1.6.1 余弦定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

1．6．1　余弦定理 (教师独具内容) 课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角． 教学难点：余弦定理在解三角形中的应用． 核心素养：1．通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养．2．通过余弦定理的应用培养数学运算素养． 知识点一　解三角形的概念 从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形． 知识点二　余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 知识点三　余弦定理的变形 cosA＝，cosB＝， cosC＝． 1．对余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判断三角形的形状 (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2．例如：在不等边三角形ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则60°<A<90°． (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2． (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．(　　) (2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　) (3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________． (2)已知△ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是________三角形． (3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________． (4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________． 答案　(1)　(2)钝角　(3)　(4) 题型一　已知两边及一角解三角形 例1　在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形． [解]　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB ＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos45°＝8， ∴b＝2， 又cosA＝ ＝＝， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°． 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． [跟踪训练1]　(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是(　　) A．8 B．2 C．6 D．2 答案　D 解析　根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，∴c＝2． (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a． 解　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB， ∴32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°， ∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6． 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°． 当a＝6时，由余弦定理， 得cosA＝＝＝0． ∴A＝90°，∴C＝60°． 题型二　已知三边(三边关系)解三角形 例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A． B． C． D． [解析]　因为c<b<a，所以最小角为角C．所以cosC＝＝＝，所以C＝，故选B． [答案]　B (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长． [解]　已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8． 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14． 又b＝a－4>0，所以a＝14．即此三角形的最大边长为14． [条件探究]　若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？ 解　因为c<b<a，所以最大角为角A， 所以由余弦定理可得 cosA＝＝ ＝＝． 故△ABC的最大角的余弦值为． 已知三边求解三角形的方法 (1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角． [跟踪训练2]　(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________． 答案　120° 解析　由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得a∶b∶c＝7∶5∶3，∴边a最大．又cosA＝＝－，∴A＝120°． (2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长． 解　解法一：由余弦定理，得 cosA＝＝＝， 设中线长为x，由余弦定理知，x2＝＋AB2－2××ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7． ∴所求中线长为7． 解法二：在△ABC中，设AC边上的中线长为x，如图，以AB，BC为邻边作▱ABCD．由余弦定理可得，在△ABC中，有 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，① 在△ABD中，有 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，② ①＋②可得(2x)2＋AC2＝2(AB2＋BC2)， 即(2x)2＋82＝2×(92＋72)， ∴x＝7，∴所求中线长为7． 题型三　判断三角形的形状 例3　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝，试确定当C最大时△ABC的形状． [解]　因为＋＝，所以＝， 所以c＝． 由余弦定理得cosC＝ ＝ ＝ ≥＝， 当且仅当a＝b时等号成立， 故当cosC＝时，C最大，此时A＝B＝C＝， 所以△ABC是正三角形． 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． [跟踪训练3]　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． 解　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB， ∵B＝60°，b＝， ∴＝a2＋c2－2accos60°． ∴(a－c)2＝0，a＝c， 又B＝60°，∴△ABC为等边三角形． 1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cosB＝＝＝． 2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于(　　) A．1 B． C．2 D．4 答案　C 解析　bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2． 3．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为________． 答案　120° 解析　由c>a>b，知角C为最大角，则cosC＝ ＝－，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°． 4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝________． 答案　2 解析　由已知及余弦定理，得sinA＝＝cosA，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，a＝2． 5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状． 解　由余弦定理知cosB＝， 代入c＝acosB，得c＝a·， ∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形． 又b＝asinC，∴b＝a·，∴b＝c， ∴△ABC也是等腰三角形． 综上所述，△ABC是等腰直角三角形． 一、选择题 1．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　) A．2 B． C．2或 D．以上都不对 答案　C 解析　∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2×c×．化简，得c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝． 2．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　∵b2＝ac，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c．又B＝60°，∴△ABC为等边三角形． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2，则角C为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵a2＋b2＋ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－ab，cosC＝＝＝－，∵C∈(0，π)，∴C＝． 4．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为(　　) A．1 B． C．2 D．3 答案　BC 解析　设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝＝，所以－≤<0，解得≤a<3．故选BC． 5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．75° 答案　B 解析　令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3，2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α， ∴cosα＝＝－，∴最大角为120°． 二、填空题 6．若||＝2，||＝3，·＝－3，则△ABC的周长为________． 答案　5＋ 解析　由·＝||||cosA及条件，可得cosA＝－，∴A＝120°，再由余弦定理求得BC2＝19，∴周长为5＋． 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC＝2a＋c，则B＝________． 答案　 解析　由余弦定理得2abcosC＝a2＋b2－c2．∵2bcosC＝2a＋c，∴2abcosC＝2a2＋ac，∴a2＋b2－c2＝2a2＋ac，∴b2＝a2＋c2＋ac．又b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝－2accosB，∴cosB＝－．又0<B<π，∴B＝． 8．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长度等于________． 答案　4 解析　由题意，知sin∠ABC＝＝sin＝cos∠CBD，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD＝27＋25－2×3×5×＝16．∴CD＝4． 三、解答题 9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b． 解　在△ABC中，因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，所以B＝60°． 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2accosB ＝82－2×15－2×15×＝19． 所以b＝． 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac． (1)求cosB的值； (2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值． 解　(1)由(a－c)2＝b2－ac， 可得a2＋c2－b2＝ac． 所以＝，即cosB＝． (2)因为b＝，cosB＝， 由余弦定理， 得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac， 又a＋c＝2b＝2， 所以13＝52－ac，解得ac＝12． 1．在△ABC中，若已知三边长为连续的正整数，最大角C为钝角，则cosC＝________． 答案　－ 解析　根据题意C为钝角，可设a＝k－1，b＝k，c＝k＋1，k∈N＋，k>1，所以cosC＝＝<0，解得1<k<4，又因为k∈N＋，∴k＝2或k＝3，当k＝2时，a＝1，b＝2，c＝3不能构成三角形．当k＝3时，a＝2，b＝3，c＝4可以构成三角形，由余弦定理可得cosC＝－． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a－c＝2bcosC． (1)求角B的大小； (2)若b＝3，求△ABC面积的最大值． 解　(1)∵2a－c＝2bcosC， ∴2a－c＝2b·＝， ∴2a2－ac＝a2＋b2－c2，∴a2＋c2－b2＝ac， ∴cosB＝＝＝． ∵0<B<π，∴B＝． (2)由(1)知，cosB＝， ∴＝＝≥，当且仅当a＝c时取等号，解得ac≤9． 如图，在△ABC中，AB边上的高CD＝asinB， ∴S△ABC＝c·CD＝acsinB≤×9×＝， 即△ABC面积的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$