1.1 向量-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

(教师独具内容) 课程标准：1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义及两个向量相等的含义．2．理解平面向量的几何表示和基本要素． 教学重点：1．结合物理背景认识向量，掌握向量与数量的区别．2．会用有向线段表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．3．理解向量的模、相等向量、相反向量、零向量的概念，会辨识图形中的这些相关概念． 教学难点：对向量概念的理解． 核心素养：1．通过对向量及相关概念的学习培养直观想象和数学抽象素养．2．通过运用向量及相关概念解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　有向线段的概念 像这样具有方向的线段，称为有向线段． 知识点二　向量的概念 (1)像位移这样既有大小又有方向的量，在数学中称为向量． (2)向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|． 知识点三　向量的表示 (1)字母表示 向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F，，，． (2)几何表示 每个向量a都可以用有向线段来表示．如图，从任一点P出发画射线PM，其方向与a的方向相同，在PM上截取线段PQ，使|PQ|＝|a|，则的方向和长度分别代表了向量a的方向和大小，因而可以记为＝a． 知识点四　向量的有关概念 (1)相等向量 我们把方向相同、长度相等的向量称为相等向量． (2)相反向量 我们把长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a．如果b＝－a，则同样也有a＝－b． (3)零向量 如果向量a的大小|a|＝0，就称a是零向量，记作0．零向量的方向是任意的． 我们约定，所有的零向量相等． 1．向量与数量的区别 (1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量没有方向； (2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|，也不能说a>b； (3)0与0不同．0表示数量，但0表示零向量，其中|0|＝0． 2．向量与有向线段 区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、长度三要素，因此这是两个不同的量． 联系：向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．(　　) (2)∠AOB的两条边都是向量．(　　) (3)零向量的模都相等．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是________． (2)如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形， ①图中的相反向量有________； ②图中与相等的向量有________； ③图中与模相等的向量有________； ④图中与相等的向量有________． 答案　(1)模相等　(2)①，， ②，　③，，，，，，，，　④ 题型一　向量及相关概念 例1　(1)下列各量中是向量的是(　　) A．时间 B．加速度 C．面积 D．长度 [解析]　加速度既有大小又有方向，符合向量的概念，故选B． [答案]　B (2)给出下列命题： ①相反向量和相反数是相同的概念； ②零向量的方向是任意的； ③若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b． 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 [解析]　相反向量和相反数是不同的概念，故①错误；零向量的方向是任意的，故②正确；向量不能比较大小，故③错误． [答案]　A 　向量中相关概念的区别 (1)对向量及相关概念的理解要全面、准确．零向量的长度为零，方向是任意的，解题时一定要注意这一特殊向量． (2)向量与有向线段的关系 如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段． [跟踪训练1]　(1)汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h．则下列说法：①汽车的速度大于摩托车的速度；②汽车的位移大于摩托车的位移；③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　速度是既有大小又有方向的向量，不能比较大小，①错误；位移是既有方向又有大小的向量，不能比较大小，②错误；路程只有大小，可比较大小，显然汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程，③正确．故选B． (2)下列说法中正确的是(　　) ①所有的零向量都相等；②向量的大小与有向线段的起点有关；③若b是a的相反向量，则a也是b的相反向量；④零向量的方向都是相同的． A．②④ B．①②③ C．①④ D．①③ 答案　D 解析　所有的零向量都相等，①正确；向量的大小可用有向线段的长度表示，与有向线段的起点无关，②错误；若b是a的相反向量，则a也是b的相反向量，③正确；零向量的方向是任意的，④错误． 题型二　向量的表示及应用 例2　在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)，使||＝4，点A在O北偏东45°； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°． [解]　如图所示． 　用“四定一标”来表示向量 (1)“四定”即→→→　． (2)“一标”即确定向量的方向后用箭头标出． [跟踪训练2]　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量，，； (2)求的模． 解　(1)作出向量，，，如图所示． (2)由题意，得△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米，△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米． 题型三　相等向量与相反向量 例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c． (1)a的相反向量有哪些？ (2)请一一列出与b，c相等的向量． [解]　(1)a的相反向量有，，，． (2)与b相等的向量有，，．与c相等的向量有，，． 相等向量是指大小相等且方向相同的向量，相反向量是指大小相等但方向相反的向量，弄清两者之间的区别是解决问题的关键． [跟踪训练3]　如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点． (1)与相等的向量有哪些？ (2)的相反向量有哪些？ 解　(1)与相等的向量有，，． (2)的相反向量有，． 1．有下列物理量： ①质量；②速度；③力；④路程；⑤功． 其中不是向量的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　速度、力这两个物理量是向量，它们都有大小和方向，其余的不是向量． 2．如图，在圆O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案　C 解析　由图可知，三向量起点不都相同、方向不同、长度相等． 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．模相等的向量都相等 B．一个向量方向是任意的当且仅当模为0 C．若非零向量a与b为相反向量，则|a|＝|b| D．两个有共同起点的相等向量，其终点可能不同 答案　BC 解析　向量的模相等，但方向并不一定相同，A错误；由零向量和相反向量的概念知B，C正确；相等向量起点相同时，终点必相同，D错误．故选BC． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________． 答案　 解析　因为正方形的对角线长为2，所以||＝． 5．如图，O是正方形ABCD的中心． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出的相反向量． 解　(1)与向量相等的向量是． (2)与的模相等的向量有，，，，，，． (3)的相反向量有，． 一、选择题 1．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是(　　) A．－1 B．2 C．1 D．3 答案　D 解析　易知||＝2－(－1)＝3． 2．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是(　　) A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身) B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身) C．的长度恰为长度的倍 D．与不是相等向量 答案　D 解析　易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量＝，故A正确；对于B，||＝||＝||＝||＝||，故B正确；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则||＝||，故C正确；对于D，与是相等向量，D错误． 3．如图所示，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则向量，，，，，中的相反向量有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 答案　A 解析　与是相反向量． 4．下列结论中正确的是(　　) ①若a＝b，b＝c，则a＝c； ②若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b； ③若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|． A．①③ B．②③ C．③ D．①② 答案　D 解析　∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，①正确；根据相等向量的定义，可知②正确；两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等，③错误． 5．(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是(　　) A．＝ B．＝－ C．||＝|| D．＝ 答案　ABC 解析　由正六边形的性质，可得＝，＝－，||＝||，||＝||，显然，方向不同，故≠．故选ABC． 二、填空题 6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________． 答案　3π 解析　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π． 7．如果在一个边长为5的正三角形ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________． 答案　 解析　根据题意，在正三角形ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正三角形ABC的高，为． 8．四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有9个小正方形，16个顶点，从中选取两个点作为向量的起点和终点，则与反向且长度为2的向量有________个，与向量同向且长度为2的向量有________个． 答案　4　4 解析　如图所示，满足与反向且长度为2的向量有，，，，共4个，与向量同向且长度为2的向量有4个． 三、解答题 9．如图，在单位圆中，B是OA的中点，PQ过B且PQ∥Ox，MP⊥Ox于M，NQ⊥Ox于N．则在向量，，，，，，，中： (1)找出相等的向量； (2)找出相反向量； (3)，的模各是多少？ 解　(1)相等的向量有＝＝． (2)与互为相反向量． (3)||＝||＝． 10．设在平面内给定一个四边形ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：＝． 证明　如图所示，连接AC． 在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝AC，EF∥AC， 同理HG＝AC，HG∥AC． 所以||＝||且和同向， 所以＝． 1．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解　(1)由题意，作出向量，，，，如图所示． (2)依题意知，△ABC为正三角形， 所以AC＝2000 km． 又因为∠ACD＝45°，CD＝1000 km， 所以△ACD为等腰直角三角形， 则AD＝1000 km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向，距A地1000 km． 2．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B．点C为小正方形的顶点，且||＝． (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解　(1)画出所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝， ∴||的最大值为，最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$