2.1.2 向量的基本关系-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量 1.2　向量的基本关系 (教师独具内容) 课程标准：1.理解相等向量和共线向量的含义.2.会表示两个平面向量的夹角． 教学重点：1.相等向量与共线向量的概念.2.两平面向量夹角的概念． 教学难点：相等向量与共线向量的应用． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　相等向量 (1)在数学中，相等向量是指它们的______相等且______相同．向量a与b相等，记作_______． (2)一条有向线段在平移过程中，虽然位置不同，但表示的是相等向量． 知识点二　共线向量 (1)若两个非零向量a，b的方向______或______，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作_______． (2)两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线______或______． 长度 方向 a＝b 相同 相反 a∥b 重合 平行 核心概念掌握 5 (3)若两个向量的长度______、方向______，则称它们互为相反向量，相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作_____． (4)规定________与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量． 相等 相反 －a 零向量 核心概念掌握 6 向量a与b的夹角 同向 反向 垂直 a⊥b 零向量 0⊥a 核心概念掌握 7 1．理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． 2．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(非零向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量． 核心概念掌握 8 3．对共线向量的类型讨论，要考虑方向、长度和位置，尤其不能忘记对零向量的讨论． 4．向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量． 核心概念掌握 9 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) √ × × × 核心概念掌握 10 2．做一做 (1)给出以下几种说法： ①向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有共同起点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中错误说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 核心概念掌握 11 60° 核心概念掌握 12 核心素养形成 题型一　相等向量与共线向量的含义 给出下列命题： 核心素养形成 14 解析　①真命题． ②假命题．方向相同，长度不一定相等． ③真命题． ④假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反． ⑤假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行． ⑥假命题．向量a与c可以共线，如图． 故假命题的个数为4. 核心素养形成 15 【感悟提升】　共线向量与相等向量的区别与联系 相等向量是指大小相等且方向相同的向量，共线向量是方向相同或相反的非零向量．相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．且相等向量具备传递性，而共线向量不具备传递性．共线向量也叫平行向量． 核心素养形成 16 核心素养形成 17 核心素养形成 18 题型二　平面几何中的相等向量与共线向量 核心素养形成 19 【感悟提升】　要证两个向量相等，只要证得它们的模相等且方向相同即可．利用向量解决平面几何问题是向量作为工具的必然，其产生的目的也在于此． 核心素养形成 20 菱形 核心素养形成 21 题型三　向量的夹角 设O是正六边形ABCDEF的中心，指出如下各组向量的夹角． 核心素养形成 22 【感悟提升】　确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考察其角的大小，而不是简单地看成两条线段的夹角． 核心素养形成 23 核心素养形成 24 随堂水平达标 1．下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，则a与b共线 B．若a与b是平行向量，则a＝b C．若a＝0，b＝0，则a与b不同 D．共线向量方向必相同 解析：平行向量的模可能不相等、方向相反，故B错误；a＝0，b＝0⇒a＝b，故C错误；共线向量方向可以相同也可以相反，D错误．故选A. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 3．下列命题正确的是(　　) A．|a|＝|b|⇒a＝b B．|a|>|b|⇒a>b C．a∥b⇒a＝b D．|a|＝0⇒a＝0 解析：A中，两个向量的模相等，但是方向不一定相等，所以错误；B中，两个向量不能比较大小，所以错误；C中，向量平行只是方向相同或相反，不是向量相等，所以错误；D中，如果一个向量的模等于0，则这个向量是零向量． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． 6 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 解：如图所示． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 2．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是(　　) A．CA B．A∩B＝{a} C．CB D．A∩B{a} 解析：∵A∩B中还含有与a方向相反的向量，故B错误． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 4．设a，b是两个非零向量，e1，e2分别是a，b方向的单位向量，则下列命题正确的是(　　) A．若a∥b，则e1＝e2 B．若a∥b，则e1＝－e2 C．若|a|＝1，则a＝e1 D．若|a|＝|b|＝1，则e1＝e2或e1＝－e2 解析：若a∥b，则a与b同向或反向，∴e1与e2同向或反向，∴A，B错误；若|a|＝|b|＝1，可知a＝e1，b＝e2，但不一定有e1＝e2或e1＝－e2，∴D错误．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 解析：起点相同、终点相同的两个向量相等，但反之不成立，故A不正确；显然B，C正确；D中，若b＝0，则a与c就不一定平行，因此D不正确．故选BC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 ② 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 解析：两个向量相等要求大小相等，且方向相同，两者缺一不可． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 8．给出以下四个条件： ①a＝b；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；④a与b都是单位向量． 其中能使a∥b成立的是________(填序号)． 解析：相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，②能使a∥b；零向量与任一向量平行，③能使a∥b；④不能使a∥b. ①②③ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 三、解答题 9.如图，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，分别找出符合下列条件的向量． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 10.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，分别指出图中： 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 11．如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边的中点，且△ABC的边长为2，连接BF，CD，EF. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点三　向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为_________________，当θ＝0°时，a与b_______；当θ＝180°时，a与b_______；当θ＝90°时，a与b________，记作_______． (2)规定_________与任一向量垂直，即对于任意向量a，都有_______． (1)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．(　　) (2)向量eq \o(AB,\s\up12(→))与向量eq \o(BA,\s\up12(→))是相等向量．(　　) (3)共线的两个向量一定在一条直线上．(　　) (4)若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为150°.(　　) (2)下列说法正确的是(　　) A．向量eq \o(AB,\s\up12(→))∥eq \o(CD,\s\up12(→))就是eq \o(AB,\s\up12(→))所在的直线平行于eq \o(CD,\s\up12(→))所在的直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．相反向量一定共线 D．共线向量是在同一条直线上的向量 (3)在等边三角形ABC中，eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(AC,\s\up12(→))的夹角是________． ①向量eq \o(AB,\s\up12(→))的长度与向量eq \o(BA,\s\up12(→))的长度相等； ②方向相同的两个向量是相等向量； ③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量eq \o(AB,\s\up12(→))与向量eq \o(CD,\s\up12(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑥向量a与b不共线，向量b与c不共线，则a与c不共线． 其中假命题的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练】 1．给出下列命题： ①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(BC,\s\up12(→))是共线向量，则A，B，C三点共线； ③四边形ABCD是平行四边形，则一定有eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→)). 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：相等向量起点相同时，终点必相同，故①错误；因eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(BC,\s\up12(→))共线且有公共点B，所以A，B，C三点必共线，故②正确；eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(DC,\s\up12(→))同向且等长，则eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，③正确．故真命题的个数为2. 如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→)). 求证：eq \o(CN,\s\up12(→))＝eq \o(MA,\s\up12(→)). 证明　∵eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，∴|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(DC,\s\up12(→))|且eq \o(AB,\s\up12(→))∥eq \o(DC,\s\up12(→)).∴四边形ABCD为平行四边形． 从而eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))，又M，N分别是BC，AD的中点， 于是|eq \o(AN,\s\up12(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(AD,\s\up12(→))|，|eq \o(MC,\s\up12(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(BC,\s\up12(→))|，∴|eq \o(AN,\s\up12(→))|＝|eq \o(MC,\s\up12(→))|， 又eq \o(AN,\s\up12(→))∥eq \o(MC,\s\up12(→))，∴四边形AMCN是平行四边形．∴eq \o(CN,\s\up12(→))＝eq \o(MA,\s\up12(→)). 【跟踪训练】 2．如图，在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))且|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(AD,\s\up12(→))|，则此四边形为_______． 解析：∵eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．又|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝ |eq \o(AD,\s\up12(→))|，∴平行四边形ABCD为菱形． (1)eq \o(OD,\s\up12(→))与eq \o(OE,\s\up12(→))；(2)eq \o(OD,\s\up12(→))与eq \o(OB,\s\up12(→))；(3)eq \o(CB,\s\up12(→))与eq \o(AF,\s\up12(→)). 解　(1)∵ABCDEF是正六边形，∴eq \o(OD,\s\up12(→))与eq \o(OE,\s\up12(→))的夹角是∠DOE＝60°. (2)eq \o(OD,\s\up12(→))与eq \o(OB,\s\up12(→))的夹角是∠DOB＝120°. (3)∵eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \o(CD,\s\up12(→))，∴eq \o(CB,\s\up12(→))与eq \o(AF,\s\up12(→))的夹角等于eq \o(CB,\s\up12(→))与eq \o(CD,\s\up12(→))的夹角，即∠DCB＝120°. 【跟踪训练】 3.在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，且|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(AC,\s\up12(→))|，tan∠ADC＝eq \r(3)，求eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(BD,\s\up12(→))的夹角． 解：在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，∴AB綊DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵tan∠ADC＝eq \r(3)，∴∠ABC＝∠ADC＝60°. 又|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(AC,\s\up12(→))|，∴△ABC是等边三角形． ∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(BD,\s\up12(→))的夹角为90°. 2．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则下列说法中正确的是(　　) A．有向线段eq \o(AB,\s\up12(→))与有向线段eq \o(AC,\s\up12(→))共线 B．有向线段eq \o(BD,\s\up12(→))与有向线段eq \o(DA,\s\up12(→))相同 C．有向线段eq \o(DE,\s\up12(→))与有向线段eq \o(BC,\s\up12(→))共线，|eq \o(BC,\s\up12(→))|>|eq \o(DE,\s\up12(→))| D．有向线段eq \o(DE,\s\up12(→))与有向线段eq \o(BC,\s\up12(→))共线，eq \o(BC,\s\up12(→))比eq \o(DE,\s\up12(→))大 解析：对于A，由题意知A，B，C三点不共线，所以有向线段eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))不可能共线，故A错误；对于B，由题意知有向线段eq \o(BD,\s\up12(→))和eq \o(DA,\s\up12(→))的大小相等、方向相同，但起点不同，故不是相同的有向线段，故B错误；对于C，有向线段eq \o(DE,\s\up12(→))与eq \o(BC,\s\up12(→))共线，有向线段只考虑长度时，可以比较大小，且|eq \o(BC,\s\up12(→))|>|eq \o(DE,\s\up12(→))|，故C正确；对于D，有向线段无法比较大小，故D错误．故选C. (1)与向量eq \o(ED,\s\up12(→))相等的向量为________； (2)若|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝3，则向量eq \o(EC,\s\up12(→))的模等于______． 解析：∵四边形ABCD和ABDE为平行四边形，∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(ED,\s\up12(→))，eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→)).∵eq \o(ED,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，∴E，D，C三点共线，∴|eq \o(EC,\s\up12(→))|＝2|eq \o(ED,\s\up12(→))|＝2|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝6. eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(DC,\s\up12(→)) 5．在平面直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标． (1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°； (2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°； (3)|a|＝4eq \r(2)，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°. 一、选择题 1．已知向量eq \o(AB,\s\up12(→))与向量eq \o(BC,\s\up12(→))共线，则下列关于向量eq \o(AC,\s\up12(→))的说法中，正确的是(　　) A．向量eq \o(AC,\s\up12(→))与向量eq \o(AB,\s\up12(→))一定同向 B．向量eq \o(AC,\s\up12(→))，向量eq \o(AB,\s\up12(→))，向量eq \o(BC,\s\up12(→))一定共线 C．向量eq \o(AC,\s\up12(→))与向量eq \o(BC,\s\up12(→))一定相等 D．以上说法都不正确 解析：根据共线向量的定义，可知eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))这三个向量一定为共线向量，但方向不确定是同向还是反向，大小也不确定，故A，C，D错误，B正确．故选B. 3．在平行四边形ABCD中，若向量eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(BD,\s\up12(→))的夹角为90°，且∠ABC＝60°，则向量eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(CD,\s\up12(→))的夹角为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：在平行四边形ABCD中，若向量eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(BD,\s\up12(→))的夹角为90°，则eq \o(AC,\s\up12(→))⊥eq \o(BD,\s\up12(→))，故平行四边形ABCD是菱形，又∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，则向量eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(CD,\s\up12(→))的夹角为120°.故选D. 5．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同 B．平行四边形ABCD中，一定有eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→)) C．若m＝n，n＝k，则m＝k D．若a∥b，b∥c，则a∥c 二、填空题 6．下列命题中正确的是________． ①单位向量都相等； ②四边形ABCD是平行四边形当且仅当eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))； ③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 解析：①不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定．很明显②正确. ③不正确.点C是线段AB上的一点，则eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(BC,\s\up12(→))共线，虽起点不同，但其终点却 相同. eq \o(BE,\s\up12(→))，eq \o(FD,\s\up12(→))，eq \o(FC,\s\up12(→))，eq \o(DC,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→)) eq \o(EF,\s\up12(→))，eq \o(CB,\s\up12(→)) 7.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，设eq \o(AE,\s\up12(→))＝a，eq \o(DA,\s\up12(→))＝b，则与a相等的向量有______；与b相等的向量有______；与a平行的向量有_________________________；与b共线的向量有________． eq \o(FC,\s\up12(→)) eq \o(CB,\s\up12(→)) (1)与eq \o(AF,\s\up12(→))，eq \o(AE,\s\up12(→))相等的向量； (2)与eq \o(AD,\s\up12(→))模相等的向量． 解：(1)eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(AE,\s\up12(→))＝eq \o(BD,\s\up12(→)). (2)eq \o(DA,\s\up12(→))，eq \o(CF,\s\up12(→))，eq \o(FC,\s\up12(→)). (1)与向量eq \o(HG,\s\up12(→))相等的向量； (2)与向量eq \o(HG,\s\up12(→))平行的向量； (3)与向量eq \o(HG,\s\up12(→))模相等的向量； (4)与向量eq \o(HG,\s\up12(→))模相等、方向相反的向量． 解：(1)eq \o(HG,\s\up12(→))＝eq \o(EF,\s\up12(→)). (2)eq \o(HG,\s\up12(→))∥eq \o(GH,\s\up12(→))∥eq \o(EF,\s\up12(→))∥eq \o(FE,\s\up12(→))∥eq \o(AC,\s\up12(→))∥eq \o(CA,\s\up12(→)). (3)|eq \o(HG,\s\up12(→))|＝|eq \o(GH,\s\up12(→))|＝|eq \o(EF,\s\up12(→))|＝|eq \o(FE,\s\up12(→))|. (4)eq \o(GH,\s\up12(→))，eq \o(FE,\s\up12(→))与eq \o(HG,\s\up12(→))模相等、方向相反． (1)试求|eq \o(EF,\s\up12(→))|，|eq \o(BF,\s\up12(→))|，|eq \o(DC,\s\up12(→))|； (2)求向量eq \o(BF,\s\up12(→))与eq \o(CB,\s\up12(→))的夹角． 解：(1)因为E，F分别为边CB，CA的中点， 所以EF＝eq \f(1,2)AB＝1，所以|eq \o(EF,\s\up12(→))|＝1. 因为△ABC是等边三角形，F为边AC的中点，所以BF⊥AC. 在Rt△BFC中，由勾股定理， 得BF＝eq \r(BC2－CF2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)， 同理可得CD＝eq \r(3). 所以|eq \o(BF,\s\up12(→))|＝eq \r(3)，|eq \o(DC,\s\up12(→))|＝eq \r(3). (2)易知∠FBC＝30°， 所以eq \o(BF,\s\up12(→))与eq \o(CB,\s\up12(→))的夹角为180°－30°＝150°. 12.如图，已知eq \o(AA′,\s\up12(→))＝eq \o(BB′,\s\up12(→))＝eq \o(CC′,\s\up12(→)). 求证：(1)△ABC≌△A′B′C′； (2)eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(A′B′,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(A′C′,\s\up12(→)). 证明：(1)∵eq \o(AA′,\s\up12(→))＝eq \o(BB′,\s\up12(→))，∴|eq \o(AA′,\s\up12(→))|＝|eq \o(BB′,\s\up12(→))|，且eq \o(AA′,\s\up12(→))∥eq \o(BB′,\s\up12(→))， ∴AA′綊BB′.∴四边形AA′B′B是平行四边形， ∴|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(A′B′,\s\up12(→))|. 同理|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(A′C′,\s\up12(→))|，|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝|eq \o(B′C′,\s\up12(→))|. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)由(1)知|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(A′B′,\s\up12(→))|，eq \o(AB,\s\up12(→))∥eq \o(A′B′,\s\up12(→))， 且eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(A′B′,\s\up12(→))的方向相同， ∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(A′B′,\s\up12(→)). 由(1)可知|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(A′C′,\s\up12(→))|，eq \o(AC,\s\up12(→))∥eq \o(A′C′,\s\up12(→))， 且eq \o(AC,\s\up12(→))与eq \o(A′C′,\s\up12(→))的方向相同， ∴eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(A′C′,\s\up12(→)). $$