1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　三角函数 §5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与 性质再认识 (教师独具内容) 课程标准：1.能画出正弦函数的图象.2.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质． 教学重点：1.用“五点法”画正弦函数的图象.2.正弦函数的性质． 教学难点：利用正弦函数的性质解决问题． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　正弦函数的图象 正弦函数的______称作正弦曲线． 知识点二　正弦函数性质的再认识 1．定义域 正弦函数的定义域是_____． 图象 R 核心概念掌握 5 2．周期性 由正弦函数的图象或诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，知2kπ(k≠0，k∈Z)是y＝sinx的周期，其中_____是它的最小正周期． 2π k∈Z 核心概念掌握 6 [－1，1] 核心概念掌握 7 奇函数 原点 核心概念掌握 8 (0，0) (π，0) (2π，0) 核心概念掌握 9 注意：(1)五点法是我们画正弦函数图象的基本方法，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中． (2)作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数． 核心概念掌握 10 核心概念掌握 11 (2)求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成． (3)判断三角函数的奇偶性就是直接利用函数奇偶性的定义，再结合三角函数的诱导公式进行判断．一个函数具有奇偶性，说明奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视． 核心概念掌握 12 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) √ × × 核心概念掌握 13 A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值 (3)函数y＝2－sinx的最大值为_____，取最大值时x的值为_________________. 3 核心概念掌握 14 核心素养形成 题型一　正弦函数图象的画法 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的图象． (1)y＝2sinx；(2)y＝3－sinx. 解　(1)列表、描点得y＝2sinx的图象(如图1)． 核心素养形成 16 (2)列表、描点得y＝3－sinx在一个周期内的图象(如图2)． 核心素养形成 17 【感悟提升】　五点法作图的注意点 五点法作三角函数的简图是常用作图方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最值点；五点法作三角函数的简图要掌握好上述五点的选取与连线的光滑、凸凹方向． 核心素养形成 18 【跟踪训练】 1．用五点法作出函数y＝sinx－2在[－2π，2π]上的图象． 解：先作y＝sinx－2在[0，2π]上的图象，列表如下： 把y＝sinx－2，x∈[0，2π]的图象向左平移一个周期，得到y＝sinx－2，x∈[－2π，2π]的图象，如图． 核心素养形成 19 题型二　正弦函数的周期性问题 核心素养形成 20 【感悟提升】　求三角函数的周期可以利用周期函数的定义来求解． 核心素养形成 21 【跟踪训练】 2．求下列各函数的周期： (1)y＝sin2x； 核心素养形成 22 题型三　正弦函数的单调性问题 (1)比较下列各组数的大小： 核心素养形成 23 核心素养形成 24 (2)求函数y＝－2sinx－1的单调递增区间． 核心素养形成 25 【感悟提升】　利用正弦函数的单调性比较大小的三个步骤 (1)一化：异名函数化为同名函数． (2)二定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)三比较：利用函数的单调性比较大小． 核心素养形成 26 【跟踪训练】 3．(1)函数y＝9－sinx的单调递增区间是(　　) 解析：函数y＝9－sinx的单调递增区间与函数y＝sinx的单调递减区间相同，故选B. 核心素养形成 27 (2)比较大小： 核心素养形成 28 核心素养形成 29 题型四　正弦函数的值域、最值问题 求下列函数的值域： (1)y＝|sinx|＋sinx；(2)y＝－sin2x＋2sinx－1； 核心素养形成 30 核心素养形成 31 【感悟提升】　求正弦函数的值域、最值问题的常用方法 (1)形如y＝asinx的函数的最值要注意对a的讨论． (2)对形如y＝asin2x＋bsinx＋C的函数，将函数看成关于sinx的二次函数，然后换元配方，利用二次函数求值域、最值． 核心素养形成 32 【跟踪训练】 4．设a>0，0≤x<2π，若函数y＝－sin2x－asinx＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，试求a，b的值，并求使y取最大值和最小值时的x值． 核心素养形成 33 核心素养形成 34 题型五　与正弦函数有关的函数奇偶性问题 判断下列函数的奇偶性： 核心素养形成 35 核心素养形成 36 核心素养形成 37 核心素养形成 38 (2)已知奇函数f(x)的定义域为R，当x>0时，f(x)＝sinx＋x＋1，求f(x)的表达式． 核心素养形成 39 随堂水平达标 1．下列对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 解析：由正弦曲线可知C不正确，其他均正确． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 随堂水平达标 1 2 3 4 5 42 3．下列关系式中正确的是(　　) A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10° C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11° 解析：∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，∴sin80°>sin12°> sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 43 随堂水平达标 1 2 3 4 5 44 5．用五点法画出y＝sinx－1，x∈[0，2π]的简图，并结合y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，指出它们之间的关系． 解：按五个关键点列表： 随堂水平达标 1 2 3 4 5 45 描点画图(如图)． 通过列表、描点的过程知y＝sinx－1，x∈[0，2π]的每个函数值比y＝sinx，x∈[0，2π]每个对应的函数值小1，从y＝sinx，x∈[0，2π]的图象(虚线部分)可看出，只要将y＝sinx，x∈[0，2π]的图象向下平移1个单位，即可得到y＝sinx－1，x∈[0，2π]的图象． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 46 课后课时精练 解析：正弦曲线的对称点是(kπ，0)，k∈Z. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 2．函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的大致图象是(　　) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 3．若a＝sin4，b＝sin2，c＝sin3，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．a<c<b 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 53 解法二：易知函数f(x)为偶函数，结论A正确．当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈N)时，f(x)＝2sinx；当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈N)时，f(x)＝0，如图所示为f(x)的图象． 由图象易得结论B，C不正确，结论D正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 54 二、填空题 6．若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sinx，则当x<0时，f(x)＝______________． 解析：当x<0时，－x>0，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－sin(－x)]＝－x2－sinx. －x2－sinx 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 56 (3，5)∪(－3，1) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 (2)y＝sin2x－4sinx＋5＝(sinx－2)2＋1. 设t＝sinx，则y＝g(t)＝(t－2)2＋1，t∈[－1，1]， 结合二次函数的图象可知ymax＝(－1－2)2＋1＝10，ymin＝(1－2)2＋1＝2. 故此函数的值域为[2，10]． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 60 2 2π 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 61 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 62 　　　　　　　　　　　　　 R 3．单调性 由正弦函数的图象与周期性可知，正弦函数在每一个区间_____________________ _____上都单调递增，sinx的值由－1增大到1；在每一个区间_______________________上都单调递减，sinx的值由1减小到－1. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z 4．最大(小)值和值域 从正弦函数的图象可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y＝1和y＝－1之间，所以正弦函数的值域是__________．特别地，正弦函数y＝sinx有最大值1，当且仅当__________________时取到；有最小值－1，当且仅当____________________时取到． [注意]　sinx取[－1，1]上的每一个值，都有无数个x与之对应． x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z x＝2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z 5．奇偶性(对称性) 由诱导公式sin(－x)＝－sinx可知，正弦函数是_______，正弦曲线关于_____对称． [注意]　(1)函数y＝sinx的图象有无数个对称中心，它们是点(kπ，0)(k∈Z)．这些点也就是所有函数值为0的点，即平衡点． (2)函数y＝sinx的图象是轴对称图形，它有无数条对称轴，它们是直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)． 知识点三　五点(画图)法 我们作函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象时，在精确度要求不太高时，常常先描出________，_________，________，__________，_________这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图，这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1)) 1．正弦函数的图象 画正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象．有五个关键点，它们是(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，因此描出这五点后，正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]图象的形状基本上就确定了．在描点时，光滑曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形状，经过位于x轴的点时要改变“圆弧的圆心位置”． 2．正弦函数的性质 (1)正弦函数y＝sinx的对称轴为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；并且对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是正弦函数的最值；对称中心为(kπ，0)(k∈Z)；正弦函数的图象与x轴的交点均是正弦函数的对称中心． (1)y＝sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称．(　　) (2)正弦函数在定义域内是单调函数．(　　) (3)存在x∈R满足sinx＝eq \r(2).(　　) 2．做一做 (1)下列各点中，不在y＝sinx图象上的是(　　) A．(0，0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1)) D．(π，1) (2)从函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象来看，对应于sinx＝eq \f(1,2)的x有(　　) －eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝2sinx 0 2 0 －2 0 y＝3－sinx 3 2 3 4 3 x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝sinx－2 －2 －1 －2 －3 －2 求函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))的周期． 解　∵3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x－2π))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))， 即3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))， ∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－3x))的周期是eq \f(2π,3). (2)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6))). 解：(1)∵sin2x＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)，∴函数y＝sin2x的周期是π. (2)∵2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)＋2π))，即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4π,2)－\f(π,6)))， ∴函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))的周期是4π. ①sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))； ②sineq \f(7,4)与coseq \f(5,3). 解　①因为－eq \f(π,2)<－eq \f(π,10)<－eq \f(π,18)<0，正弦函数y＝sinx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上是增函数， 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))). ②因为coseq \f(5,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，又eq \f(π,2)<eq \f(7,4)<eq \f(π,2)＋eq \f(5,3)<eq \f(3π,2)， 而正弦函数y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是减函数， 所以sineq \f(7,4)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))， 即sineq \f(7,4)>coseq \f(5,3). 解　因为y＝－2sinx－1， 所以函数y＝－2sinx－1的单调递增区间就是函数y＝sinx的单调递减区间． 所以eq \f(π,2)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)， 所以函数y＝－2sinx－1的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)． A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z) C．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) D．[2kπ－π，2kπ](k∈Z) ①sin250°与sin260°；②sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4))). 解：①sin250°＝sin(180°＋70°)＝－sin70°，sin260°＝sin(180°＋80°)＝－sin80°. 因为0°<70°<80°<90°，且函数y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))是增函数，所以sin70°<sin80°， 所以－sin70°>－sin80°，即sin250°>sin260°. ②sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＝－sineq \f(23π,5)＝－sineq \f(3π,5)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5)))＝－sineq \f(2π,5). sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝－sineq \f(17π,4)＝－sineq \f(π,4). 因为0<eq \f(π,4)<eq \f(2π,5)<eq \f(π,2)，且函数y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))是增函数，所以sineq \f(π,4)<sineq \f(2π,5)， 所以－sineq \f(π,4)>－sineq \f(2π,5)， 即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))<sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4))). (3)y＝eq \f(sinx－2,sinx－1). 解　(1)当sinx≥0时，y＝2sinx≤2，这时0≤y≤2； 当sinx<0时，y＝0.∴函数的值域为[0，2]． (2)y＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2. ∵－1≤sinx≤1，∴y∈[－4，0]． (3)解法一：∵y＝eq \f(sinx－2,sinx－1)＝eq \f(sinx－1－1,sinx－1)＝1－eq \f(1,sinx－1)＝1＋eq \f(1,1－sinx)， ∴当sinx＝－1时，ymin＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)， 得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)). 解法二：由y＝eq \f(sinx－2,sinx－1)，得sinx＝eq \f(y－2,y－1)，又－1≤sinx≤1， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,y－1)≥－1，,\f(y－2,y－1)≤1，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥\f(3,2)或y<1，,y>1，))∴y≥eq \f(3,2).∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)). 解：设sinx＝t，t∈[－1，1]，所以y＝1－sin2x－asinx＋b＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(a2,4)＋b＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(a2,4)＋b＋1. ①当－1<－eq \f(a,2)<0，即0<a<2时，ymax＝eq \f(a2,4)＋b＋1＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此时t＝－\f(a,2)))，ymin＝－a＋b＝ －4(此时t＝1)． 解得a＝2，b＝－2或a＝－6，b＝－10.都不满足a的范围，舍去． ②当－eq \f(a,2)≤－1，即a≥2时，ymax＝a＋b＝0， 此时t＝－1，即sinx＝－1，又0≤x<2π，所以x＝eq \f(3π,2)； ymin＝b－a＝－4，此时t＝1，即sinx＝1，又0≤x<2π，所以x＝eq \f(π,2). 同时，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b－a＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2.)) 综上所述，a＝2，b＝－2，且y取最大值时x的值是eq \f(3π,2)，y取最小值时x的值是eq \f(π,2). (1)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,2)))；(2)f(x)＝eq \r(2sinx－1)；(3)f(x)＝lgeq \f(1－sinx,1＋sinx). 解　(1)函数定义域为R，且f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,2)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝eq \r(2)cosx，显然有 f(－x)＝f(x)恒成立．∴函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,2)))为偶函数． (2)由2sinx－1≥0，即sinx≥eq \f(1,2)，得函数定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数． (3)由eq \f(1－sinx,1＋sinx)>0，得(1－sinx)(1＋sinx)>0，∴－1<sinx<1. ∴x≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，函数定义域关于原点对称． ∵f(－x)＝lg eq \f(1－sin(－x),1＋sin(－x))＝lg eq \f(1＋sinx,1－sinx) ＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－sinx,1＋sinx))) eq \s\up12(－1)＝－lg eq \f(1－sinx,1＋sinx)＝－f(x)， ∴函数f(x)＝lg eq \f(1－sinx,1＋sinx)为奇函数． 【感悟提升】　 (1)判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数． (2)本例(3)中用到了运算logaeq \f(1,N)＝logaN－1＝－logaN，很有代表性． 【跟踪训练】 5．(1)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝eq \r(2)sin2x；②f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))；③f(x)＝eq \f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx). 解：①显然x∈R，f(－x)＝eq \r(2)sin(－2x)＝－eq \r(2)sin2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． ②∵x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－coseq \f(3x,4)， ∴f(－x)＝－coseq \f(3(－x),4)＝－coseq \f(3x,4)＝f(x)，∴函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数． ③函数应满足1＋sinx≠0，∴函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))， 显然定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． 解：f(x)的定义域为R，且为奇函数， 则x＝0时，得f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. 当x<0时，－x>0，故f(－x)＝sin(－x)－x＋1＝－sinx－x＋1. 又因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－sinx－x＋1. 所以当x<0时，f(x)＝sinx＋x－1. 综上所述，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx＋x＋1，x>0，,0，x＝0，,sinx＋x－1，x<0.)) 2．函数y＝2sinx＋eq \f(1,2)的值域为(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))) D．R 解析：由y＝sinx的值域为[－1，1]，得y＝2sinx的值域为[－2，2]，则y＝2sinx＋eq \f(1,2)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))). 4．函数f(x)＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(15π,2)))是(　　) A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为3π的奇函数 D．周期为eq \f(4π,3)的偶函数 解析：f(x)＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(π,2)))＝-7coseq \f(2,3)x(x∈R)，因为f(x)＝-7coseq \f(2,3)x＝-7coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋2π))＝－7coseq \f(2,3)(x＋3π)，所以T＝3π，且f(－x)＝－7coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)x))＝－7coseq \f(2,3)x＝f(x)，即f(x)是周期为3π的偶函数． x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sinx 0 1 0 －1 0 sinx－1 －1 0 －1 －2 －1 一、选择题 1．下列为正弦曲线的一个对称点的是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) B．(π，0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1)) D．(0，1) 解析：首先作出(或想象出)y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，如图．然后作出(或想象出)y＝－sinx，x∈[0，2π]的图象(虚线部分)；最后作出(或想象出)y＝－sinx＋1的图象．易得图象应为B.本题亦可验证(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))两点． 解析：sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．因为0<π－3<π－2<eq \f(π,2)，且y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以sin3<sin2，又π<4<eq \f(3π,2)，所以sin4<0，所以a<c<b. 4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))时，f(x)＝sinx，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)))的值为(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)＋2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，又f(x)为R上的奇函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2). 5．(多选)已知函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增 C．f(x)在区间[－π，π]上有4个零点 D．f(x)的最大值为2 解析：解法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|－sinx|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，故A正确；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝sinx＋sinx＝2sinx，易得f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，故B不正确；当x∈[0，π]时，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝sinx＋sinx＝2sinx，令2sinx＝0，得x＝0或x＝π，又函数f(x)是偶函数，故f(x)在[－π，0)上有一个零点－π，所以f(x)在区间[－π，π]上有3个零点，故C不正确；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈N)时，f(x)＝2sinx；当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈N)时，f(x)＝0，又f(x)为偶函数，所以f(x)的最大值为2，故D正确． －eq \f(11,12) 7．已知sinx＋siny＝eq \f(1,3)，则t＝siny＋sin2x－1的最大值是____，最小值是_____． 解析：∵sinx＋siny＝eq \f(1,3)，∴siny＝eq \f(1,3)－sinx.又－1≤siny≤1，∴－1≤eq \f(1,3)－sinx≤1，∴－eq \f(2,3)≤sinx≤1.∴t＝eq \f(1,3)－sinx＋sin2x－1＝sin2x－sinx－eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(11,12).∴当sinx＝－eq \f(2,3)时，t取得最大值eq \f(4,9)；当sinx＝eq \f(1,2)时，t取得最小值－eq \f(11,12). eq \f(4,9) 8．若函数f(x)＝1＋4sinx－t在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2π))上有2个零点，则t的取值范围是__________________． 解析：令f(x)＝0，可得sinx＝eq \f(t－1,4).由题意可知y＝sinx在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2π))上的图象与直线y＝eq \f(t－1,4)有两个交点．作出函数y＝sinx在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2π))上的图象和直线y＝eq \f(t－1,4)，如图所示． 则eq \f(1,2)<eq \f(t－1,4)<1或－1<eq \f(t－1,4)<0，解得3<t<5或－3<t<1. 三、解答题 9．求下列函数的值域． (1)y＝sinx＋eq \f(2,sinx)，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)y＝sin2x－4sinx＋5. 解：(1)∵0<x≤eq \f(π,2)，∴0<sinx≤1. 设t＝sinx，则y＝g(t)＝t＋eq \f(2,t)，t∈(0，1]． ∵g(t)在(0，1]上为减函数， ∴t＝1时，g(t)min＝3， ∴y≥3.故原函数的值域为[3，＋∞)． 10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝2－sinx，求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))时，f(x)的解析式． 解：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))时，3π－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∵当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝2－sinx， ∴f(3π－x)＝2－sin(3π－x)＝2－sinx. 又f(x)是以π为周期的偶函数，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)． ∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))时，f(x)的解析式为f(x)＝2－sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π)). 11．若函数y＝a－bsinx(b>0)的最大值为eq \f(3,2)，最小值为－eq \f(1,2)，则函数y＝－4asinbx的最大值为______，最小正周期为______． 解析：由题意，可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(3,2)，,a－b＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝1.)) 所以函数y＝－4asinbx＝－2sinx的最大值为2，最小正周期为2π. 12．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤eq \f(17,4)对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 解：令t＝sinx，则t∈[－1，1]，则原函数可化为g(t)＝－t2＋t＋a＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋a＋eq \f(1,4). 当t＝eq \f(1,2)时，g(t)max＝a＋eq \f(1,4)，即f(x)max＝a＋eq \f(1,4)； 当t＝－1时，g(t)min＝a－2，即f(x)min＝a－2. 故对于一切x∈R，函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－2，a＋\f(1,4))).所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,4)≤\f(17,4)，,a－2≥1，))解得3≤a≤4. $$