2.1.1 两角和与差的余弦公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

2．1．1　两角和与差的余弦公式 (教师独具内容) 课程标准：1．经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．2．能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．3．能用两角和与差的余弦公式进行简单的恒等变换． 教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用． 教学难点：两角差的余弦公式的推导过程． 核心素养：1．通过两角差的余弦公式的推导培养数学运算素养．2．借助公式的变形、正用、逆用提升逻辑推理和数学运算素养． 知识点　两角和与差的余弦公式 两角差的余弦公式(简记为C(α－β))：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； 两角和的余弦公式(简记为C(α＋β))：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ． 　对两角和与差的余弦公式的几点说明 (1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦、右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式的适用条件 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β． (3)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． (4)角变换后使用 cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ， cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)， cos＝cos＝coscos＋sinsin． (5)移项使用 cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ； sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ． (6)特殊化使用导出诱导公式 cos＝coscosα＋sinsinα＝sinα． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意的实数α，β，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ都不成立．(　　) (2)对任意的α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(　　) (3)coscos－sinsin＝cos2α．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为(　　) A．－ B． C． D．－ (2)下列式子中，正确的个数为(　　) ①cos(α－β)＝cosα－cosβ； ②cos＝sinα； ③cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ． A．0 B．1 C．2 D．3 (3)①cos165°＝________； ②若α∈，sinα＝，则cos＝________． 答案　(1)B　(2)A　(3)①－　② 题型一　直接利用公式求值 例1　化简、求值： (1)cos75°； (2)sin163°sin223°＋sin253°sin313°； (3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ． [解]　(1)cos75°＝cos(120°－45°) ＝cos120°cos45°＋sin120°sin45° ＝－×＋×＝． (2)sin163°sin223°＋sin253°sin313° ＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°) ＝－sin17°sin43°＋sin73°sin47° ＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43° ＝cos(17°＋43°)＝cos60°＝． (3)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα． 利用公式C(α－β)求值的方法技巧 在利用两角差的余弦公式求含有非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地正用公式或逆用公式求值． [跟踪训练1]　计算下列各式的值： (1)coscos＋cossin； (2)cos105°＋sin195°； (3)cos(x＋27°)cos(18°－x)－sin(x＋27°)·sin(18°－x)． 解　(1)coscos＋cossin ＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝． (2)cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°) ＝2cos105°＝2cos(135°－30°) ＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°) ＝2×＝． (3)cos(x＋27°)cos(18°－x)－sin(x＋27°)·sin(18°－x) ＝cos[(x＋27°)＋(18°－x)]＝cos45°＝． 题型二　给值求值 例2　(1)已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　因为sinα－sinβ＝1－， 所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝．① 因为cosα－cosβ＝， 所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝．② ①②两式相加，得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋．所以－2cos(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝．故选D． [答案]　D (2)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________． [解析]　由条件，得<α＋β<2π，<β－<，∴cos(α＋β)＝，cos＝－，∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－． [答案]　－ 给值求值的解题步骤 (1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等． (3)求解．结合公式C(α±β)求解便可． [跟踪训练2]　已知sin＝，<α<，则cosα的值是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵<α<，∴<＋α<π．∴cos＝－＝－．∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝． 题型三　给值求角 例3　已知α，β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，求cosβ的值及β的大小． [解]　∵α为锐角，且sinα＝， ∴cosα＝＝＝． 又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)． ∵sin(α＋β)＝<sinα，∴α＋β∈． ∴cos(α＋β)＝－ ＝－＝－． ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝×＋×＝． 又β为锐角，∴β＝． 给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． [跟踪训练3]　若cos(α－β)＝，cos2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝________． 答案　 解析　因为0<α<，0<β<，α<β，所以－<α－β<0．又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝－＝－．又因为0<2α<π，cos2α＝，所以sin2α＝＝，所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝×＋×＝－．又0<α＋β<π，故α＋β＝． 题型四　证明三角恒等式 例4　证明：cos(α＋β＋γ)＋cos(α＋β－γ)＋cos(γ＋α－β)＋cos(γ－α＋β)＝4cosαcosβcosγ． [证明]　原式左边＝cos[(α＋β)＋γ]＋cos[(α＋β)－γ]＋cos[γ＋(α－β)]＋cos[γ－(α－β)] ＝cos(α＋β)cosγ－sin(α＋β)sinγ＋cos(α＋β)cosγ＋sin(α＋β)sinγ＋cosγcos(α－β)－sinγ·sin(α－β)＋cosγcos(α－β)＋sinγsin(α－β) ＝2cos(α＋β)cosγ＋2cos(α－β)cosγ ＝2cosγ[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝2cosγ·2cosαcosβ ＝4cosαcosβcosγ＝右边， 所以等式成立． 证明三角恒等式遵循的原则 由繁到简，化异为同．常用的方法有：由一边到另一边(即由等式的一边开始逐步化简到与另一边相同为止)；左右归一(左右两边同时化简为一个相同的式子)等． [跟踪训练4]　证明：cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β． 证明　原式左边＝(cosαcosβ－sinαsinβ)·(cosαcosβ＋sinαsinβ) ＝cos2αcos2β－sin2αsin2β ＝cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β ＝cos2α－cos2αsin2β－sin2β＋cos2αsin2β ＝cos2α－sin2β＝右边，所以等式成立． 1．计算cos70°cos335°＋sin110°sin25°的结果是(　　) A．1 B． C． D． 答案　B 解析　原式＝cos70°cos25°＋sin70°sin25°＝cos(70°－25°)＝cos45°＝． 2．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由0<β<α<，得0<α－β<，又cosα＝，cos(α－β)＝，∴sinα＝＝，sin(α－β)＝＝，则cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，故β＝． 3．(多选)已知α，β，γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是(　　) A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 答案　AC 解析　由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ．两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，cos(β－α)＝，故A正确．∵sinγ＝sinβ－sinα>0，又α，β∈，∴β>α，0<β－α<．∴β－α＝，故C正确． 4．若cos＝，α∈，则cosα的值为________． 答案　 解析　∵α∈，cos＝，∴sin＝，∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝． 5．已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β∈，求cos(α－β)的值． 解　∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－． 又cosβ＝－，β∈，∴sinβ＝－． ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝×＋×＝． 一、选择题 1．cos555°的值是(　　) A．＋ B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　cos555°＝cos195°＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－×－×＝－．故选B． 2．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　B 解析　因为cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝， 所以 解得所以tanαtanβ＝＝－． 3．已知cosα＝－，α∈，sinβ＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　A 解析　因为α∈，所以sinα＝，因为β是第三象限角，所以cosβ＝－，所以cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－． 4．已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β等于(　　) A． B． C．或 D．2kπ＋(k∈Z) 答案　B 解析　∵α，β为锐角，且sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝．又0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝． 5．(多选)下列关于函数f(x)＝cos·cos(－x)－sinsinx的性质叙述正确的是(　　) A．最小正周期为π B．函数图象关于直线x＝对称 C．函数图象关于直线x＝－对称 D．函数图象关于点对称 答案　ABC 解析　函数f(x)＝coscos(－x)－sinsinx＝coscos(－x)＋sinsin(－x)＝cos＝cos，所以函数的最小正周期是π，故A正确；由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数图象关于直线x＝－，k∈Z对称，故B，C正确；由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以函数图象关于点对称，其中k∈Z，故D不正确．故选ABC． 二、填空题 6．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________． 答案　－ 解析　原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝－． 7．已知点P(－4，－3m)在角α的终边上，且sinα＝，则cos的值为________． 答案　－ 解析　由题意及正弦函数的定义可得x＝－4，y＝－3m，r＝．∵sinα＝，∴sinα＝＝＝，∴y>0，即m<0，解得m＝－1，∴cosα＝＝－，∴cos＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝－． 8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为________． 答案　0 解析　∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，① cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，② 由①＋②，得2cosαcosβ＝0，∴cosαcosβ＝0． 三、解答题 9．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求证：cos2β＋1＝0． 证明　∵cos(α－β)＝－，<α－β<π， ∴sin(α－β)＝． ∵sin(α＋β)＝－，<α＋β<2π， ∴cos(α＋β)＝． ∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝×＋×＝－1． ∴cos2β＋1＝0． 10．已知cos＝，sin(α＋β)＝，其中0<α<<β<π．求cos的值． 解　∵0<α<<β<π， ∴<β－<，<α＋β<． ∵cos＝，sin(α＋β)＝， ∴sin＝，cos(α＋β)＝－， ∴cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝－×＋×＝． 1．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，且0≤α<β<γ<2π，求β－α的值． 解　∵cosα＋cosβ＋cosγ＝sinα＋sinβ＋sinγ＝0， ∴cosγ＝－cosα－cosβ，sinγ＝－sinα－sinβ． ∵sin2γ＋cos2γ＝1， ∴(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝1， 整理，得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1， 即cosαcosβ＋sinαsinβ＝－， ∴cos(β－α)＝－． ∵0≤α<β<2π，∴0<β－α<2π， ∴β－α＝或．① 同理可得cos(γ－β)＝－， 解得γ－β＝或．② cos(γ－α)＝－，解得γ－α＝或．③ ∵0≤α<β<γ<2π， ∴β－α＝，γ－β＝，γ－α＝． 故β－α的值为． 2．已知在△ABC中，sinA＝，cosB＝，求cosC的值． 解　∵cosB＝<，∴B∈且sinB＝． ∵sinA＝<，∴A∈∪． 若A∈，又B∈，则A＋B∈， 这与A＋B＋C＝π矛盾，∴A∉，故A∈． 由sinA＝，得cosA＝． ∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B) ＝－cosAcosB＋sinAsinB ＝－×＋×＝． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$