1.4.3 诱导公式与对称-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

4.3　诱导公式与对称 (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(－α，α±π，π－α的正弦、余弦)． 教学重点：1.角α与－α的正弦函数、余弦函数关系.2.角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系.3.角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系． 教学难点：由单位圆的对称性推导出诱导公式(α±π的正弦、余弦)的过程． 知识点一　角的对称 (1)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图a. (2)角α±π的终边与角α的终边关于原点对称，如图b. (3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图c. 知识点二　诱导公式 (1)sinα，cosα与sin(－α)，cos(－α)的关系： sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα． (2)sinα，cosα与sin(α±π)，cos(α±π)的关系： sin(α＋π)＝－sinα，sin(α－π)＝－sinα，cos(α＋π)＝－cosα，cos(α－π)＝－cosα． (3)sinα，cosα与sin(π－α)，cos(π－α)的关系： sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα． 1．公式中的角α可以是任意角． 2．以上公式可用“函数名不变，符号看象限”记忆．其中“函数名不变”是指等式两边的正、余弦函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是取负值．如sin(π＋α)，若将α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用诱导公式sin(α＋π)＝－sinα和cos(α＋π)＝－cosα可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．(　　) (2)利用诱导公式sin(－α)＝－sinα和cos(－α)＝cosα可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．(　　) (3)利用诱导公式sin(π－α)＝sinα和cos(π－α)＝－cosα可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．(　　) (4)诱导公式中的角α只能是锐角．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)sin的值是(　　) A．－ B．－2 C．2 D. (2)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________． (3)下列数中，与cos850°相等的是________． ①cos50°；②－cos50°；③sin50°；④－sin50°. 答案：(1)A　(2)0　(3)② 题型一　给角求值问题 　求值：(1)sin；(2)cos(－945°)． [解]　(1)解法一：sin＝－sin ＝－sin＝－sin＝－sin ＝sin＝. 解法二：sin＝sin ＝sin＝sin＝sin＝. (2)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－. 【感悟提升】　诱导公式求三角函数值的步骤 ―→ 【跟踪训练】 1．求下列三角函数的值： (1)cos1680°；(2)sin. 解：(1)cos1680°＝cos(1440°＋240°)＝cos240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－. (2)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝－sin＝sin＝. 题型二　给值求值问题 　已知cos(π＋α)＝－，求下列各式的值： (1)sin(2π－α)＋cos(nπ＋α)－sin(π＋α)(n∈Z)； (2)(n∈Z)． [解]　因为cos(π＋α)＝－， 所以cosα＝. (1)sin(2π－α)＋cos(nπ＋α)－sin(π＋α)＝－sinα＋cos(nπ＋α)－(－sinα)＝cos(nπ＋α)． 当n＝2k(k∈Z)时，原式＝cos(2kπ＋α)＝cosα＝； 当n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos(2kπ＋π＋α)＝cos(π＋α)＝－. 所以原式的值为或－. (2)当n＝2k(k∈Z)时， 原式＝ ＝＝＝－cosα＝－. 当n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝ ＝＝ ＝cosα＝. 所以原式的值为－或. 【感悟提升】　解决条件求值问题的常见思路 分别将已知条件和所求问题(代数式等)进行化简，寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找到角与角之间的联系后，可以通过已知角的三角函数值和有关的三角公式求得．求值过程中注意角的范围． 【跟踪训练】 2．已知cos＝，则cos的值为________． 答案：－ 解析：cos＝cos＝－cos＝－. 题型三　化简问题 　化简：cos＋cos，其中k∈Z. [解]　解法一：当k＝2n，n∈Z时， 原式＝cos＋cos ＝cos＋cos ＝cos＋cos＝2cos； 当k＝2n＋1，n∈Z时，原式＝cos＋cos＝cos＋cos＝－cos－cos＝－2cos. 综上，原式＝2·(－1)kcos. 解法二：原式＝cos＋cos＝2cos ＝ ＝2·(－1)kcos. 【感悟提升】　利用诱导公式化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变． 【跟踪训练】 3．设k为整数，化简：. 解：解法一：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝ ＝＝ ＝－1； 当k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)， 原式＝ ＝＝＝－1. 所以原式＝－1. 解法二：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ， [(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ， 得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)， cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)， sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)． 故原式＝＝－1. 1．sin(－2370°)的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：C 解析：sin(－2370°)＝sin(－7×360°＋150°)＝sin150°＝sin30°＝. 2．设cos(π＋α)＝－，<α<2π，则sin(2π－α)等于(　　) A．－ B. C. D．± 答案：B 解析：由cos(π＋α)＝－，得－cosα＝－，所以cosα＝，又<α<2π，所以α＝.所以sin(2π－α)＝sin＝sin＝.故选B. 3．(多选)如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的是(　　) A．sinα＝sinβ B．sinα＝－sinβ C．cosα＝cosβ D．cosα＝－cosβ 答案：AD 解析：由诱导公式得A，D正确． 4．函数f(x)＝cos(x∈Z)的值域是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为x∈Z，角为，所以x可以分为三类：x＝3k，3k＋1，3k＋2(k∈Z)．当x＝3k时，f(x)＝cos＝coskπ＝±1；当x＝3k＋1时，f(x)＝cos＝cos＝±；当x＝3k＋2时，f(x)＝cos＝cos＝±，故f(x)＝cos(x∈Z)的值域是. 5．化简：. 解：原式＝＝＝1. 课后课时精练 一、选择题 1．sin(－1920°)等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 解析：sin(－1920°)＝sin(360°×6－1920°)＝sin240°＝sin(360°－120°)＝－sin120°＝－sin60°＝－.故选D. 2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　) A．－ B. C．± D. 答案：B 解析：由sin(π＋α)＝，得sinα＝－，而cos(α－2π)＝cosα，且α是第四象限角，所以cosα＝. 3．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos360°等于(　　) A．0 B．2 C．－2 D．1 答案：A 解析：利用诱导公式cos(180°＋α)＝－cosα可得cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos360°＝(cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos180°)＋(cos181°＋cos182°＋cos183°＋…＋cos360°)＝(cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos180°)－(cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos180°)＝0. 4．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，则的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：B 解析：由已知得sinα＝－2cosα，∴＝＝＝－. 5．(多选)已知函数f(x)＝cos，则下列四个等式中正确的是(　　) A．f(2π－x)＝－f(x) B．f(2π＋x)＝f(x) C．f(－x)＝－f(x) D．f(4π＋x)＝f(x) 答案：AD 解析：f(2π－x)＝cos＝cos＝－cos＝－f(x)，∴A正确；f(2π＋x)＝cos＝cos＝－cos＝－f(x)，∴B不正确；f(－x)＝cos＝cos＝f(x)，∴C不正确；f(4π＋x)＝cos＝cos＝cos＝f(x)，∴D正确． 二、填空题 6.＝________． 答案：0 解析： ＝ ＝＝ ＝＝0. 7．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2023)＝6，则f(2024)＝________． 答案：2 解析：由题意得，f(2023)＝asin(2023π＋α)＋bcos(2023π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝6.∴asinα＋bcosβ＝－2.f(2024)＝asin(2024π＋α)＋bcos(2024π＋β)＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝－2＋4＝2. 8．若k为整数，则sincos＝________． 答案：－ 解析：分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论．①当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin·cos＝－sincos＝－sincos＝－×＝－. ②当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin·cos＝sincos＝sin＝×＝－.所以sincos＝－(k∈Z)． 三、解答题 9．化简：. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝＝0. 10．已知cos(3π＋θ)＝lg ， 求 ＋的值． 解：∵cos(3π＋θ)＝lg ， ∴－cosθ＝－lg 10＝－， ∴cosθ＝. 原式＝＋ ＝＋＝＝＝. 11．已知f(x)＝则f＋f的值为(　　) A．－1 B．－－2 C．－2 D．－3 答案：C 解析：∵f＝sin＝sin＝sin＝，f＝f－1＝f－2＝sin－2＝－sin－2＝－，∴f＋f＝－2.故选C. 12．已知cos(α＋β)＋1＝0，求sin(2α＋β)＋sinβ的值． 解：由cos(α＋β)＋1＝0，得 α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)， 即2α＋2β＝4kπ＋2π(k∈Z)． 所以sin(2α＋β)＋sinβ＝sin[(2α＋2β)－β]＋sinβ＝sin(4kπ＋2π－β)＋sinβ＝－sinβ＋sinβ＝0. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$