2.3 简单的三角恒等变换-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

(教师独具内容) 课程标准：1．能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出和差化积、积化和差公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 教学重点：能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明． 教学难点：三角恒等变换的综合应用． 核心素养：1．通过公式的推导培养逻辑推理和数学运算素养．2．借助三角恒等变换的简单应用提升数学运算和数学建模素养． 知识点一　半角公式 S：sin＝±， C：cos＝±， T：tan＝±＝＝． 万能公式：sinα＝， cosα＝，tanα＝． 知识点二　和差化积公式 cosα＋cosβ＝2coscos， cosα－cosβ＝－2sinsin， sinα＋sinβ＝2sincos， sinα－sinβ＝2cossin． 知识点三　积化和差公式 cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]， sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 知识点四　辅助角公式 当cosφ＝，sinφ＝时，asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中0≤φ<2π． 1．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则 (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号． (2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围选用符号． (3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号： α sin cos tan 第一象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ － 第四象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ － (4)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件． 2．和差化积公式的特点 (1)同名函数的和或差才可化积． (2)余弦函数的和或差化为同名函数之积． (3)正弦函数的和或差化为异名函数之积． (4)等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式． (5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正． 3．积化和差公式的特点 (1)同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半． (2)等式左边为单角α，β，等式右边是它们的和(差)角． (3)如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正；无余弦函数，系数为负． 4．辅助角公式的作用 (1)辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)是逆用了两角和的正弦公式，这一变换的重要作用是“化一角一函数”来研究三角函数的性质． (2)对于形如sinα±cosα，sinα±cosα的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正弦、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式，在解法上充分体现了角的变换和整体思想．在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos＝．(　　) (2)存在α∈R，使得cos＝cosα．(　　) (3)对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．(　　) (4)若α是第一象限角，则tan＝．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知180°<α<360°，则sin的值为(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知tan＝2，则cosθ等于(　　) A． B．－ C． D．－ (3)已知2π<θ<4π，且sinθ＝－，cosθ<0，则tan的值为________． (4)函数y＝sin2x＋cos2x的最小值为________． 答案　(1)B　(2)D　(3)－3　(4)－2 题型一　半角公式的应用 [命题角度1]　利用半角公式进行化简计算 例1　(1)化简计算： ①sin4＋sin4＋sin4＋sin4； ②(3π<θ<4π)． [解]　①原式＝sin4＋sin4＋cos4＋cos4＝－2sin2cos2＋－2cos2sin2＝1－sin2＋1－sin2＝2－－＝． ②∵3π<θ<4π，∴<<2π，<<π， ∴cos＝，cos＝－， ∴＝ ＝－cos． (2)已知π<α<，化简：＋ ． [解]　原式＝＋． ∵π<α<，∴<<， ∴cos<0，sin>0， ∴原式＝＋ ＝－＋ ＝－cos． 化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等． [跟踪训练1]　(1)化简计算： ①··； ②sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°． 解　①原式＝··＝·＝·＝＝tan． ②解法一：sin220°＋cos250°＋sin20°cos50° ＝(1－cos40°)＋(1＋cos100°)＋[sin70°＋sin(－30°)] ＝＋(cos100°－cos40°＋sin70°) ＝＋(－2sin70°sin30°＋sin70°) ＝＋(－sin70°＋sin70°)＝． 解法二：sin220°＋cos250°＋sin20°cos50° ＝(1－cos40°)＋cos50°(cos50°＋sin20°) ＝(1－cos40°)＋cos50°(sin40°＋sin20°) ＝(1－cos40°)＋cos50°·2sin30°cos10° ＝(1－cos40°)＋cos50°cos10° ＝(1－cos40°)＋(cos60°＋cos40°)＝． (2)化简：(π<α<2π)． 解　原式＝ ＝ ＝． ∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0， ∴原式＝＝cosα． [命题角度2]　利用半角公式求值 例2　已知|cosθ|＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan的值． [解]　∵|cosθ|＝，<θ<3π， ∴cosθ＝－，<<． ∴sin＝－＝－， cos＝－＝－， ∴tan＝＝2． 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． [跟踪训练2]　已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos与tan的值． 解　①因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝， 所以cosα＝－，cosβ＝． 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝． 因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，即0<<， 所以cos＝＝＝． ②解法一：由①可知，0<<， 所以sin＝＝， 所以tan＝＝． 解法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝， 得sin(α－β)＝＝． 所以tan＝＝＝． 题型二　和差化积公式与积化和差公式的应用 例3　(1)求值：sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°＝(　　) A． B． C． D．1 [解析]　sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°＝2sin30°cos10°＋sin60°－sin80°＝2××sin80°＋－sin80°＝． [答案]　C (2)函数y＝sincosx的最大值为(　　) A． B． C．1 D． [解析]　∵y＝sincosx＝＝＝sin－，∴ymax＝－＝． [答案]　B (3)证明下列恒等式： ①＝tan； ②＝． [证明]　①左边＝ ＝＝＝tan＝右边． ∴原等式成立． ②左边＝ ＝ ＝＝＝右边． ∴原等式成立． (1)积化和差公式可以将两个三角函数的积化为另两个三角函数的和乘常数的形式，所以使用积化和差公式可以起到降次的效果． (2)和差化积公式可以将某些三角函数的和或差化成积的形式，但在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可实行，若是异名，必须先用诱导公式化为同名；若是高次，必须先用二倍角公式化为一次． [跟踪训练3]　(1)已知sinA＋sinB＋sinC＝0，cosA＋cosB＋cosC＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝． 证明　由已知，得sinA＋sinB＝－sinC，① cosA＋cosB＝－cosC．② 和差化积，得2sincos＝－sinC，③ 2coscos＝－cosC．④ ∵当cos＝0时，sinC＝cosC＝0，不满足题意， ∴cos≠0． ③÷④，得tan＝tanC． ∴cos(A＋B)＝ ＝＝cos2C． ①2＋②2，得2＋2cos(A－B)＝1， 即cos(A－B)＝－， ∴cos2A＋cos2B＋cos2C ＝(1＋cos2A＋1＋cos2B＋1＋cos2C) ＝＋[2cos(A＋B)cos(A－B)＋cos2C] ＝＋ ＝． (2)求函数f(x)＝cos＋cos，x∈的最值． 解　cos＋cos ＝2coscos ＝2coscos， ∵cos＝cos ＝coscos－sinsin＝， ∴f(x)＝cos． ∵x∈，∴x＋∈， ∴cos∈， ∴函数f(x)的最大值为， 最小值为×＝． 题型三　三角恒等变换的应用 例4　已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin2x－． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合． [解]　(1)f(x)＝ ＝cos2x－sin2x ＝－ ＝cos2x－， ∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π． (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos，当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值． 此时x的取值集合为． 利用公式研究三角函数性质的思路 要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角(半角)公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B或f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，进而依据y＝sinx或y＝cosx的性质对所求函数进行性质研究． [跟踪训练4]　设函数f(x)＝sinx，x∈R． (1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y＝＋的值域． 解　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数， 所以对任意实数x都有 sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)， 即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ， 故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0． 又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝． (2)y＝＋ ＝sin2＋sin2 ＝＋ ＝1－ ＝1－cos． 因此所求函数的值域是． 1．sin37．5°cos7．5°＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　原式＝[sin(37．5°＋7．5°)＋sin(37．5°－7．5°)]＝(sin45°＋sin30°)＝×＝． 2．已知cosθ＝，且θ∈(0，π)，则cos＝(　　) A． B．－ C．± D．－ 答案　A 解析　∵cosθ＝，且θ∈(0，π)，∴∈，∴cos>0，∴cos＝＝＝． 3．已知<θ<，且sin2θ＝－，则tanθ等于(　　) A．3 B．－ C．－3或－ D．－3 答案　D 解析　∵<θ<，∴π<2θ<，∴cos2θ＝－＝－，∴tanθ＝＝＝－3． 4．函数y＝sin2x＋cos2x的最大值为________． 答案　 解析　∵y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，∴函数的最大值为． 5．已知f(x)＝cos2(x＋θ)－2cosθcosxcos(x＋θ)＋cos2θ，求f(x)的最大值、最小值和最小正周期． 解　f(x)＝cos2(x＋θ)－2×[cos(x＋θ)＋cos(θ－x)]cos(x＋θ)＋cos2θ ＝cos2(x＋θ)－cos2(x＋θ)－cos(x＋θ)cos(θ－x)＋cos2θ ＝cos2θ－cos(x＋θ)cos(θ－x) ＝cos2θ－(cos2θ＋cos2x) ＝－cos2θ－cos2x ＝－cos2x＋． 故f(x)的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π． 一、选择题 1．若π<α<2π，则化简的结果是(　　) A．sin B．cos C．－cos D．－sin 答案　C 解析　∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，原式＝＝＝－cos．故选C． 2．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cosβ－sinβ·cos(α＋β)＝－，则tan的值为(　　) A．－5 B．5 C．－ D． 答案　A 解析　易知sinα＝－，α是第三象限角，∴cosα＝－．∴tan＝＝＝－5． 3．已知cos＝－，则cosx＋cos＝(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 答案　C 解析　解法一：cosx＋cos＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝×＝－1． 解法二：cosx＋cos ＝2coscos ＝2coscos＝2××＝－1． 4．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是(　　) A．1 B．2 C． D．3 答案　C 解析　f(x)＝＋sin2x＝sin＋，∵x∈，∴2x－∈，∵sin∈，∴f(x)max＝1＋＝． 5．(多选)已知函数f(x)＝cos(2x－2α)＋cos2α－2cos(x－α)cosxcosα，下列结论正确的有(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为1 C．f(x)是偶函数 D．f(x)的单调递增区间为，k∈Z 答案　ACD 解析　f(x)＝cos(2x－2α)＋－2cos(x－α)cosxcosα＝＋[cos(2x－2α)＋cos2α]－2cos(x－α)cosαcosx＝＋cosx·cos(x－2α)－cosx[cosx＋cos(x－2α)]＝－cos2x＝－＝－cos2x．f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确；f(x)的最大值为，B错误；∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，C正确；由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z．∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，D正确．故选ACD． 二、填空题 6．＋2的化简结果是________． 答案　－2sin4 解析　原式＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|．∵<4<，∴cos4<0，sin4<cos4．∴原式＝－2cos4＋2cos4－2sin4＝－2sin4． 7．函数y＝coscos的最大值是________． 答案　 解析　y＝coscos＝＝－cos2x，所以当cos2x＝－1时，y有最大值，ymax＝． 8．已知α为第二象限角，且＝，则tan＝________，sin＝________． 答案　－3　 解析　∵α为第二象限角，且＝，∴tanα＝－＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝－，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝－，cos＝cosαcos－sinαsin＝－．∴tan＝＝＝－3．∵sin＝＝＝，cos＝＝＝，sin＝sinαcos＋cosαsin＝×－×＝． 三、解答题 9．在△ABC中，求证： (1)sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBcosC； (2)sinA＋sinB－sinC＝4sinsincos． 证明　(1)左边＝sin2A＋－ ＝sin2A＋(cos2C－cos2B) ＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C) ＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)] ＝sin(B＋C)·2sinBcosC＝2sinAsinBcosC ＝右边， ∴等式成立． (2)左边＝sin(B＋C)＋2sincos ＝2sincos＋2sincos ＝2cos ＝4sinsincos＝右边， ∴原等式成立． 10．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋sinsin，x∈R． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求cos2x0的值． 解　(1)f(x)＝sin2x＋sin2x－cos2x＝＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos2x＋＝2sin＋． 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)由f(x0)＝2sin＋＝0， 得sin＝－<0． 又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤， ∴－≤2x0－<0，∴cos＝， ∴cos2x0＝cos ＝coscos－sinsin ＝×－×＝． 1．已知△ABC的内角A，B，C满足A＝3B＝9C，求cosAcosB＋cosBcosC＋cosCcosA的值． 解　设C＝θ，B＝3θ，A＝9θ，由θ＋3θ＋9θ＝π，得θ＝． 令S＝cosAcosB＋cosBcosC＋cosCcosA， 则S＝coscos＋coscos＋coscos ＝． 等式两边同时乘以4sin，可得 4S·sin＝2sin＝＋＋＋＋＋＝－sin． 所以S＝－． 则cosAcosB＋cosBcosC＋cosCcosA＝－． 2．如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，点A在上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB的面积为S． (1)求S关于θ的函数关系式； (2)求θ为何值时，S有最大值，并求出这个最大值． 解　(1)因为AB⊥OP，所以在Rt△OAB中，AB＝OAsinθ＝2sinθ，OB＝OAcosθ＝2cosθ， S△ABO＝OB·AB＝2sinθcosθ＝sin2θ． 因为AC⊥OQ，∠POQ＝， 所以∠AOC＝－θ， 同理得，S△ACO＝2sincos ＝sin． 从而得S关于θ的解析式为 S＝S△ABO＋S△ACO＝sin2θ＋sin． (2)S＝sin2θ＋sin ＝sin2θ＋sincos2θ－cossin2θ ＝sin2θ＋cos2θ＝sin， 因为0<θ<，所以<2θ＋<， 故当2θ＋＝即θ＝时，S有最大值，最大值为． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$