋1，且f(－2)＝4，那么f(2＋π)＝________． 答案：－2 解析：令g(x)＝f(x)－1，易知g(x)为奇函数并且周期为π，从而f(－2)－1＝3⇒f(2)－1＝－3，由函数周期为π，所以f(2＋π)－1＝f(2)－1＝－3⇒f(2＋π)＝－3＋1＝－2. 三、解答题 9．根据正切函数的图象，写出使不等式3＋tan2x≥0成立的x的取值集合． 解：如图所示，在同一坐标系中画出函数y＝tanx，x∈的图象和直线y＝－. 由图得，在区间内，不等式tanx≥－的解是－≤x<. ∴在内， 不等式tanx≥－的解是kπ－≤x<kπ＋(k∈Z)． 令kπ－≤2x<kπ＋(k∈Z)， 得－≤x<＋(k∈Z)， 即使不等式3＋tan2x≥0成立的x的取值集合是(k∈Z)． 10．求函数f(x)＝|tanx|的定义域与值域，并作其图象，并根据图象判定其奇偶性、周期性及单调性． 解：f(x)＝k∈Z. 可知函数的定义域为，值域为[0，＋∞)，其图象如图所示． 由图象知y＝|tanx|是偶函数，周期为π，单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)． 11．若tanα＝tanβ，且满足α<β，则β－α的最小值为________． 答案：π 解析：y＝tanx的周期为π，且在区间(k∈Z)上单调递增，由于tanα＝tanβ，故β－α＝kπ，k∈Z.又α<β，故β－α的最小值为π. 12．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，θ∈. (1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)若函数f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围． 解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝－. ∵x∈[－1，]， ∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－，当x＝－1时，f(x)取得最大值，为. (2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tanθ. ∵函数f(x)在区间[－1，]上是单调函数， ∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－. ∵θ∈， ∴θ的取值范围是∪. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$