1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 (教师独具内容) 课程标准：1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦)的定义.2.了解三角函数(正弦、余弦)的周期性、单调性、最大(小)值． 教学重点：1.任意角的正弦函数值、余弦函数值的求解.2.正弦函数、余弦函数的定义域、最值、周期性、单调性.3.任意角的三角函数(正弦、余弦)值的符号的判断． 教学难点：利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决问题． 知识点一　正弦函数和余弦函数定义 1．给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，横坐标u叫作角α的余弦值．于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sinα为任意角α的正弦函数，u＝cosα为任意角α的余弦函数． 2．设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sinα＝，cosα＝，其中r＝． 知识点二　正弦函数和余弦函数的基本性质 1．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域均是R． 2．最大(小)值、值域：正弦函数v＝sinα，余弦函数u＝cosα在R上的最大值为1，最小值为－1．它们的值域均为[－1，1]． 3．周期性：终边相同的角的正弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sinα，α∈R；终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝cosα，α∈R.所以正弦函数v＝sinα和余弦函数u＝cosα均是周期函数，2kπ，k∈Z且k≠0是它们的周期，最小正周期为2π． 4．单调性：对任意的k∈Z，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；对任意的k∈Z，余弦函数在区间[2kπ－π，2kπ]上单调递增，在区间[2kπ，2kπ＋π]上单调递减． 5．正弦函数值和余弦函数值的符号 角α的正弦函数值、余弦函数值在各象限内的符号： 规律：一全正，二正弦，三全负，四余弦(如图所示)． 当角的终边在坐标轴上时，其相应的函数值如表： 角终边位置 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 正弦函数值 0 1 0 －1 余弦函数值 1 0 －1 0 (1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． (2)终边相同的角的正弦、余弦值相等，即sin(x＋k·2π)＝sinx，cos(x＋k·2π)＝cosx(k∈Z)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.(　　) (2)若sinα＝sinβ，则α＝β.(　　) (3)函数y＝cosα在[0，π]上是减函数．(　　) (4)函数y＝sinα在R上的最小值是0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)若sinα<0，且cosα<0，则α在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________． (3)－sin450°＋cos750°＝________． (4)sin2cos3的值的符号为________． 答案：(1)C　(2)－　　(3)－1＋　(4)负 题型一　正弦函数、余弦函数的定义及应用 　已知角α的终边过点P(2t，－3t)(t≠0)，求sinα，cosα的值． [解]　r＝＝＝|t|. 当t<0时，sinα＝＝＝， cosα＝＝＝－； 当t>0时，sinα＝－，cosα＝. 【感悟提升】　利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上，求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 方法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝. (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 【跟踪训练】 1．若角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，求sinα，cosα的值． 解：∵角α终边在射线y＝－3x(x≥0)上， ∴取角α终边上一点P(1，－3)， 则x＝1，y＝－3，r＝|OP|＝. ∴sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝. 题型二　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质的应用 　已知函数y＝－3sinx＋1. (1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间； (2)求函数在区间上的最值． [解]　(1)由正弦函数v＝sinx的性质可得函数y＝－3sinx＋1的性质如下： 定义域：R. 值域：[－2，4]． 周期性：周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π. 单调性：由v＝sinx在区间(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减，知y＝－3sinx＋1在区间(k∈Z)上单调递减，在区间(k∈Z)上单调递增． (2)因为正弦函数v＝sinx在区间上单调递增，在区间上单调递减，且sin＝－，sin＝， 所以v＝sinx在x＝－时取最小值－，在x＝时取最大值1.故y＝－3sinx＋1在上的最大值是－3×＋1＝；最小值是－3×1＋1＝－2. 【感悟提升】　 (1)对任意的k∈Z，正弦函数在上是增函数，在上是减函数． (2)余弦函数在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是单调递减的，它的值由1减小到－1；在每一个闭区间[(2k＋1)π，2(k＋1)π](k∈Z)上都是单调递增的，它的值由－1增大到1. 【跟踪训练】 2．(1)函数y＝－sin2x＋sinx的值域为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：函数y＝－sin2x＋sinx，令t＝sinx，则t∈[－1，1]，函数可化为y＝－t2＋t＝－＋，所以当t＝时，函数取得最大值；当t＝－1时，函数取得最小值－2，所以函数y＝－sin2x＋sinx的值域为. (2)下列结论正确的是(　　) A．sin400°>sin50° B．sin220°<sin590° C．cos130°>cos500° D．cos(－40°)<cos310° 答案：C 解析：sin400°＝sin40°，因为v＝sinα在0°<α<90°上单调递增，所以sin40°<sin50°，即sin400°<sin50°，故A错误；sin590°＝sin230°，因为v＝sinα在180°<α<270°上单调递减，所以sin220°>sin230°，即sin220°>sin590°，故B错误；cos500°＝cos140°，因为u＝cosα在90°<α<180°上单调递减，所以cos130°>cos140°，即cos130°>cos500°，故C正确；cos310°＝cos(－50°)，因为u＝cosα在－90°<α<0°上单调递增，所以cos(－40°)>cos(－50°)，即cos(－40°)>cos310°，故D错误． 题型三　正弦函数值、余弦函数值的符号判断 　判断下列各函数值的符号： (1)cos(－410°)；(2)sin135°； (3)sin；(4)cos570°. [解]　(1)∵－410°角是第四象限角，且这一象限内的点的横坐标均大于0，∴cos(－410°)>0，∴cos(－410°)的符号是正号． (2)∵135°角是第二象限角，且这一象限内的点的纵坐标均大于0， ∴sin135°>0，∴sin135°的符号是正号． (3)∵－是第四象限角，且这一象限内的点的纵坐标均小于0，∴sin<0，∴sin的符号是负号． (4)∵570°角是第三象限角，且这一象限内的点的横坐标均小于0， ∴cos570°<0，∴cos570°的符号是负号． 【感悟提升】　正弦函数值、余弦函数值的正负规律 【跟踪训练】 3．(1)若点P的坐标为(cos2024°，sin2024°)，则点P在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为2024°＝5×360°＋224°，所以2024°角的终边在第三象限，所以cos2024°<0，sin2024°<0，所以点P在第三象限． (2)用不等号(>，<)填空： ①sincos________0； ②________0. 答案：①<　②< 解析：①由<<π，知sin>0，由π<<，知cos<0，所以sincos<0. ②由90°<100°<180°，知sin100°>0，由180°<200°<270°，知sin200°<0，由270°<300°<360°，知cos300°>0，所以<0. 1．已知角α终边经过P，则cosα等于(　　) A. B. C. D．± 答案：B 解析：cosα＝＝＝. 2．若cosθ<0，且sinθ>0，则是________象限角(　　) A．第一 B．第三 C．第一或第三 D．第一或第四 答案：C 解析：由cosθ<0，可知θ为第二或第三象限角，由sinθ>0，可知θ为第一或第二象限角，所以θ为第二象限角，即＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，所以为第一或第三象限角．故选C. 3．函数y＝lg sinx的定义域是(　　) A.(k∈Z) B．(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z) C.(k∈Z) D．(2kπ，2kπ＋2π)(k∈Z) 答案：B 解析：由sinx>0，知2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z. 4．已知①sin4，②cos5，③sin6，④cos7，其中函数值为正的是________． 答案：②④ 解析：∵4弧度角为第三象限角，5弧度角、6弧度角为第四象限角，7弧度角为第一象限角，∴sin4<0，cos5>0, sin6<0, cos7>0. 5．函数y＝cosx，x∈，则y的取值范围是________． 答案： 解析：当x∈时，y＝cosx单调递增，y的取值范围是；当x∈时，y＝cosx单调递减，y的取值范围是.综上，y的取值范围是. 6．已知角α终边上的一个点为(3，－4)，求sinα和cosα. 解：r＝＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝. 课后课时精练 一、选择题 1．如果sinα＝－，则下列各点是角α终边上一点的是(　　) A．(1，－) B．(－，1) C．(，－1) D．(－1，) 答案：A 解析：利用定义，从选项入手，代入验证即可． 2．已知角α的终边经过点(－1，)，则cos(6π＋α)的值是(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 解析：由r＝＝，得cosα＝＝－.所以cos(6π＋α)＝cosα＝－. 3．(多选)下列各三角函数值符号为负的是(　　) A．sin10° B．cos(－220°) C．sin(－10) D．cosπ 答案：BD 解析：因为10°角是第一象限角，所以sin10°>0；因为－220°角是第二象限角，所以cos(－220°)<0；因为－10∈，所以角－10是第二象限角，所以sin(－10)>0；cosπ＝－1<0. 4．已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值是(　　) A. B．2 C. D．1 答案：A 解析：f(x)＝＝2＋，令t＝cosx，则t∈[－1，1]，令g(t)＝2＋，易知g(t)＝2＋在区间[－1，1]上单调递减，∴f(x)的最大值是g(－1)＝. 5．设角θ是第二象限角，且＝－sin，则角是(　　) A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：∵角θ是第二象限角，∴θ∈，k∈Z，则∈，k∈Z，∴角是第一或第三象限角．又＝－sin，∴sin≤0，故角是第三象限角． 二、填空题 6．5sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝________． 答案：0 解析：原式＝5＋2＋3－10＝0. 7．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是________． 答案：－2<a≤3 解析：由cosα≤0，sinα>0，知角α为第二象限角或终边在y轴非负半轴上，∴a＋2>0，3a－9≤0，∴－2<a≤3. 8．函数f(x)的定义域为[0，1]，则f(cosx)的定义域为________． 答案：，k∈Z 解析：∵f(x)的定义域是[0，1]，∴f(cosx)中需0≤cosx≤1.∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.∴y＝f(cosx)的定义域为，k∈Z. 三、解答题 9．已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cosθ＝x，求sinθ的值． 解：∵r＝，cosθ＝，∴x＝. 又x≠0，∴x＝±1.∴r＝. ∴sinθ＝＝＝. 10．判断下列各式的符号． (1)cos(－350°)； (2)sin105°cos230°； (3)sin3cos4； (4)(θ为第二象限角)． 解：(1)∵－350°＝－360°＋10°是第一象限角， ∴cos(－350°)>0. (2)∵105°是第二象限角，230°是第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0， ∴sin105°cos230°<0. (3)∵<3<π，π<4<， ∴sin3>0，cos4<0， ∴sin3cos4<0. (4)∵θ为第二象限角， ∴0<sinθ<1<，－<－1<cosθ<0， ∴sin(cosθ)<0，cos(sinθ)>0， ∴<0. 11．已知角α的终边在直线y＝kx上，始边在x轴的非负半轴上，若sinα＝，且cosα<0，求实数k的值． 解：∵sinα＝>0，cosα<0， ∴α是第二象限角． 在直线y＝kx上取第二象限内的点P(－1，－k)(k<0)，∴＝， ∴k＝－2. 12．(1)求函数y＝的定义域； (2)已知函数y＝f(x)的定义域是，求函数f的定义域． 解：(1)为使函数有意义，需满足 即 由单位圆(如图所示)得函数的定义域为∪. (2)依题意有0≤sinx≤， 解得0≤sinx≤. 由单位圆(如图所示)得2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)或＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)． 故函数的定义域为∪(k∈Z)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$