1.7.3正切函数的图象与性质导学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

《正切函数的图象与性质》导学案 一、学习目标 1、 理解正切函数的定义，像个小侦探一样准确无误地指出正切函数的表达式。 2、 熟练掌握正切函数的图象绘制方法，就像画家能轻松画出自己心中的美景一样。 3、 深入探究正切函数的奇偶性，能像个小专家一样对其奇偶性特点说得头头是道。 4、 能够运用正切函数的奇偶性解决一些简单的数学问题，就像武林高手运用武功秘籍解决江湖纷争一样。 二、学习重难点 （一）重点 1、 正切函数图象的绘制。 2、 正切函数奇偶性的判断与证明。 （二）难点 1、 从正切函数图象特征理解其奇偶性。 2、 运用正切函数奇偶性解决复杂一点的数学问题。 三、学习过程 （一）知识回顾（5分钟） 1、 咱们先来复习一下正切函数的定义。同学们，正切函数是怎么来的呢？在一个直角三角形中，对于一个锐角，它的正切值是对边与邻边的比值。在平面直角坐标系中，对于角\(x\)（\(x eq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)），正切函数\(y = \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)。大家可别小看这个定义，这可是我们探索正切函数图象和性质的基础哦。 2、 再回忆一下正弦函数和余弦函数的图象是怎么画出来的呢？我们当时用了好多巧妙的方法呢，那对于正切函数，我们能不能从之前的经验里找到灵感呢？ （二）正切函数图象的绘制（15分钟） 1、 同学们，要画出正切函数\(y = \tan x\)的图象，我们可以采用一种很有趣的方法。首先，我们把圆的右半圆分成好多等份，比如说分成8等份。然后呢，我们要利用正切线来帮忙。 2、 正切线是什么呢？对于角\(x\)，在单位圆中，我们可以找到一条有向线段，这条线段就是正切线啦。我们把正切线平移并且描点，就像把一个个小珠子按照规律放在绳子上一样。最后，再用光滑的曲线把这些点连接起来。 3、 因为正切函数是周期函数，它的最小正周期是\(\pi\)，所以我们把得到的这部分图象向左、向右平移，这样就得到了正切函数完整的图象啦。这个图象很特别哦，它是被相互平行的直线\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)所隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线就是正切曲线各支的渐近线。 （三）正切函数奇偶性的探究（20分钟） 1、 那什么是奇偶性呢？对于函数\(y = f(x)\)，如果\(f(x)=f(x)\)，那这个函数就是偶函数；如果\(f(x)= f(x)\)，这个函数就是奇函数。现在我们来看看正切函数\(y = \tan x\)的奇偶性。 2、 我们来计算一下\(\tan(x)\)，根据正切函数的定义\(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)。大家都知道\(\sin(x)=\sin x\)，\(\cos(x)=\cos x\)，所以\(\tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)。哈哈，这不就符合奇函数的定义嘛。所以正切函数\(y = \tan x\)是奇函数。 3、 从图象上来看呢，正切函数的图象关于原点对称，这也能体现出它是奇函数的特性。就像一个图形沿着原点对折，两边能完全重合一样。 （四）正切函数奇偶性的应用（20分钟） 1、 我们来看一个简单的例子。已知\(f(x)=\tan(x + a)\)是奇函数，那我们能得到什么结论呢？因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)= f(x)\)，也就是\(\tan(x + a)=\tan(x + a)\)。根据正切函数的性质\(\tan(x)=\tan x\)，我们可以得到\(x + a=(x + a)+k\pi(k\in Z)\)，然后解这个方程就能求出\(a\)的值啦。 2、 再来看一个稍微复杂一点的。如果\(y = \tan x\)在区间\((\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上的值域是\((\infty,+\infty)\)，那\(y = \tan(x)\)在区间\((\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上的值域是多少呢？因为\(\tan(x)=\tan x\)，所以\(y = \tan(x)\)的值域就是\((\infty,+\infty)\)的相反数，也就是\((\infty,+\infty)\)。 （五）课堂练习（20分钟） 1、 判断下列函数的奇偶性： \(y = \tan(2x)\)。 \(y=\tan(x+\frac{\pi}{4})\)。 \(y = \tan(x^{2})\)。 答案： 对于\(y = \tan(2x)\)，\(f(x)=\tan(2x)=\tan(2x)= f(x)\)，所以它是奇函数。 对于\(y=\tan(x+\frac{\pi}{4})\)，\(f(x)=\tan(x+\frac{\pi}{4})=\tan(x \frac{\pi}{4}) eq f(x)\)且\(f(x) eq f(x)\)，所以它既不是奇函数也不是偶函数。 对于\(y = \tan(x^{2})\)，\(f(x)=\tan((x)^{2})=\tan(x^{2})=f(x)\)，所以它是偶函数。 2、 已知\(y = \tan x\)在\((\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上单调递增，且\(f(x)=\tan(x + b)\)是奇函数，\(b\in(0,\pi)\)，求\(b\)的值。 答案：因为\(f(x)=\tan(x + b)\)是奇函数，所以\(f(x)= f(x)\)，即\(\tan(x + b)=\tan(x + b)\)，则\(x + b=(x + b)+k\pi(k\in Z)\)，化简得\(2b = k\pi(k\in Z)\)。又因为\(b\in(0,\pi)\)，所以当\(k = 1\)时，\(b=\frac{\pi}{2}\)。 （六）课堂小结（5分钟） 1、 今天我们一起探索了正切函数的图象和奇偶性。首先我们学会了正切函数图象的绘制方法，就像学会了一种新的绘画技巧。 2、 然后我们深入了解了正切函数的奇偶性，从定义、计算和图象三个方面都进行了探究。就像从不同的角度观察一个神秘的宝藏，把它的特点都摸得清清楚楚。 3、 在应用部分，我们看到了正切函数奇偶性在解决数学问题中的威力。希望同学们都能像小数学家一样，熟练掌握这些知识，以后在数学的海洋里畅游。 （七）课后作业 1、 画出函数\(y = \vert\tan x\vert\)的图象，并判断其奇偶性。 2、 已知函数\(y = \tan(ax + b)\)（\(a eq0\)）是奇函数，求\(a\)和\(b\)满足的条件。 3、 探究正切函数奇偶性在实际生活中的应用，找一个例子并详细分析。 学科网（北京）股份有限公司 $$