第六章 平面向量及其应用 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段的起点位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．数学中的向量指的是自由向量，根据需要可以进行平移． 2．向量共线条件和平面向量基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础． 3．向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角或零角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角或180°角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°角时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0. 4．平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题，要注意“三步曲”；用向量解决物理问题，体现了数学建模的要求，要根据题意结合物理意义作出图形，转化为数学问题，再通过向量运算使问题解决． 5．解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. 6．解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求． 一、向量的线性运算 向量的线性运算在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但在具体含义上是不同的．不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用． 典例1　如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以{e1，e2}为基底表示向量，，. [解]　∵＝e2，且＝k， ∴＝k＝ke2. ∵＋＋＋＝0， ∴＝－－－＝－＋＋ ＝e1＋(k－1)e2. 又＋＋＋＝0， 且＝－，＝， ∴＝－－－＝－＋＋＝e2. 典例2　(2024·河南信阳高级中学高一下期末)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； (3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． [解]　(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2. 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k， 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. 因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， 所以解得k＝－，λ＝－. (2)＝＋＝－e1－e2－2e1＋e2＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)． (3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝， 设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)， 因为＝(－7，－2)， 所以解得 即点A的坐标为(10，7)． 二、向量的数量积运算 向量的数量积运算是本章的核心，利用向量的数量积可以求长度、夹角，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式等知识融合在一起． 典例3　(2024·浙江台州高一下期末)已知a，b是非零向量，①|a|＝|b|；②〈a，b〉＝；③|a－b|＝|b|. (1)从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分) (2)若在①②的条件下，(a＋b)⊥(a－λb)，求实数λ. [解]　(1)选①②：若|a|＝|b|，〈a，b〉＝， 则|a－b|＝＝ ＝＝|b|， 所以③成立． 选①③：由|a－b|＝|b|，得a2－2a·b＋b2＝b2，而|a|＝|b|>0， 则3|b|2－2|b|2cos〈a，b〉＝0， 即cos〈a，b〉＝， 又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝，所以②成立． 选②③：由|a－b|＝|b|，得a2－2a·b＋b2＝b2， 而〈a，b〉＝，则|a|2－2|a||b|cos＝0， 整理得|a|2－|a||b|＝0，而|a|>0，所以|a|＝|b|，所以①成立． (2)由(a＋b)⊥(a－λb)，得(a＋b)·(a－λb)＝0， a2＋(1－λ)a·b－λb2＝0， 而|a|＝|b|，〈a，b〉＝， 因此3|b|2＋(1－λ)|b|2·－λ|b|2＝0， 又|b|>0，所以λ＝. 典例4　平面内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，点M为直线OP上的一动点． (1)当·取最小值时，求的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值． [解]　(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上， ∴向量与共线，又＝(2，1)． ∴x－2y＝0，即x＝2y.∴＝(2y，y)． 又＝－，＝(1，7)， ∴＝(1－2y，7－y)． 同理＝－＝(5－2y，1－y)． 于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12. 可知当y＝＝2时，·有最小值－8， 此时＝(4，2)． (2)当＝(4，2)，即y＝2时，有＝(－3，5)，＝(1，－1)， ∴||＝，||＝， ·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8. ∴cos∠AMB＝＝＝－. 三、向量的应用 向量的应用是多方面的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面，当然还有在物理方面的应用． 典例5　(2024·山东济南高一阶段练习)若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知|F1|＝1 N，|F3|＝ N，F1与F3的夹角为150°，则力F2的大小为(　　) A．7 B. C. D．1 [解析]　根据三力平衡得F1＋F3＋F2＝0，即F1＋F3＝－F2，两边同时平方得|F1|2＋2F1·F3＋|F3|2＝|F2|2，即|F1|2＋2|F1||F3|·cos150°＋|F3|2＝|F2|2，即12＋2×1××＋()2＝|F2|2，解得|F2|＝1.故选D. [答案]　D 典例6　已知△ABC中，A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，BC边上的高为AD. (1)求证：AB⊥AC； (2)求点D和向量的坐标； (3)设∠ABC＝θ，求cosθ； (4)求证：AD2＝BD·CD. [解]　(1)证明：＝(－1，－2)－(2，4)＝(－3，－6)，＝(4，3)－(2，4)＝(2，－1)． ∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0， ∴AB⊥AC. (2)设点D的坐标为(x，y)， 则＝(x－2，y－4)，＝(5，5)． ∵AD⊥BC， ∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.① 又＝(x＋1，y＋2)，而与共线， ∴5(x＋1)－5(y＋2)＝0，② 联立①②，解得x＝，y＝. 故点D的坐标为. ∴＝＝. (3)cosθ＝＝＝. (4)证明：∵＝，＝， ＝， ∴||2＝，||＝＝，||＝＝. ∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD. 四、余弦定理、正弦定理的应用 余弦定理、正弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用余弦定理、正弦定理完成证明、求值问题． (1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解． (2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换，通过等价转化构造方程及函数求解． 典例7 　(2024·辽宁大连辽宁师范大学附属中学高一月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1＋＝. (1)求角A； (2)若O是△ABC内一点，∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，b＝1，c＝3，求tan∠ABO. [解]　(1)由已知1＋＝，结合正弦定理边化角可得1＋＝. 又1＋＝ ＝＝， 所以＝. 又sinBsinC≠0，所以cosA＝. 因为0°<A<180°，所以A＝60°. (2)由(1)结合图形可知，∠OAC＋∠OAB＝60°，∠OAB＋∠ABO＝180°－∠AOB＝60°，所以∠OAC＝∠ABO， 所以∠ACO＝180°－(∠AOC＋∠OAC)＝30°－∠OAC＝30°－∠ABO. 在△ABO中，有＝＝＝2， 所以AO＝2sin∠ABO. 在△ACO中，有＝＝＝2， 所以AO＝2sin∠ACO＝2sin(30°－∠ABO)， 所以2sin∠ABO＝2sin(30°－∠ABO)， 展开整理，可得cos∠ABO＝3sin∠ABO， 所以tan∠ABO＝＝＝. 典例8　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－. (1)求sinA的值； (2)若a＝4，b＝5，求向量在上的投影向量的长度． [解]　(1)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)·sin(A＋C)＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－， 则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－. 又0<A<π，则sinA＝. (2)由正弦定理，得＝， 所以sinB＝＝＝. 由题意知a>b，则A>B，故B＝. 根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×， 解得c＝1或c＝－7(舍去)． 故向量在上的投影向量的长度为 ||cosB＝. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$