1.7 平面向量的应用举例-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

(教师独具内容) 课程标准：会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 教学重点：1．学习用向量方法解决某些简单的平面几何及一些实际问题．2．了解用向量方法解决某些简单的力学与其他一些实际问题的过程．3．培养运用向量知识解决物理问题的能力． 教学难点：1．选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题．2．选择恰当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题． 核心素养：1．通过运用向量方法解决某些简单的平面几何问题培养逻辑推理和直观想象素养．2．通过运用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题培养数学建模素养． 知识点一　向量在平面几何中的应用 (1)平面几何中的平行、全等、相似、长度等都可以由向量的线性运算表示出来． (2)用向量解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系． (3)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用共线向量基本定理：a∥b⇔b＝λa(λ∈R，a≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． (4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式： |a|＝(a＝(x，y))． 知识点二　向量在物理中的应用 (1)向量在力的分解与合成中的应用．由于力是向量，它的分解与合成与向量的减法与加法相类似，可以用向量来解决． (2)向量在速度的分解与合成中的应用． 1．用向量解决平面几何问题的两种方法 (1)向量几何法：选取适当的基，将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)向量坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、平行等问题转化为代数运算． 说明：对于有些平面几何问题(如与长方形、正方形、直角三角形等有关的问题)，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决平面几何问题． 2．向量在物理中的应用 向量有着丰富的物理背景．向量的物理背景是位移、力、速度等．因此利用向量可以解决一些物理问题． 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若∥，则直线AB与CD平行．(　　) (2)在一平面图形中，若线段AB＝CD，则||＝||．(　　) (3)同一平面上，作用于同一点的两个力F1，F2处于平衡状态，则F1＋F2＝0．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)已知P为△ABC所在平面内的一点，当＋＝时，点P位于△ABC的(　　) A．AB边上 B．BC边上 C．内部 D．外部 (2)已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)且F1＋F2＋F3＝0，则F3＝________(用坐标表示)． (3)一架飞机向南飞行了300 km，然后改变方向向东飞行了400 km，则飞机飞行位移的大小为________． 答案　(1)D　(2)(－5，1)　(3)500 km 题型一　向量在平面几何计算问题中的应用 例1　如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE∶ED＝2∶3，连接CE并延长交AB于点F．求AF∶FB的值． [解]　设＝λ，则＝－＝λ－． 又＝－＝－＝(＋)－＝－． ∵与共线，∴＝μ， 从而λ－＝μ ＝－． ∵，不共线，∴⇒λ＝． ∴＝，故AF∶FB＝1∶2． 一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量(如e1，e2)表示向量a，b，设b＝λa(a≠0)，化成关于e1，e2的方程Φ(λ)e1＋φ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则解方程组即可． [跟踪训练1]　已知A(，1)，B(0，0)，C(，0)．∠BAC的平分线AE与BC相交于点E，且＝λ，其中λ＝________． 答案　－3 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则||＝＝2，||＝1，由角平分线的性质可知，＝＝2，∴||＝2||．从而||＝3||，又与方向相反，∴＝－3，∴λ＝－3． 题型二　向量在平面几何证明问题中的应用 例2　已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H，如图． 求证：HG∥EF． [证明]　∵⊥，⊥，∴∥． 易得△AOE∽△DOG，设＝λ(λ≠0)， 则＝λ．同理，＝λ， 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF． 用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系． (3)把运算结果“翻译”成几何元素． [跟踪训练2]　用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 证明　如图所示，O是四边形ABCD两条对角线AC，BD的交点，且OA＝OC，OB＝OD，则＝，＝． 因为＝＋＝＋＝＋＝，且A，D，B，C不在同一条直线上，故四边形ABCD是平行四边形． 题型三　向量在力学中的应用 例3　在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小． [解]　如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°．在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝||cos30°＝150(N)，||＝||sin30°＝150(N)，||＝||＝150(N)． 答：重物平衡时，与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N． 力、速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加法、减法运算．因此，用向量解决力、速度、位移等问题，常用到向量的加法、减法、数乘运算． [跟踪训练3]　如图，一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°，且有一力方向水平，求合力的大小及方向． 解　设，分别表示两力，以，为邻边作平行四边形OACB，则即为合力． 由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°，过A作AD⊥OC于D， 则在Rt△OAD中，||＝||cos30°＝60×＝30(N)，故||＝2||＝60(N)，即合力的大小为60 N，方向与水平方向成30°角． 题型四　向量在运动学中的应用 例4　在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航行速度向西北方向飞行，求没有风时飞机航行速度的大小和方向． [解]　设w为风速，va为有风时飞机的航行速度，vb为没有风时飞机的航行速度，vb＝va－w，如图所示． ∴vb，va，w构成三角形． 设||＝|va|，||＝|w|，||＝|vb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E， 则∠BAD＝45°． 设||＝150，则||＝75(－)． ∴||＝||＝||＝75，||＝75． 从而||＝150，∠CAD＝30°． ∴|vb|＝150 km/h，方向为北偏西60°． 向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量的三角形法则或平行四边形法则把抽象的物理问题转化为数学问题，该题涉及解三角形，同时正确作图是前提． [跟踪训练4]　已知船的速度的大小为5 m/s，且船的速度的大小大于水的速度的大小，河宽为20 m．如右图所示，船从O点垂直到达B点所用的时间为5 s，求水流速度的大小． 解　设船的速度为v1，水流的速度为v2，船的实际速度为v3． 建立如图所示的坐标系， 则|v1|＝5 m/s， |v3|＝ m/s＝4 m/s． 由v3＝v1＋v2，得v2＝v3－v1＝(0，4)－(－3，4)＝(3，0)． 所以|v2|＝3 m/s，即水流速度的大小为3 m/s． 1．在四边形ABCD中，若＝＋，则(　　) A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD一定是菱形 C．四边形ABCD一定是正方形 D．四边形ABCD一定是矩形 答案　A 解析　由题意得＋＝＋，即＝，∴BC∥AD，且BC＝AD，∴四边形ABCD一定是平行四边形． 2．在△ABC中，AB＝1，AC＝，BC＝2，D为△ABC所在平面内一点，且＝2＋，则△BCD的面积为(　　) A．2 B． C． D． 答案　D 解析　由题可作如图所示的矩形，则易知∠BCA＝30°，则∠BCD＝60°，sin∠BCD＝，所以S△BCD＝×BC×DC×sin∠BCD＝×2×3×＝． 3．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船垂直到达对岸，则(　　) A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2| C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2| 答案　B 解析　速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|>|v2|． 4．已知梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，P是CD的中点，则|＋2|＝________． 答案　 解析　根据题意，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，1)，C(1，0)，D(2，1)． ∵P是CD的中点，∴P，∴＝，＝，∴＋2＝＋2＝，∴|＋2|＝＝． 5．如图，无弹性细绳子OA，OB的一端分别固定在A，B处，同质量的细绳OC下端系一个称盘，且使OB⊥OC，试分析OA，OB，OC三根绳子在O处作用力的大小，判断哪根绳在O处的作用力最大，并说明理由． 解　设OA，OB，OC三绳在O处的作用力分别为a，b，c，则a＋b＋c＝0． a，b的合力为c′＝a＋b， 且|c|＝|c′|． 在▱OBC′A中， ∵⊥，＝， ∴||>||，||>||， 即|a|>|b|，|a|>|c′|＝|c|． 故绳OA在O处的作用力最大． 一、选择题 1．已知A，B，C，D四点坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　A 解析　＝(3，3)，＝(2，2)，∴∥，又A，B，C，D四点不共线，且||≠||，故此四边形为梯形． 2．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为(　　) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． 答案　C 解析　逆风行驶的速度大小＝人骑自行车的速度大小－风速大小，速度的大小应该是数量，故选C． 3．若向量＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|的值为(　　) A．(0，5) B．(4，－1) C．2 D．5 答案　D 解析　∵F1＋F2＝＋＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝5． 4．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＝＋，则的值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案　A 解析　∵＝＋，∴PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线．∵D为边BC的中点，∴D为PA的中点，∴＝1． 5．某人在静水中游泳时，速度大小为4 km/h．如果水流的速度大小为4 km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(　　) A．90° B．30° C．45° D．60° 答案　D 解析　如图，用表示水速，表示某人径直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC．于是tan∠AOC＝＝＝＝．所以∠AOC＝60°．故选D． 二、填空题 6．有一两岸平行的河流，小船从一岸行驶到另一岸，水流速度大小为1，小船速度大小为，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶． 答案　与水流速度成135°角 解析　如右图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸垂直．又|v水|＝||＝1，|v船|＝||＝，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝45°，∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝45°＋90°＝135°．故小船应朝与水流速度成135°角的方向行驶． 7．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________． 答案　1∶2 解析　设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则＋＝2．又＋＝－2，所以＝－，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2． 8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________． 答案　 解析　如图所示．∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又＝＋λ，∴＝λ，又≠0，∴λ＝． 三、解答题 9．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状． 解　由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0， 即a＋b＋c＝0．所以a＋c＝－b． 如图，作平行四边形APCD，则其为菱形． 因为＝a＋c＝－b， 所以∠APC＝120°． 同理，∠APB＝∠BPC＝120°． 又|a|＝|b|＝|c|， 所以△ABC为等边三角形． 10．如图，过△OAB的重心M的直线与OA，OB分别相交于C，D，设＝h，＝k，求＋的值． 解　如图，连接OM并延长交AB于点E，则E为AB的中点， ＝＝×(＋)＝＋．① 设＝λ(λ∈R)，则 ＝＋＝＋λ ＝＋λ(－) ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)h＋λk．② 由①②，得⇒⇒＋＝3． 1．水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑的小滑轮，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力的大小为(g＝10 m/s2)(　　) A．50 N B．50 N C．100 N D．100 N 答案　C 解析　由题意可得，对B点受力分析如图所示．滑轮受到绳子的作用力等于图中两段绳中拉力F1和F2的合力F，因同一根绳张力处处相等，都等于物体的重力，即为|F1|＝|F2|＝|G|＝mg＝100 N，用平行四边形法则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则由几何知识，得|F|＝|F1|＝100 N，所以滑轮受到绳子的作用力的大小为100 N．故选C． 2．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P．求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB． 证明　建立如图所示的平面直角坐标系， 设AB＝2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)， 则E(1，2)，F(0，1)． (1)＝(－1，2)，＝(－2，－1)． ∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF． (2)设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y－1)，＝(2，1)． ∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥，得y＝－2x＋4， 由得 ∴点P的坐标为． ∴||＝＝2＝||， 即AP＝AB． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$