2.1.3 两角和与差的正切公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

2．1．3　两角和与差的正切公式 (教师独具内容) 课程标准：1．能从两角和的余弦、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能运用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的化简、计算、求值等．3．了解两角和与差的正切公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法，并能灵活运用公式解决问题． 教学重点：两角和与差的正切公式的推导过程及运用． 教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用． 核心素养：1．借助两角和与差的正切公式的推导过程提升逻辑推理素养．2．通过两角和与差的正切公式的灵活运用培养数学运算素养． 知识点　　两角和与差的正切公式 当α，β，α±β均不取kπ＋(k∈Z)时，两角和的正切公式(简记为T(α＋β))：tan(α＋β)＝，两角差的正切公式(简记为T(α－β))：tan(α－β)＝． 1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和． (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．公式T(α±β)的角的范围 (1)公式中的α，β，α＋β，α－β都不能等于kπ＋，k∈Z． (2)当tanα，tanβ，tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式处理有关问题，但可以改用诱导公式或其他方法． 3．公式灵活变形 (1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)tanαtanβ＝1－＝－1． (3)在T(α±β)中，如果分子中出现“1”，常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ．(　　) (2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝．(　　) (3)＝．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知tanα＝1，tanβ＝2，则tan(α＋β)＝________． (3)若tan＝2，则tanα＝________． 答案　(1)D　(2)－3　(3)－3 题型一　给角化简求值 例1　求值：(1)tan105°；(2)． [解]　(1)原式＝tan(60°＋45°) ＝＝＝－(2＋)． (2)原式＝＝tan(45°－75°) ＝tan(－30°)＝－tan30°＝－． 给角化简求值的策略 (1)分析式子的结构，正确选用公式形式． T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一．因此在应用时先从所化简(求值)的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用． 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换． [跟踪训练1]　求值：(1)tan2°＋tan43°＋tan2°·tan43°； (2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)． 解　(1)原式＝tan(2°＋43°)(1－tan2°tan43°)＋tan2°tan43°＝tan45°(1－tan2°tan43°)＋tan2°tan43°＝1． (2)(1＋tan1°)(1＋tan44°) ＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°tan44° ＝1＋tan45°(1－tan1°tan44°)＋tan1°tan44° ＝1＋1＝2， 同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2， … 依次类推，得原式＝222×(1＋tan45°)＝223． 题型二　给值求值 例2　已知tanα＝，则的值是(　　) A．2 B． C．－1 D．－3 [解析]　解法一：因为tanα＝，所以tan＝＝＝3，所以＝＝．故选B． 解法二：＝＝tan＝tanα＝．故选B． [答案]　B 给值求值或求角问题的解题策略 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． [跟踪训练2]　已知α，β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　A 解析　tanβ＝＝＝tan．∵α，β均为锐角，∴β＝－α，即α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1． 题型三　给值求角 例3　已知tanα＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． [解析]　∵α，β∈(0，π)，tanα＝>0，tanβ＝－<0，∴α∈，β∈，∴α＋β∈．∵tan(α＋β)＝＝＝－1，∴α＋β＝，故选B． [答案]　B 在给值求角的过程中应把握好的两点 (1)限定角的范围． (2)求角的某一个三角函数值．二者缺一不可． [跟踪训练3]　在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则C的值是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴tan(A＋B)＝＝－1，∵tan(A＋B)＝－tanC，∴tanC＝1．又0<C<π，∴C＝．故选B． 题型四　公式的综合应用 例4　已知在△ABC中，满足tanA＋tanB＋＝tanAtanB，且sinAcosA＝，判断△ABC的形状． [解]　由tanA＋tanB＋＝tanAtanB， 得＝－， 即tan(A＋B)＝－． ∴tanC＝－tan(A＋B)＝，从而C＝60°． 由sinAcosA＝，得sin2Acos2A＝化为16cos4A－16cos2A＋3＝0，解得cos2A＝或cos2A＝， ∴cosA＝±或cosA＝±． 又0°<A<180°，∴A＝30°或150°或60°或120°． 当A＝150°或120°时，A＋C≥180°，舍去． 当A＝30°时，C＝60°， ∴B＝90°，与tanB有意义矛盾，舍去． ∴A＝60°，B＝60°，C＝60°，即△ABC为正三角形． 在三角形中，应用和、差角公式解题的注意点 (1)三角形的内角和等于180°； (2)创造条件使之能运用两角和与差的三角函数公式； (3)记住常用结论：在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos等． [跟踪训练4]　证明：在△ABC中，tantan＋tantan＋tantan＝1． 证明　在△ABC中，由A＋B＋C＝π，得＋＝－，且，，，＋都不等于， ∴tan＝tan， ∴＝， ∴tan＝1－tantan， ∴tantan＋tantan＝1－tantan， ∴tantan＋tantan＋tantan＝1． 1．的值为(　　) A． B．1 C． D． 答案　A 解析　上式化为＝tan60°＝． 2．若tanβ＝3，tan(α－β)＝－2，则tanα＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 答案　A 解析　tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝＝＝． 3．已知tanα＝2，则tan＝________． 答案　－3 解析　tan＝＝＝－3． 4．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β的值为________． 答案　－ 解析　tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，而α∈(0，π)，∴α∈．∵tanβ＝－，β∈(0，π)，∴β∈，∴－π<α－β<0．而tan(α－β)＝>0，∴－π<α－β<－，∴2α－β∈(－π，0)，又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1，∴2α－β＝－． 5．求值：． 解　原式＝ ＝＝tan(55°－25°) ＝tan30°＝． 一、选择题 1．tan15°＋tan75°＝(　　) A．2 B．2＋ C．4 D． 答案　C 解析　tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)＝＋＝4． 2．已知cosα＝－，且α∈，则tan等于(　　) A．－ B．－7 C． D．7 答案　C 解析　由cosα＝－，且α∈，得tanα＝－，∴tan＝＝． 3．已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，则α＋β的值为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因为tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝＝1，因为0<α<，π<β<，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝． 4．已知M＝sin100°－cos100°，N＝(cos46°·cos78°＋cos44°cos12°)，P＝，Q＝，那么M，N，P，Q之间的大小顺序是(　　) A．M<N<P<Q B．P<Q<M<N C．N<M<Q<P D．Q<P<N<M 答案　B 解析　M＝sin100°－cos100°＝sin(100°－45°)＝sin55°>1，N＝(cos46°cos78°＋cos44°cos12°)＝(sin44°cos78°＋cos44°sin78°)＝sin122°＝sin58°>M，P＝＝tan(45°－10°)＝tan35°<1，Q＝＝tan(22°＋23°)＝tan45°＝1，所以P<Q<M<N．故选B． 5．(多选)已知在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则下列各式正确的是(　　) A．tanAtanB＝ B．tan(A＋B)＝－ C．tanA＝tanB D．cosB＝sinA 答案　ACD 解析　∵C＝120°，∴A＋B＝60°．∴2(A＋B)＝C．∴tan(A＋B)＝＝，故B错误；∵tanA＋tanB＝(1－tanAtanB)＝，∴tanAtanB＝　①，故A正确；又tanA＋tanB＝　②，由①②联立解得tanA＝tanB＝，故C正确；由以上易知，A＝B＝30°，所以cosB＝sinA，故D正确．故选ACD． 二、填空题 6．tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝________． 答案　 解析　tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－tan50°tan20°＝＋tan50°tan20°－tan50°tan20°＝． 7．已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为________． 答案　 解析　由sinα＝且α是第二象限角可得tanα＝－．于是tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝． 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________． 答案　 解析　∵AD⊥BC，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，∴tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝ ＝＝． 三、解答题 9．已知tan＝，α∈，若β∈，且sin＝，求α＋β的值． 解　∵tan＝，α∈， ∴＝，解得tanα＝． ∵β∈，且sin＝， ∴<＋β<， ∴cos<0，cos＝， ∴sinβ＝sin ＝sincos－cossin ＝×－×＝，β∈， ∴cosβ＝，∴tanβ＝． ∴tan(α＋β)＝＝＝1， 又α＋β∈，∴α＋β＝． 10．在下列各条件下，判断△ABC的形状： (1)tanAtanB＝1；(2)tanAtanB>1． 解　(1)由tanAtanB＝1可得·＝1． ∴sinAsinB＝cosAcosB． ∴cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝0． ∵A，B是△ABC的内角，即0<A＋B<π， ∴A＋B＝．∴C＝． ∴△ABC为直角三角形． (2)∵tanAtanB>1， ∴tanA>0，tanB>0且1－tanAtanB<0． ∴tan(A＋B)＝<0． 又tanC＝－tan(A＋B)>0， ∴A，B，C全为锐角，△ABC为锐角三角形． 1．是否存在锐角α和β，使得下列两式同时成立？ (1)α＋2β＝；(2)tantanβ＝2－． 解　假设存在符合题意的锐角α，β． 由(1)得＋β＝， ∴tan＝＝tan＝． 由(2)tantanβ＝2－， 得tan＋tanβ＝3－． ∴tan，tanβ是方程x2－(3－)x＋(2－)＝0的两根． ∴x1＝1，x2＝2－． ∵0<α<，0<<，∴0<tan<1， ∴tan＝2－，tanβ＝1， 又0<β<，∴β＝，代入(1)中，得α＝． ∴存在锐角α＝，β＝，使(1)(2)同时成立． 2．A，B，C为△ABC的内角，且△ABC不为直角三角形． (1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC； (2)当tanC－1＝时，求B． 解　(1)证明：在△ABC中， 由A＋B＋C＝π，得A＋B＝π－C， ∴tan(A＋B)＝tan(π－C)， ∴＝－tanC， ∴tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC， ∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC． (2)由tanC－1＝，得 tanAtanC＝tanA＋tanB＋tanC ＝tanAtanBtanC， ∴tanB＝． ∵B为△ABC的内角，∴B＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$