1.2 第2课时 向量的减法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第1章　平面向量及其应用 1.2　向量的加法 第2课时　向量的减法 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：向量的减法运算及其几何意义． 教学难点：向量的加法、减法的综合运算． 核心素养：1．通过向量的加法运算抽象出向量减法运算的过程培养数学抽象素养．2．通过向量减法的几何意义培养直观想象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点　向量的减法 (1)已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝_______，x称为b与a之_____． (2)减去一个向量a，等于加上它的______________，即b－a＝b＋(_____)． b－a 差 相反向量－a －a 核心概念掌握 5 终点位置 起点位置 核心概念掌握 6 1．a＋b＝c⇔a＝c－b⇔b＝c－a，利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项． 2．两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模可通过解三角形的知识求得． 3．||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|对任意向量都成立． 核心概念掌握 7 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　) (3)向量a与向量b的差和向量b与向量a的差互为相反向量．(　　) √ √ √ 核心概念掌握 8 0 2 －a －b a－b a＋b 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　向量减法的几何表示 例1　如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c． 核心素养形成 11 作两向量的差的思路 (1)作两向量的差的步骤 (2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可． 核心素养形成 12 核心素养形成 13 题型二　向量的减法运算 核心素养形成 14 核心素养形成 15 (1)向量减法运算的常用方法 核心素养形成 16 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连则为和； ②起点相同则为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． 核心素养形成 17 核心素养形成 18 题型三　用向量的加减法表示向量 核心素养形成 19 用已知向量表示未知向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则． (2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？ (3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 随堂水平达标 解析　由向量减法法则知C错误． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 0 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 29 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 30 解析　由向量的加法及减法定义可知①④符合． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 31 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 33 c d 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 34 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 40 　　　　　　　　　　　　　 R (3)如图，任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))唯一表示．eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))分别称为点A，B的位置向量，也即分别代表了A，B两点的位置，因而等式eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))的物理意义就是：位置的改变量＝___________－___________． 2．做一做 (1)化简：eq \o(PM,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(MC,\s\up12(→))－eq \o(PA,\s\up12(→))＝______． (2)若菱形ABCD的边长为2，则|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))|＝______． (3)已知▱ABCD，若eq \o(CD,\s\up12(→))＝a，eq \o(CB,\s\up12(→))＝b，试用a，b表示eq \o(AB,\s\up12(→))＝______，eq \o(AD,\s\up12(→))＝______，eq \o(BD,\s\up12(→))＝________，eq \o(CA,\s\up12(→))＝________． 解　如图，以A为起点分别作向量eq \o(AB,\s\up12(→))和eq \o(AC,\s\up12(→))，使eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AC,\s\up12(→))＝b．连接CB，得向量eq \o(CB,\s\up12(→))，再以C为起点作向量eq \o(CD,\s\up12(→))，使eq \o(CD,\s\up12(→))＝c．连接DB，得向量eq \o(DB,\s\up12(→))．则向量eq \o(DB,\s\up12(→))即为所求作的向量a－b－c． [跟踪训练1]　如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝eq \o(BA,\s\up12(→))，c－d＝eq \o(DC,\s\up12(→))，并画出b－c和a＋d． 解　因为a＋b＝eq \o(BA,\s\up12(→))，c－d＝eq \o(DC,\s\up12(→))， 所以a＝eq \o(OA,\s\up12(→))，b＝eq \o(BO,\s\up12(→))，c＝eq \o(OC,\s\up12(→))，d＝eq \o(OD,\s\up12(→))． 如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA． 根据平行四边形法则可得b－c＝eq \o(EO,\s\up12(→))，a＋d＝eq \o(OF,\s\up12(→))． 例2　化简：(1)(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→)))－(eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→)))； (2)(eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BO,\s\up12(→))＋eq \o(OA,\s\up12(→)))－(eq \o(DC,\s\up12(→))－eq \o(DO,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)))． 解　(1)解法一(变为加法)： 原式＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→)))＋(eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→)))＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DA,\s\up12(→))＝0． 解法二(利用公式eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→)))： 原式＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→)))－eq \o(CD,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(DB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝0． 解法三(利用公式eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))，其中O是平面内任一点)： 原式＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝(eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))－(eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→)))－(eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))＋(eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))＋eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝0． (2)(eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BO,\s\up12(→))＋eq \o(OA,\s\up12(→)))－(eq \o(DC,\s\up12(→))－eq \o(DO,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)))＝(eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BA,\s\up12(→)))－(eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)))＝eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))＝0． [跟踪训练2]　化简下列各式： (1)eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))；(2)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))；(3)eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))． 解　(1)eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(CD,\s\up12(→))． (2)eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))． (3)eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))． 例3　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AC,\s\up12(→))＝b，eq \o(AE,\s\up12(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq \o(BD,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(BE,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))及eq \o(CE,\s\up12(→))． 解　∵四边形ACDE为平行四边形， ∴eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AE,\s\up12(→))＝c，eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝b－a， eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \o(AE,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝c－a，eq \o(CE,\s\up12(→))＝eq \o(AE,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＝c－b，∴eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝b－a＋c． [跟踪训练3]　已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量eq \o(OD,\s\up12(→))等于(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c 解析　如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，结合图形有eq \o(OD,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝a＋c－b． 1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　) A．eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→)) B．eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→)) C．eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→)) D．eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→)) 2．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则eq \o(AF,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))等于(　　) A．eq \o(FD,\s\up12(→)) B．eq \o(FC,\s\up12(→)) C．eq \o(FE,\s\up12(→)) D．eq \o(DF,\s\up12(→)) 解析　由题图易知eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \o(DE,\s\up12(→))，∴eq \o(AF,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(DE,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(BE,\s\up12(→))，又eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \o(DF,\s\up12(→))，∴eq \o(AF,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(DF,\s\up12(→))． 3．(多选)下列四个式子中一定能化简为eq \o(AD,\s\up12(→))的是(　　) A．(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→)))＋eq \o(BC,\s\up12(→)) B．(eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(MB,\s\up12(→)))＋(eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CM,\s\up12(→))) C．(eq \o(MB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→)))－eq \o(BM,\s\up12(→)) D．(eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))＋eq \o(CD,\s\up12(→)) 解析　对于A，(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→)))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))；对于B，(eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(MB,\s\up12(→)))＋(eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CM,\s\up12(→)))＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋(eq \o(MB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CM,\s\up12(→)))＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋0＝eq \o(AD,\s\up12(→))；对于C，(eq \o(MB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→)))－eq \o(BM,\s\up12(→))＝eq \o(MB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(MB,\s\up12(→))，不一定等于eq \o(AD,\s\up12(→))；对于D，(eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))．故选ABD． 4．化简eq \o(PM,\s\up12(→))－eq \o(PN,\s\up12(→))＋eq \o(MN,\s\up12(→))＝________． 解析　eq \o(PM,\s\up12(→))－eq \o(PN,\s\up12(→))＋eq \o(MN,\s\up12(→))＝eq \o(NM,\s\up12(→))＋eq \o(MN,\s\up12(→))＝0． 5．如图，设O是△ABC内一点，且eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，eq \o(OC,\s\up12(→))＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H．试用a，b，c表示eq \o(DC,\s\up12(→))，eq \o(OH,\s\up12(→))，eq \o(BH,\s\up12(→))． 解　由题意可知四边形OADB为平行四边形， 所以eq \o(OD,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))＝a＋b．所以eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＝c－a－b． 又四边形ODHC为平行四边形，所以eq \o(OH,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))＋eq \o(OD,\s\up12(→))＝c＋a＋b． 所以eq \o(BH,\s\up12(→))＝eq \o(OH,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝c＋a＋b－b＝a＋c． 一、选择题 1．下列运算中正确的是(　　) A．eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→)) B．eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(DB,\s\up12(→)) C．eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→)) D．eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝0 解析　根据向量减法的几何意义，知eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→))，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))等于0，而不是0． 2．下列说法错误的是(　　) A．若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(OM,\s\up12(→))－eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→)) B．若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(OM,\s\up12(→))＋eq \o(DO,\s\up12(→))＝eq \o(OE,\s\up12(→)) C．若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(EO,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→)) D．若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(DO,\s\up12(→))＋eq \o(EO,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→)) 解析　由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A，B，C都正确．由相反向量定义知，若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(DO,\s\up12(→))＋eq \o(EO,\s\up12(→))＝－eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OE,\s\up12(→))＝－(eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→)))＝－eq \o(OM,\s\up12(→))，故D错误． 3．eq \o(AC,\s\up12(→))可以写成：①eq \o(AO,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))；②eq \o(AO,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))；③eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))；④eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))，其中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．O为平行四边形ABCD所在平面上的点，设eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，eq \o(OC,\s\up12(→))＝c，eq \o(OD,\s\up12(→))＝d，则(　　) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 解析　a－b＋c－d＝eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))，又四边形ABCD是平行四边形，所以eq \o(BA,\s\up12(→))，eq \o(DC,\s\up12(→))为相反向量，其和为0．故选B． 5．(多选)如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(DA,\s\up12(→)) B．eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→)) C．eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(BA,\s\up12(→)) D．eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(DB,\s\up12(→)) 解析　∵eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→))，eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))，∴eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→))，∴eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))，∴B正确；∵eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(DB,\s\up12(→))－eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))，∴D正确．同理可得A，C错误．故选BD． 二、填空题 6．在△ABC中，D是BC的中点，设eq \o(AB,\s\up12(→))＝c，eq \o(AC,\s\up12(→))＝b，eq \o(BD,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝d，则d－a＝______，d＋a＝______． 解析　根据题意画出图形，如图所示，d－a＝eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＝c．d＋a＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＝b． 7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(DA,\s\up12(→))＝________． 解析　eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(DA,\s\up12(→))＝eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DA,\s\up12(→))＝eq \o(CA,\s\up12(→))． eq \o(CA,\s\up12(→)) 8．边长为1的正三角形ABC中，|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))|的值为________． 解析　如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则 eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))．在△ABD中，AB＝BD＝1， ∠ABD＝120°，易求AD＝eq \r(3)，∴|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))|＝eq \r(3)． eq \r(3) 三、解答题 9．向量a，b，c，d，e如图所示，据图完成下列各题： (1)用a，d，e表示eq \o(DB,\s\up12(→))；(2)用b，c表示eq \o(DB,\s\up12(→))； (3)用a，b，e表示eq \o(EC,\s\up12(→))；(4)用d，c表示eq \o(EC,\s\up12(→))． 解　由题图知eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(BC,\s\up12(→))＝b，eq \o(CD,\s\up12(→))＝c，eq \o(DE,\s\up12(→))＝d，eq \o(EA,\s\up12(→))＝e． (1)eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(DE,\s\up12(→))＋eq \o(EA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＝d＋e＋a．(2)eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝－eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝－b－c． (3)eq \o(EC,\s\up12(→))＝eq \o(EA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝e＋a＋b．(4)eq \o(EC,\s\up12(→))＝eq \o(ED,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝－eq \o(DE,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝－d－c． 10．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq \o(CM,\s\up12(→))＝a，eq \o(CA,\s\up12(→))＝b，求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|． 证明　如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得|eq \o(CM,\s\up12(→))|＝|eq \o(AM,\s\up12(→))|，|eq \o(CA,\s\up12(→))|＝|eq \o(CB,\s\up12(→))|． (1)在△ACM中，eq \o(AM,\s\up12(→))＝eq \o(CM,\s\up12(→))－eq \o(CA,\s\up12(→))＝a－b． 于是由|eq \o(AM,\s\up12(→))|＝|eq \o(CM,\s\up12(→))|，得|a－b|＝|a|． (2)因为eq \o(MB,\s\up12(→))＝eq \o(AM,\s\up12(→))＝a－b，所以eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(MB,\s\up12(→))－eq \o(MC,\s\up12(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)． 从而由|eq \o(CB,\s\up12(→))|＝|eq \o(CA,\s\up12(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|． 1．(多选)下列各式中能化简为eq \o(PQ,\s\up12(→))的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up12(→))＋(eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(BQ,\s\up12(→))) B．(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→)))＋(eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(QC,\s\up12(→))) C．eq \o(QC,\s\up12(→))－eq \o(QP,\s\up12(→))＋eq \o(CQ,\s\up12(→)) D．eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BQ,\s\up12(→)) 解析　eq \o(AB,\s\up12(→))＋(eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(BQ,\s\up12(→)))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BQ,\s\up12(→))＋eq \o(PA,\s\up12(→))＝eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(AQ,\s\up12(→))＝eq \o(PQ,\s\up12(→))；(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→)))＋(eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(QC,\s\up12(→)))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BA,\s\up12(→)))＋(eq \o(PC,\s\up12(→))－eq \o(QC,\s\up12(→)))＝eq \o(PC,\s\up12(→))＋eq \o(CQ,\s\up12(→))＝eq \o(PQ,\s\up12(→))；eq \o(QC,\s\up12(→))－eq \o(QP,\s\up12(→))＋eq \o(CQ,\s\up12(→))＝eq \o(PC,\s\up12(→))＋eq \o(CQ,\s\up12(→))＝eq \o(PQ,\s\up12(→))；eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BQ,\s\up12(→))＝eq \o(PB,\s\up12(→))－eq \o(BQ,\s\up12(→))，显然由eq \o(PB,\s\up12(→))－eq \o(BQ,\s\up12(→))得不出eq \o(PQ,\s\up12(→))．故选ABC． 2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))|，试判断△ABC的形状． 解　因为eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))． 又|eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))|， 所以|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形. $$