2.1.2 两角和与差的正弦公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

2．1．2　两角和与差的正弦公式 (教师独具内容) 课程标准：1．能从两角和的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式．2．会用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．3．了解两角和与差的正弦公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法，并能灵活运用公式解决问题． 教学重点：两角和与差的正弦公式的推导和运用． 教学难点：熟悉两角和与差的正弦公式的常见变形，并能灵活应用． 核心素养：1．借助两角和与差的正弦公式的推导过程提升逻辑推理素养．2．通过两角和与差的正弦公式的灵活运用培养数学运算素养． 知识点　两角和与差的正弦公式 两角差的正弦公式(简记为S(α－β))：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ； 两角和的正弦公式(简记为S(α＋β))：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ． 1．公式C(α±β)与S(α±β)的联系 四个公式C(α±β)，S(α±β)虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为 这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式． 2．注意公式的结构特征和符号规律 (1)对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”． (2)对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”． 3．两角和与差的正弦公式中α，β的特征 α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 4．三角函数化简求值的注意点 在三角函数化简求值时，要注意“三看”，即：(1)看角．把角尽量向特殊角或可计算的角转化，如果条件中的角不是单角．要把它看作一个整体，用它表达目标中的角；(2)看名称．把一道题中出现的三角函数名称尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦；(3)看式子．看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接运用，如果不满足，用诱导公式转化一下角或转换一下名称，然后再运用． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立．(　　) (2)对任意实数α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ都成立．(　　) (3)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)sin47°cos43°＋cos47°sin43°等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D． (2)已知θ为锐角，且sinθ＝，则sin(θ＋45°)＝(　　) A． B．－ C． D．－ (3)若cosα＝－，且α是第二象限的角，则sin＝________． 答案　(1)B　(2)A　(3) 题型一　给角求值 例1　计算： (1)cos285°cos15°－sin255°sin15°； (2)sin7°cos37°－sin83°cos307°； (3)sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)． [解]　(1)原式＝cos(270°＋15°)cos15°－sin(270°－15°)sin15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin(15°＋15°)＝sin30°＝． (2)原式＝sin7°cos37°－cos7°cos(270°＋37°)＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－． (3)原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinx·cos60°－2cosxsin60°－cos120°cosx－sin120°·sinx＝3sinxcos60°－cosxsin60°＋cos60°cosx－sin60°sinx＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0． 解决给角求值问题的策略 解决此类问题一般是先用诱导公式把角化小，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特征，选择合适的公式进行求值． 注意角之间的关系，特别是与特殊角之间的关系是解题的关键． [跟踪训练1]　求值： (1)sincos－sinsin； (2)； (3)2sin(α－β)cosα－sin(2α－β)＋sinβ． 解　(1)因为＝－， 所以原式＝sincos－sinsin ＝sincos－cossin ＝sin＝sin＝． (2)原式＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝2－． (3)原式＝2sin(α－β)cosα－sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＋sinβ ＝sin(α－β)cosα－sinαcos(α－β)＋sinβ ＝sin[(α－β)－α]＋sinβ＝－sinβ＋sinβ＝0． 题型二　给值求值 例2　(1)已知sinθ＝，θ∈，求sin． [解]　∵θ∈，sinθ＝， ∴cosθ＝－， ∴sin＝sinθcos＋cosθsin ＝×＋×＝． (2)已知sin＝，θ∈，求sinθ． [解]　∵θ∈，∴θ－∈， 又sin＝， ∴cos＝＝， ∴sinθ＝sin ＝sincos＋cossin ＝×＋×＝． 解决给值求值问题的策略 (1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． [跟踪训练2]　设α∈，β∈，若cosβ＝－，sin(α＋β)＝，则sinα的值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由cosβ＝－，sin(α＋β)＝可得sinβ＝，cos(α＋β)＝－．所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝×－×＝． 题型三　给值求角 例3　已知sinα＝－，cosβ＝，且α∈，β∈，求α＋β的值． [解]　因为α∈，β∈，且sinα＝－，cosβ＝，所以cosα＝，sinβ＝，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－×＋×＝．又因为α∈，β∈，所以α＋β∈，故α＋β＝． 根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定．一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cosθ；若θ∈，则通常求sinθ，否则容易导致增解． [跟踪训练3]　已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________． 答案　 解析　由条件知cosα＝，cos(α－β)＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝．又β为锐角，所以β＝． 题型四　证明三角恒等式 例4　已知sin(2α＋β)＝5sinβ， 求证：2tan(α＋β)＝3tanα． [证明]　sin(2α＋β)＝5sinβ ⇒sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα ⇒2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα ⇒2tan(α＋β)＝3tanα． 证明三角恒等式的常用方法 (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻“盯”着目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”； (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； (3)把要证的等式进行等价变形； (4)作差法，证明其差为0． [跟踪训练4]　求证：－2cos(α＋β)＝． 证明　∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ， ∴－2cos(α＋β)＝． 1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝． 2．sinθ＋sin＋sin的值为(　　) A．0 B． C．1 D．2 答案　A 解析　原式＝sinθ＋sinθcos＋cosθsin＋sinθcos＋cosθsin＝sinθ－sinθ＋cosθ－sinθ－cosθ＝0． 3．若锐角α，β满足cosα＝，cos(2α＋β)＝，则sin(α＋β)＝(　　) A． B． C． D．－ 答案　C 解析　∵锐角α满足cosα＝，∴sinα＝＝，∴α∈．∵cos(2α＋β)＝，∴2α＋β∈，sin(2α＋β)＝＝，则sin(α＋β)＝sin[(2α＋β)－α]＝sin(2α＋β)cosα－cos(2α＋β)sinα＝×－×＝，故选C． 4．若cosα＝－，α是第三象限角，则sin＝________． 答案　－ 解析　由题意，知sinα＝－，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝－×－×＝－． 5．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值． 解　因为<β<α<， 所以0<α－β<，π<α＋β<． 又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－， 所以sin(α－β)＝＝＝， cos(α＋β)＝－＝－＝－． 所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝×＋×＝－． 一、选择题 1．sin105°＋sin15°＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　sin105°＋sin15°＝sin(45°＋60°)＋sin(60°－45°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＋sin60°·cos45°－cos60°sin45°＝2cos45°sin60°＝． 2．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝(　　) A．0 B． C． D．1 答案　D 解析　∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)．∵α，β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1． 3．若锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ的值是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵cosα＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，∴0<α＋β<π，∴sinα＝，sin(α＋β)＝．∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝． 4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　C 解析　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cosBsinA＝sinC，∴2cosBsinA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴cosBsinA－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，又角A，B，C为△ABC的内角，∴A＝B．故选C． 5．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则α＋β的值为(　　) A． B． C． D．或 答案　A 解析　∵<α<，<β<，∴－<－α<0，<＋β<．∴cos＝＝，cos＝－＝－，∴sin(α＋β)＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝．又<α＋β<π，∴α＋β＝． 二、填空题 6．化简：cos＋sin＝________． 答案　cosα 解析　原式＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα＝cosα． 7．已知向量＝(5，12)，将向量绕原点O顺时针旋转60°到的位置，则点A′的坐标为________． 答案　 解析　如图，设A′(x，y)，∠xOA＝α，所以∠xOA′＝α－60°，则|OA|＝＝13，所以cosα＝，sinα＝，因此x＝13cos(α－60°)＝13(cosαcos60°＋sinαsin60°)＝13＝．同理y＝，所以A′． 8．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，3cosA＋4sinB＝1，则C＝________． 答案　 解析　 由①2＋②2，得9＋16＋24sin(A＋B)＝37， ∴sin(A＋B)＝． ∴在△ABC中，sinC＝，∴C＝或C＝． 若C＝，则A＋B＝． ∵1－3cosA＝4sinB>0，∴cosA<． 又<，∴A>． 此时A＋C>π，不符合题意， ∴C≠，∴C＝． 三、解答题 9．求证：＝1－． 证明　左边＝ ＝＝1－＝右边， ∴原式成立． 10．已知<α<，0<β<，cos＝－， sin＝，求sin(α＋β)的值． 解　∵<α<，∴<＋α<π． 又cos＝－， ∴sin＝＝． ∵0<β<，∴<＋β<π． 又sin＝， ∴cos＝－＝－． ∴sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)] ＝－sin ＝－ ＝－＝． 1．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝． (1)求实数A的值； (2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f的值． 解　(1)由题意，得f＝Asin＝Asin＝A＝，所以A＝3． (2)由(1)，得f(x)＝3sin， 所以f(θ)－f(－θ) ＝3sin－3sin ＝3－3＝， 所以sinθ＝． 因为0<θ<， 所以cosθ＝＝＝， 所以f＝3sin ＝3sin＝3cosθ＝3×＝． 2．已知函数f(x)＝(cosx－sinx)sin－2asinx＋b(a>0)有最大值1和最小值－4，求a，b的值． 解　f(x)＝(cosx－sinx)sin－2asinx＋b＝(cos2x－sin2x)－2asinx＋b ＝(1－2sin2x)－2asinx＋b ＝－(sinx＋a)2＋＋a2＋b(－1≤sinx≤1)． 当a≥1时，依题意，得 解得 当0<a<1时，依题意可得 解得a＝－1(舍去)或a＝－－1(舍去)． 综上可得a＝，b＝－1． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$