第1章 平面向量及其应用 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

第1章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　原式＝＋＋＋＋＝． 2．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　) A．(2，16) B．(－2，－16) C．(4，16) D．(2，0) 答案　A 解析　设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)，所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以所以 3．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　C 解析　∵a＝(1，1)，b＝(2，5)，∴8a－b＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又(8a－b)·c＝30，∴(6，3)·(3，x)＝18＋3x＝30．∴x＝4． 4．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积S为(　　) A． B． C． D．6 答案　A 解析　由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0．∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2·．∴c＝2，从而b＝4．∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝． 5．已知向量a＝(m，2)，b＝(1，1)．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 答案　A 解析　根据题意，向量a＝(m，2)，b＝(1，1)，则a＋b＝(m＋1，3)，则|a＋b|＝，|a|＝，|b|＝．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则有＝＋，两边平方得到m＋2＝·，再平方得到m2－4m＋4＝0，解得m＝2．故选A． 6．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是(　　) A． km B． km C． km D． km 答案　B 解析　如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意，知AM＝8×＝2(km)，BN＝12×＝3(km)，MB＝AB－AM＝3－2＝1(km)，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB×BNcos120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝ km． 7．(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要而不充分条件．故选A． 8．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sinA＋sinC＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理，得sinAsinC＝sin2B＝．由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，再由正弦定理，得sin2A＋sin2C＝sinAsinC＝，所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝，因为A，C为三角形的内角，所以sinA＋sinC>0，所以sinA＋sinC＝．故选C． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　) A．(4，－8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) 答案　AD 解析　因为|b|＝4|a|，a∥b，所以b＝4a或b＝－4a．又a＝(1，－2)，所以b可能是(4，－8)和(－4，8)．故选AD． 10．如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝－ 答案　ABD 解析　因为四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，所以＝＋＝＋，A正确；因为CM为△ACB的中线，所以＝＋，所以＝＋，B正确；＝－＝＋－＝－，D正确；＝＋＝＋－＝＋－＝－，C错误．故选ABD． 11．已知向量a，b，c在同一平面内且两两不共线，则下列命题为真命题的是(　　) A．给定向量a，b，总存在向量c，使a＝b＋c B．给定向量a，b，c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc C．给定向量a，单位向量b，正实数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc D．若|a|＝2，且存在单位向量b，c和正实数λ，μ，使a＝λb＋μc，则3λ＋3μ>6 答案　ABD 解析　给定向量a，b，显然存在向量c，使a＝b＋c，即a－b＝c，所以A是真命题；由平面向量的基本定理可得B是真命题；C选项中，取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，设c＝(x，y)，则(4，4)＝λ(1，0)＋2(x，y)，即解得y＝2，因为c为单位向量，所以|y|≤1，所以C不是真命题；D选项中，|a|＝2，a＝λb＋μc，且向量b，c的模都为1，又a，b，c两两不共线，所以由三角形的三边关系可得|λb|＋|μc|>|a|，即λ＋μ>2．又3λ＋3μ≥2>6，所以D是真命题．故选ABD． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________． 答案　 解析　由题意，知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos60°－5×4＝0，解得m＝． 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cosA，cosB)平行．若c＝2，b＝，则BC边上的中线AD的长为________． 答案　 解析　由于向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行，所以asinB＝bcosA，结合正弦定理得sinAsinB＝sinBcosA，由于sinB>0，所以sinA＝cosA，由于0<A<π，所以A＝．＝(＋)，两边平方得2＝(2＋2·＋2)＝＝＝，所以||＝． 14．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为________． 答案　　－ 解析　解法一：因为点E为线段CD的三等分点，且CE＝DE，所以＝，则＝＋＝＋，可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝．由题意，知||＝||＝1，·＝0，因为F为线段BE上的动点，设＝k＝k＋k，k∈[0，1]，则＝＋＝＋k，又因为G为AF的中点，则＝＋＝－＋＝＋，可得·＝·＝＋k＝－，又因为k∈[0，1]，所以当k＝1时，·取到最小值－． 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，则所以λ＋μ＝．因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈，且G为AF的中点，则G，＝(a＋1，－3a)，＝，则·＝＋(－3a)·＝5－，且a∈，所以当a＝－时，·取到最小值，为－． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝． (1)求|b|； (2)当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值． 解　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝． 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝， 故|b|＝． (2)因为cosθ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°． 16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC． (1)求B； (2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为6，求b． 解　(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理， 得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac． 由余弦定理，得cosB＝＝＝． 因为B∈(0，π)，所以B＝． (2)由(1)得B＝， 所以△ABC的面积为acsinB＝ac＝6，得ac＝24． 由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4． 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28， 所以b＝2． 17．(本小题满分15分)一条宽为 km的河，水流速度的大小为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，一艘船在水中的最大航行速度的大小为4 km/h，问：该船从A码头到B码头怎样安排行船速度可使它最快到达B码头？此时用时多少？ 解　如图，设表示船的最大航行速度，表示水流速度，以AC，AD为邻边作▱ACED，且使AE与AB重合(方向才能确定)，才能最快到达B码头． 由题可知AC⊥AE， 在Rt△AED和▱ACED中， ||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°． ∴||＝＝2， sin∠EAD＝． ∴∠EAD＝30°， ∴∠CAD＝∠EAC＋∠EAD＝90°＋30°＝120°， 该船从A码头到B码头最快用时为＝小时． 答：船的航行速度的大小为4 km/h，与水流速度成120°角时，能最快到达B码头，用时小时． 18．(本小题满分17分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； (3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 解　(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2． ∵A，E，C三点共线， ∴存在实数k，使得＝k， 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2． ∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ∴解得k＝－，λ＝－． (2)＝＋＝－3e1－e2 ＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)． (3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴＝．设点A(x，y)， 则＝(3－x，5－y)． ∵＝(－7，－2)，∴ 解得 即点A的坐标为(10，7)． 19．(本小题满分17分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于I，AI的延长线与边BC交于点P． (1)用和分别表示和； (2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值； (3)确定点P在边BC上的位置． 解　(1)由＝得＝， ∴＝＋＝－＋． ∵＝，∴＝＋＝－＋． (2)将＝－＋，＝－＋代入＝＋λ＝＋μ， 则有＋λ＝＋μ， 即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)， 又与不共线， ∴解得 ∴实数λ和μ的值分别为和． (3)设＝m，＝n， 由(2)知＝＋， ∴＝－＝n－＝n－＝＋＝m＝m－m， ∵与不共线，∴ 解得 ∴＝，即＝2， ∴点P在BC的三等分点且靠近点C处． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$