1.4.4 诱导公式与旋转-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

4.4　诱导公式与旋转 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式. 教学重点：1.诱导公式的推导.2.诱导公式的运用． 教学难点：由单位圆的对称性推导出诱导公式的过程． 知识点一　角的旋转 1．锐角α的终边绕点O沿逆时针方向旋转，得到α＋的终边，如图a. 2．锐角α的终边绕点O沿顺时针方向旋转，得到α－的终边，如图b. 知识点二　诱导公式 1．sin＝cosα，cos＝－sinα． 2．sin＝－cosα，cos＝sinα，sin＝cosα，cos＝sinα． 准确记忆诱导公式 1．学习了本部分知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号． 2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀可为“奇变偶不变，符号看象限”． 注意：公式中把“α”看作锐角，实际上角α可以是任意角． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角－α与角α的终边关于y轴对称．(　　) (2)若α是第四象限的角，则cos的符号为负．(　　) (3)sin＝－sinα.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)已知sin＝，那么cosα＝(　　) A．－ B．－ C. D. (2)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为(　　) A．－ B. C. D．－ (3)化简：sin＝________． 答案：(1)C　(2)A　(3)－cosα 题型一　求值问题 　(1)已知sin＝－，则cos等于(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　题目中的角不是的整数倍，不能直接用公式求解，我们发现＋α与－α的和刚好等于，能用广义的角的余弦等于它的余角的正弦．故cos＝cos＝sin＝－. [答案]　C (2)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值． [解]　因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P，所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－， 所以sinα＝，cosα＝－，所以原式＝＝－·＝×＝2. 【感悟提升】　常见的互余关系式 运用公式解决问题的关键是发现互余关系，常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，记住这些结论有时会给我们带来意想不到的方便． 【跟踪训练】 1．(1)已知sin＝，则cos的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 解析：由sin＝，得sin＝－，∵＋＝，∴cos＝sin＝－. (2)已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－4 答案：A 解析：由点P(1，3)在角α的终边上，可得sinα＝，cosα＝.故＝＝－. 题型二　化简问题 　　　化简：. [解]　原式＝ ＝＝－. 【感悟提升】　利用诱导公式，可对任意角的正、余弦函数进行转化，使用时应注意的问题是：一是符号问题，二是函数名称问题．首先记住公式，并在解题过程中去理解和掌握．本题主要考查学生的推理运算能力及转化思想的应用． 【跟踪训练】 2．化简：. 解：原式＝ ＝＝－. 题型三　证明问题 　(1)已知f(cosx)＝cos17x，求证：f(sinx)＝sin17x. [证明]　利用已知条件和诱导公式，有 f(sinx)＝f＝cos＝cos＝cos＝sin17x. (2)对于怎样的整数n，才能由f(sinx)＝sinnx推出f(cosx)＝cosnx? [解]　f(cosx)＝f＝sin＝sin ＝故当n＝4k＋1(k∈Z)时，才有f(cosx)＝cosnx成立． 【感悟提升】　当三角函数式中含有参变量，使用三角函数求值或化简时不能确定选取的诱导公式时，应对参变量分类讨论． 【跟踪训练】 3．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，证明： (1)cosA＝－cos(B＋C)； (2)sin＝cos. 证明：(1)∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－B－C， ∴cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)． (2)∵A＋B＋C＝π，∴＝－， ∴sin＝sin＝cos. 1．已知sin40°＝a，则cos50°等于(　　) A．±a B．－a C．a D. 答案：C 解析：cos50°＝sin(90°－50°)＝sin40°＝a. 2．若cos(π＋α)＝－，则sin等于(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：B 解析：∵cos(π＋α)＝－，∴cosα＝.∴sin＝cosα＝. 3．化简cos(π＋α)sin＋sincos(π＋α)＝________． 答案：0 解析：原式＝(－cosα)(－cosα)＋cosα(－cosα)＝cos2α－cos2α＝0. 4.＝________． 答案： 解析：原式＝＝. 5．如果cosα＝，且α是第四象限的角，求cos. 解：∵cosα＝，且α是第四象限的角，∴sinα＝－.∴cos＝cos＝－cos＝sinα＝－. 课后课时精练 一、选择题 1．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：D 解析：由题意，得－sinα－sinα＝a，即sinα＝－.cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝. 2．在△ABC中，若cos＝，则sin的值为(　　) A．± B．± C. D. 答案：D 解析：在△ABC中，A＋B＝π－C，则＝－，则cos＝cos＝sin＝.故选D. 3．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝(　　) A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 答案：C 解析：f(cosx)＝f＝3－cos＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.故选C. 4．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的一个根，则 的 值是(　　) A. B．－ C．± D．－ 答案：C 解析：由题意，得sinα＝－，sinα＝2(舍去)，所以cosα＝±，原式＝－＝±. 5．(多选)在△ABC中，下列各式正确的是(　　) A．sin＝cos B．sin(2A＋2B)＝－cos2C C．sin(A＋B)＝－sinC D．sin(A＋B)＝sinC 答案：AD 解析：∵A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，∴sin＝cos，sin(2A＋2B)＝－sin2C，sin(A＋B)＝sinC，∴B，C均不正确，A，D正确．故选AD. 二、填空题 6．已知f(cosx)＝cos15x，则f(sin10°)＝________． 答案：－ 解析：∵sin10°＝sin(90°－80°)＝cos80°，∴f(sin10°)＝f(cos80°)＝cos(15×80°)＝cos(3×360°＋120°)＝－cos60°＝－. 7．若sin(3π＋α)＝－，则cos＝________． 答案：－ 解析：由sin(3π＋α)＝－sinα＝－，得sinα＝，所以cos＝－sinα＝－. 8．角α＋的终边经过点(－3，4)，则sin＋cos＝________． 答案：－ 解析：由条件知cos＝－，sin＝，所以sin＋cos＝sin＋cos＝－sin－sin＝－cos－sin＝－＝－. 三、解答题 9．化简： (1)＋； (2)＋ . 解：(1)∵sin＝cosα，cos＝sinα， cos(π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα， cos＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα， ∴原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0. (2)∵sin(3π－α)＝sinα，sin(π－α)＝sinα， cos(3π－α)＝－cosα， sin＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα， cos＝cos＝cos＝sinα， sin＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα， ∴原式＝＋＝＋＝. 10．已知cos＝，求＋的值． 解：由cos＝，得sinθ＝. 原式＝＋＝＋＝＝＝. 11．已知集合M＝，集合N＝，那么M与N之间的关系是(　　) A．MN B．NM C．M∩N＝∅ D．M＝N 答案：D 解析：∵M＝{2，－2，－1，1}，N＝＝{2，－2，－1，1}，∴M＝N. 12．在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A.将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β. (1)求sinβ，cosβ； (2)求的值． 解：(1)＋y＝1，α为锐角，故y0>0， 解得y0＝，所以sinα＝，cosα＝， 所以sinβ＝sin＝cosα＝， cosβ＝cos＝－sinα＝－. (2) ＝＝ ＝＝－. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$