1.5.2 数量积的坐标表示及其计算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

1．5．2　数量积的坐标表示及其计算 (教师独具内容) 课程标准：1．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．2．能用坐标表示平面向量垂直的条件． 教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示． 教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题． 核心素养：1．通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理和数学运算素养．2．通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养． 知识点一　数量积的坐标表示 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的数量积的坐标表达式为a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2． 知识点二　计算公式 (1)向量的长度 向量a＝(x，y)的模(即长度)的公式为|a|＝＝． (2)夹角余弦值 两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)夹角余弦值的公式为cos〈a，b〉＝＝ ． (3)垂直条件 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0． 1．两个向量垂直的条件 运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数． 如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为＝，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行． 对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直． 2．解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝直接求出cosθ．由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π． (2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．(　　) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)已知a，b为平面向量，a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b的夹角θ的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ (2)若向量a＝(3，m)，b＝(2，1)，a·b＝0，则实数m的值为________． (3)已知a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________． 答案　(1)C　(2)－6　(3)2 题型一　平面向量数量积的坐标表示 例1　已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求： (1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b． [解]　(1)∵a与b同向，且b＝(1，2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2，4)． (2)∵a·c＝2×2＋4×(－1)＝0， ∴(a·c)b＝0． 数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [跟踪训练1]　向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1． 题型二　向量的模的问题 例2　(1)若向量a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________． [解析]　∵a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，∴a－b＝(2x－1，3－x)－(1－x，2x－1)＝(3x－2，4－3x)，∴|a－b|＝＝＝， ∴当x＝1时，|a－b|取最小值为． [答案]　 (2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求： ①向量a的模； ②与a平行的单位向量的坐标； ③与a垂直的单位向量的坐标． [解]　①∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5． ②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，即坐标为或． ③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)， 则a·e＝4m－3n＝0，∴＝． 又|e|＝1，∴m2＋n2＝1． 解得或 ∴e＝或． 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝． [跟踪训练2]　设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　) A． B． C．2 D．10 答案　B 解析　由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝＝．故选B． 题型三　平面向量的夹角问题 例3　已知△ABC顶点的坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)， (1)若c＝5，求sinA的值； (2)若∠A是钝角，求c的取值范围． [解]　＝(－3，－4)，＝(c－3，－4)． (1)若c＝5，则＝(2，－4)． ∴cosA＝cos〈，〉＝＝． ∵∠A是△ABC的内角， ∴sinA＝＝． (2)若∠A为钝角，则·<0且，不反向共线． 由·<0，得－3(c－3)＋16<0， 即c>． 显然此时，不共线，故当∠A为钝角时，c>． 求平面向量夹角的步骤 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)求出a·b＝x1x2＋y1y2； (2)求出|a|＝，|b|＝； (3)代入公式：cosθ＝(θ是a与b的夹角)． [跟踪训练3]　已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c． (1)求b与c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小． 解　(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12． ∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3， ∴b＝(9，12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)． 设m，n的夹角为θ， 则cosθ＝＝ ＝＝－． ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝，即向量m，n的夹角为． 题型四　向量垂直的坐标表示 例4　设＝(2，－1)，＝(3，1)，＝(m，3)． (1)当m＝2时，用和表示； (2)若⊥，求实数m的值． [解]　(1)当m＝2时，设＝x＋y， 则有解得 即＝－＋． (2)因为＝－＝(1，2)，＝－＝(m－3，2)，⊥，所以·＝0， 即1×(m－3)＋2×2＝0，解得m＝－1． 用向量数量积的坐标表示解决垂直问题 利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷，运算更直接，体现了向量问题代数化的思想． [跟踪训练4]　已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标． 解　设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)． ∵D在直线BC上，即与共线， ∴存在实数λ，使＝λ， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)． ∴ ∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0．① 又AD⊥BC， ∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0． ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0． 即2x＋y－3＝0．② 由①②可得∴D(1，1)． ∴||＝＝， 故||＝，点D的坐标为(1，1)． 题型五　向量数量积的综合应用 例5　已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度． [解]　(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， ∴＝(1，1)，＝(－3，3)．则·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD． (2)∵⊥，四边形ABCD为矩形， ∴＝． 设点C的坐标为(x，y)， 则＝(x＋1，y－4)， 又＝(1，1)． 从而有解得 ∴点C的坐标为(0，5)． ∴＝(－2，4)，||＝＝2， 故矩形ABCD的对角线的长度为2． 利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有： (1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解． (2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可． (3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可． [跟踪训练5]　已知a，b，m，n∈R，设(a2＋b2)·(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，用向量方法求证：＝． 证明　设向量c＝(a，b)，d＝(m，n)， 且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°)， 则c·d＝am＋bn，|c|2＝a2＋b2，|d|2＝m2＋n2． ∵(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2， ∴|c|2|d|2＝(c·d)2． 又c·d＝|c||d|cosθ， ∴cos2θ＝＝1，∴cos2θ＝1． 又0°≤θ≤180°，∴θ＝0°或180°，即c∥d， ∴an－bm＝0． 又mn≠0，∴＝． 1．若a＝(2，－3)，b＝(x，2x)，且3a·b＝4，则x等于(　　) A．3 B． C．－ D．－3 答案　C 解析　3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－．故选C． 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x，2＋y)，a＋b＝(3，－1)， 由已知可得 解得即c＝． 3．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________． 答案　 解析　由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝． 4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3，3)，2b－a＝(－1，1)，则cosθ＝________． 答案　 解析　2b－a＝2b－(3，3)＝(－1，1)，∴2b＝(－1，1)＋(3，3)＝(2，4)，∴b＝(1，2)．cosθ＝＝＝＝． 5．如图，已知△ABC的面积为，AB＝2，·＝1，求边AC的长． 解　以点A为平面直角坐标系的原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，设点C的坐标为(x，y)(y>0)， ∵AB＝2，∴点B的坐标是(2，0)， ∴＝(2，0)，＝(x－2，y)． ∵·＝1，∴2(x－2)＝1，解得x＝． 又S△ABC＝，∴·|AB|·y＝，∴y＝， ∴点C的坐标为，则＝， ∴||＝＝， 故边AC的长为． 一、选择题 1．已知|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1， ∴cos〈a，b〉＝＝＝．∴向量a与b夹角的大小为．故选C． 2．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　) A．4 B．2 C．8 D．8 答案　D 解析　易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8． 3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝(　　) A． B． C． D．(1，0) 答案　B 解析　设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝．由解得即b＝．故选B． 4．(多选)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为(　　) A．－ B． C． D． 答案　ABC 解析　∵＝(2，3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝．故所求k的值为－或或． 5．若函数f(x)＝2sin(－2<x<10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点(除点A外)，则(＋)·＝(　　) A．－32 B．－16 C．16 D．32 答案　D 解析　由函数f(x)＝2sin＝0可得＋＝kπ，k∈Z，即x＝6k－2，k∈Z．因为－2<x<10，所以x＝4，即A(4，0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)．由题意知B，C两点关于点A对称，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝0．又＝(4，0)，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以(＋)·＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4，0)＝4(x1＋x2)＝32． 二、填空题 6．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________． 答案　 解析　设c＝(x，y)，∵a＋b＝(－1，－2)，且|a|＝，|c|＝，(a＋b)·c＝，∴(－1，－2)·(x，y)＝．∴－x－2y＝，∴x＋2y＝－．设a与c的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝－．∵0≤θ≤π，∴θ＝． 7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________． 答案　8 解析　∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，∴＝(y－x，x－y)＝(－8，8)，∴||＝8． 8．已知a＝(1，3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． 答案　λ>－5且λ≠－ 解析　因为a与b的夹角为锐角，则cos〈a，b〉>0，且cos〈a，b〉≠1，即a·b＝2＋λ＋3>0，且b≠ka，则λ>－5且λ≠－． 三、解答题 9．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线． (1)求证：向量a＋b与a－b垂直； (2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α． 解　(1)证明：由题意，知a＋b＝， a－b＝， ∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． (2)|a|＝1，|b|＝1， 由题意知(a＋b)2＝(a－b)2， 化简得a·b＝0，∴－cosα＋sinα＝0， ∴tanα＝．又0≤α<2π，∴α＝或α＝． 10．如图，已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值． 解　(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， ∴＝(1，1)，＝(－3，3)， ∴·＝1×(－3)＋1×3＝0， 即⊥，∴AB⊥AD． (2)∵⊥，四边形ABCD为矩形， ∴＝． 设点C的坐标为(x，y)， 则＝(x＋1，y－4)． 又＝(1，1)，∴解得 ∴点C的坐标为(0，5)． ∴＝(－2，4)，＝(－4，2)， ∴||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16． 设与的夹角为θ， 则cosθ＝＝＝． 故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为． 1．已知点A(－2，0)，B(1，9)，C(m，n)，O是原点． (1)若A，B，C三点共线，求m与n满足的关系式； (2)若△AOC的面积等于3，且⊥，求． 解　(1)由已知，得＝(3，9)，＝(m＋2，n)． 由A，B，C三点共线，知∥， ∴3n－9(m＋2)＝0，即n－3m－6＝0． (2)由△AOC的面积是3，得·2·|n|＝3， ∴n＝±3． ∵＝(m－1，n－9)，且⊥， ∴(m＋2)(m－1)＋n(n－9)＝0， 即m2＋n2＋m－9n－2＝0， ∴当n＝3时，m2＋m－20＝0，解得m＝4或m＝－5． 当n＝－3时，m2＋m＋34＝0，方程没有实数根， ∴＝(4，3)或＝(－5，3)． 2．已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1． (1)求向量n； (2)设向量a＝(1，0)，b＝(1＋cosx，2)，其中0<x<，若n·a＝0，试求|n＋b|的取值范围． 解　(1)设n＝(x，y)， 因为m·n＝－1，且m与n的夹角为，m＝(1，1)， 所以 解得或 所以n＝(0，－1)或n＝(－1，0)． (2)因为n·a＝0且a＝(1，0)， 所以n＝(0，－1)． 又b＝(1＋cosx，2)，故n＋b＝(1＋cosx，1)． 所以|n＋b|2＝(1＋cosx)2＋1． 因为0<x<，所以－<cosx<1． 故<|n＋b|2<5． 所以<|n＋b|<． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$