1.2.1 角的概念推广 1.2.2 象限角及其表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

2.1　角的概念推广 2.2　象限角及其表示 (教师独具内容) 课程标准：了解任意角的概念． 教学重点：1.理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的含义.2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法． 教学难点：1.判断所给角所在的象限.2.用集合形式表示终边相同的角． 知识点一　角的相关概念 (1)如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α． (2)角的表示：如图，点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边． (3)按照角的旋转方向可将角分为如下三类： 名称 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，始边与终边重合所形成的角 知识点二　象限角 (1)若角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． (2)如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． 知识点三　终边相同的角 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 　对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少． (3)终边相同的角的表示不唯一． (4)终边在x轴上的角的集合为S＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．终边在y轴上的角的集合为S＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}． (5)终边在坐标轴上的角的集合为S＝{β|β＝k·90°，k∈Z}． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．(　　) (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．(　　) (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)与600°角终边相同的角可表示为(　　) A．k·360°＋220°(k∈Z) B．k·360°＋240°(k∈Z) C．k·360°＋60°(k∈Z) D．k·360°＋260°(k∈Z) (2)若角α与角β终边相同，则α－β＝________． 答案：(1)B　(2)k·360°，k∈Z 题型一　正确理解角的概念 　下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 [解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是零角，也可以是负角，D错误．故选C. [答案]　C 【感悟提升】　 1．角的表示 (1)通常用希腊字母α，β等表示，如“角α”或“∠α”，也可以简化为“α”． (2)也可以用三个大写字母表示(前面要加“∠”)，如“∠AOB”． (3)用图示表示角时，箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负． 2．理解角的概念的三个“明确” 【跟踪训练】 1．(多选)设集合A＝{锐角}，B＝{小于90°的角}，C＝{小于90°的正角}，则(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A⊆B 答案：CD 解析：因为锐角是大于0°小于90°的角，小于90°的角不一定是锐角，还包括0°的角和负角，而小于90°的正角是锐角，所以A＝C，A⊆B. 题型二　终边相同的角 　已知α＝－1910°. (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°<θ≤0°. [解]　(1)因为－1910°÷360°＝－6余250°， 所以－1910°＝－6×360°＋250°. (2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)， 取k＝－1，－2就得到适合－720°<θ≤0°的角： 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 【感悟提升】　终边相同的角常用的两个结论 (1)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (2)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 【跟踪训练】 2．(1)写出与15°终边相同的角的集合； (2)在(1)的集合中，将适合不等式－1080°<α<360°的元素α求出； (3)写出终边落在直线y＝－x上的角的集合． 解：(1)与15°终边相同的角的集合是M＝{β|β＝k·360°＋15°，k∈Z}． (2)在M中适合－1080°<α<360°的元素是： 取k＝－3时，－3×360°＋15°＝－1065°； 取k＝－2时，－2×360°＋15°＝－705°； 取k＝－1时，－1×360°＋15°＝－345°； 取k＝0时，0×360°＋15°＝15°. 故M中满足不等式－1080°<α<360°的元素有－1065°，－705°，－345°，15°. (3)在0°～360°范围内，终边在函数y＝－x的图象上的角有两个，即135°，315°角(如图)． 因此所有与135°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}，而所有与315°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}． 于是，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}． 题型三　象限角与区域角问题 　(1)下列角的终边位于第四象限的是(　　) A．420° B．860° C．1060° D．1260° [解析]　解法一：因为420°＝60°＋360°，所以在0°～360°内，与420°角终边相同的角是60°角，所以420°角是第一象限角； 因为860°＝140°＋2×360°，所以860°角是第二象限角； 因为1060°＝340°＋2×360°，所以1060°角是第四象限角； 因为1260°＝180°＋3×360°，所以1260°角的终边位于x轴非正半轴． 解法二：在平面直角坐标系中分别画出各个角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图(图略)可知1060°角的终边在第四象限． [答案]　C (2)的终边在第三象限，则θ的终边可能在(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或y轴非负半轴 D．第三、四象限或y轴非正半轴 [解析]　因为的终边在第三象限，所以180°＋k·360°<<270°＋k·360°(k∈Z)，所以360°＋2k·360°<θ<540°＋2k·360°(k∈Z)，即(2k＋1)·360°<θ<180°＋(2k＋1)·360°(k∈Z)，所以θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴． [答案]　C (3)如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合． [解]　①由题图①可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角，与l2终边相同的角有310°角，故图中阴影部分中角的集合为S＝{α|60°＋k·360°≤α≤310°＋k·360°，k∈Z}． ②由题图②知，逆时针方向旋转，应由l2转至l1，与l2终边相同的角有－30°角，与l1终边相同的角有30°角，故图中阴影部分中角的集合为S＝{α|－30°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}． ③题图③中阴影部分可看作由直线l逆时针旋转至y轴而形成，终边落在直线l上的角可表示为45°＋k·180°(k∈Z)，终边落在y轴上的角可表示为90°＋k·180°(k∈Z)，故图中阴影部分中角的集合为S＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}． 【感悟提升】　 1．象限角的判定方法 (1)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (2)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论； ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 2．表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 【跟踪训练】 3．(1)如图，终边落在阴影部分内(含边界)的角α的集合是(　　) A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°} C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z} 答案：C 解析：由图知角α的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． (2)若α是第二象限角，则，，2α分别是第几象限角？ 解：由α是第二象限角得k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z. ①k·180°＋45°<<k·180°＋90°，k∈Z. 当k＝2n，n∈Z时，2n·180°＋45°<<2n·180°＋90°，n∈Z， 此时，是第一象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，2n·180°＋225°<<2n·180°＋270°，n∈Z，此时，是第三象限角． 综上知，是第一或第三象限角． ②·360°＋30°<<·360°＋60°，k∈Z. 当k＝3n，n∈Z时，n·360°＋30°<<n·360°＋60°，n∈Z， 此时，是第一象限角； 当k＝3n＋1，n∈Z时，n·360°＋150°<<n·360°＋180°，n∈Z， 此时，是第二象限角； 当k＝3n＋2，n∈Z时，n·360°＋270°<<n·360°＋300°，n∈Z，此时，是第四象限角． 综上知，是第一或第二或第四象限角． ③2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°，k∈Z， 因此，2α是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角． 1．给出下列四个命题：①－15°是第四象限的角；②185°是第三象限的角；③475°是第二象限的角；④－350°是第一象限的角．其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：将角的终边在平面直角坐标系中画出来，即可判断． 2．已知集合M＝{第二象限角}，N＝{钝角}，P＝{大于90°的角}，则下列结论正确的是(　　) A．M＝N＝P B．MP C．M∩P＝N D．以上都不对 答案：D 解析：M＝{θ|90°＋k·360°<θ<180°＋k·360°，k∈Z}，N＝{θ|90°<θ<180°}，P＝{θ|θ>90°}，故选D. 3．(多选)下列各组角中，终边相同的是(　　) A．390°与690° B．－330°与750° C．480°与－240° D．300°与－840° 答案：BC 解析：两终边相同的角之差是360°的整数倍．A项，390°－690°＝－300°，排除；B项，－330°－750°＝－3×360°；C项，480°－(－240°)＝720°；D项，300°－(－840°)＝1140°，排除．故选BC. 4．若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了________度，分针转了________度． 答案：5　60 解析：钟表拨慢10分钟，时针按逆时针方向转了10×＝5°，分针转了10×＝60°. 5．如图，写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合． 解：由图形得A点的终边与120°角所在终边重合，B点的终边与－45°角的终边重合，则阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． 课后课时精练 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．角α的终边过(0，－3)点，则α既是第三象限角，又是第四象限角 B．若α是第三象限角，则是第二象限角 C．若α是第四象限角，则180°－α是第二象限角 D．与60°角终边相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z} 答案：D 解析：角α不属于任何象限，故A错误；若α是第三象限角，则是第二或第四象限角，故B错误；若α是第四象限角，则180°－α是第三象限角，故C错误；由终边相同的角的定义知，与60°角终边相同的角为k·360°＋60°，k∈Z，故D正确． 2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC等于(　　) A．150° B．－150° C．390° D．－390° 答案：B 解析：射线顺时针方向旋转得到负角，逆时针方向旋转得到正角，∵OA逆时针旋转120°，又顺时针旋转270°，∴相当于射线OA顺时针旋转150°，∴∠AOC＝－150°. 3．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．y轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上 答案：B 解析：因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B. 4．若钝角α的终边经过点P(－1，)，则与角α终边相同的角的集合是(　　) A．{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z} B．{β|β＝150°＋k·360°，k∈Z} C．{β|β＝120°＋k·360°，k∈Z} D．{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z} 答案：C 解析：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，在Rt△PMO中，∵|OM|＝1，|MP|＝，∴tan∠POM＝＝，∴∠POM＝60°.∴α＝120°.∴与钝角α终边相同的角的集合是{β|β＝120°＋k·360°，k∈Z}． 5．(多选)下列条件中，能使角α和β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝180° C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z) 答案：BD 解析：假设α，β为0°～180°范围内的角，如图所示，若α，β的终边关于y轴对称，则α＋β＝180°，所以B满足条件．结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)满足条件，A，C都不满足条件．故选BD. 二、填空题 6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同始边，且又有相同的终边，那么角α＝________． 答案：270° 解析：由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍．即5α－α＝4α＝k·360°，又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°. 7．集合A＝{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·720°＋60°，k∈Z}，C＝{γ|γ＝k·180°＋60°，k∈Z}，那么集合A，B，C的关系是________． 答案：BAC 解析：因为α＝k·360°＋60°，k∈Z，β＝2k·360°＋60°，k∈Z，γ＝k·360°＋60°或γ＝k·360°＋240°，k∈Z，所以BAC. 8．已知α是第一象限角，则－α是第________象限角；180°－α是第________象限角；2k·180°－α(k∈Z)是第________象限角；(2k＋1)·180°＋α(k∈Z)是第________象限角． 答案：四　二　四　三 解析：因为α角的终边与－α角的终边关于x轴对称，且α是第一象限角，所以－α为第四象限角；把－α角逆时针旋转180°，终边在第二象限，所以180°－α为第二象限角；因为2k·180°－α与－α角终边相同，所以2k·180°－α是第四象限角；因为180°＋α是第三象限角，且(2k＋1)·180°＋α与180°＋α的终边相同，所以(2k＋1)·180°＋α是第三象限角． 三、解答题 9．若集合A＝{α|45°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，B＝{α|－240°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}．求A∩B，A∪B. 解：如图，A∩B＝{α|120°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{α|－315°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}． 10.如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线OM上； (2)终边落在直线OM上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)． 解：(1)终边落在射线OM上的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}． (2)因为终边落在射线OM上的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，所以终边落在直线OM上的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}． (3)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}． 11．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________． 答案：15°　65° 解析：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.因为α，β都是锐角，所以0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°　①.因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，所以－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°　②.由①②联立，解得α＝15°，β＝65°. 12．如果角α的终边与30°角的终边关于直线y＝x对称，且α∈{α|－720°<α<720°}，求角α. 解：∵在0°到360°范围内，30°角关于直线y＝x对称的角为60°， ∴角α的终边即为60°角的终边． ∴α∈{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}． 又－720°<α<720°，令k＝－2，－1，0，1， ∴角α的值为－660°，－300°，60°，420°. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$