第六章 平面向量及其应用 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

第六章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 向量加法的性质 向量线性运算的坐标表示 向量数量积运算的坐标表示 由向量垂直求夹角 利用余弦定理解三角形；面积公式 求向量的模 力的合成问题 向量与三角函数的综合 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 余弦定理；面积公式 正弦定理与余弦定理的综合 向量数量积运算的坐标表示；向量的模的最值 向量的数量积 求向量的模与夹角 余弦定理；面积公式 利用余弦定理求距离；方向角 向量与三角函数、解三角形的综合 平面向量基本定理的应用 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：原式＝＋＋＋＋＝.故选C. 2．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　) A．(2，16) B．(－2，－16) C．(4，16) D．(2，0) 答案：A 解析：设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)，所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以所以所以D(2，16)．故选A. 3．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，且满足(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案：C 解析：∵a＝(1，1)，b＝(2，5)，∴8a－b＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又(8a－b)·c＝30，∴(6，3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.故选C. 4．(2024·广东广雅中学花都校区高一下期中)已知非零向量a，b满足|b|＝|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A．45° B．135° C．60° D．120° 答案：B 解析：根据题意，设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥(3a＋2b)，|b|＝|a|，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝－a·b－a2＝0，变形可得a·b＝－a2，则cosθ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.故选B. 5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积S为(　　) A． B． C． D．6 答案：A 解析：由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0，∴b＝2c.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2·，∴c＝2，从而b＝4，∴S＝bcsinA＝×4×2×＝.故选A. 6．(2024·贵州贵阳第一中学高一下教学质量监测(四))已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且－＝，则|a＋b|＝(　　) A．3 B． C． D．5 答案：B 解析：∵向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，－＝，∴－＝，∴＝1，两边平方可得，＋－＝1，即2－＝1，∴a·b＝3，∴|a＋b|＝＝＝＝.故选B. 7．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为370 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)(　　) A．64 B．70 C．76 D．60 答案：A 解析：设该学生每只胳膊的拉力大小分别为|F1|，|F2|，重力大小为|G|.由题意知，|F1|＝|F2|＝370 N，夹角θ＝60°，所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)，所以G2＝(F1＋F2)2＝3702＋2×370×370×cos60°＋3702＝3×3702，|G|＝370 N，则该学生的体重约为37×1.732≈64(kg)．故选A. 8．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A． B． C．1＋ D．2＋ 答案：A 解析：如图所示，|OA|＝1，|PO|＝，则由题意可知∠APO＝，由勾股定理可得|PA|＝1，设射线PO绕点P按逆时针旋转θ后与射线PD重合，则－＜θ＜，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cosθ，所以·＝||||cos＝cosθcos＝cosθ＝cos2θ－sinθcosθ＝＋cos2θ－sin2θ＝＋cos≤＋.故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(2024·湖南长沙第一中学高一下期末)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，2)，c＝(4，k)，则下列说法正确的是(　　) A．a的相反向量是－a B．若(a＋b)⊥c，则k＝－2 C．a在b上的投影向量为 D．若(a＋b)∥c，则k＝1 答案：AC 解析：对于A，由相反向量的定义，即可得到a的相反向量是－a，故A正确；对于B，因为a＝(1，2)，b＝(－2，2)，所以a＋b＝(－1，4)．又c＝(4，k)，且(a＋b)⊥c，所以－4＋4k＝0，解得k＝1，故B错误；对于C，因为a＝(1，2)，b＝(－2，2)，所以|a|＝＝，|b|＝＝2，所以a在b上的投影向量的模为＝＝＝|b|，所以a在b上的投影向量为b＝(－2，2)＝，故C正确；对于D，因为a＝(1，2)，b＝(－2，2)，所以a＋b＝(－1，4)，又c＝(4，k)，且(a＋b)∥c，所以－k＝16，解得k＝－16，故D错误．故选AC. 10．(2024·浙江台州高一下期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E是边AD上的动点(包含端点)，则下列结论正确的是(　　) A．当E是AD的中点时，＝＋ B．存在点E，使得⊥ C．·的最小值为－ D．若＝x＋y，x，y∈R，则x＋2y的取值范围是[2，3] 答案：ACD 解析：对于A，当E是AD的中点时，＝＋＝＋，故A正确；对于B，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，易得C(2，0)，A，D，E是边AD上的动点，设E，＝，＝，＝(2，0)，∴·＝·－·＝(t－2)＋－(t－2)＝－，∵≤t≤，∴·≠0，即不存在点E，使得⊥，故B错误；对于C，＝，＝，∴·＝－t(2－t)＋＝t2－2t＋＝(t－1)2－，故当t＝1时，·取得最小值－，故C正确；对于D，若＝x＋y，即＝x(－2，0)＋y，∴∴即x＋2y＝－t，∵≤t≤，∴2≤x＋2y＝－t≤3，故D正确．故选ACD. 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝ccosA，内角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，则下列结论正确的是(　　) A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面积为 答案：ACD 解析：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝＝，即b2＋a2＝c2，所以C＝.由二倍角公式得cos∠BAC＝2cos2∠CAD－1＝，解得cos∠CAD＝.在Rt△ACD中，AC＝ADcos∠CAD＝，故A正确；在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，解得AB＝6，故B错误；＝＝，即＝＝，故C正确；在△ABD中，由cos∠BAD＝得，sin∠BAD＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin∠BAD＝×1×6×＝，故D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．(2024·山东滨州渤海综合高中高一下期末)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝60°，b＝1，c＝4，则＝________． 答案： 解析：由余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，可得a＝，由正弦定理，可得＝＝2R＝＝＝. 13．(2024·河南洛阳宜阳县第一高级中学高一校考阶段练习)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，c·a＝t＋1，c·b＝t－1，则对于任意的实数t，|a－b＋c|的最小值是________． 答案：2 解析：∵a，b是两个互相垂直的单位向量，∴令a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，则∴|c|＝＝＝≥(当且仅当t＝0时取等号)，∴|a－b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2－2a·b＋2a·c－2b·c＝|c|2＋6≥2＋6＝8，∴|a－b＋c|min＝2. 14．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为________． 答案：　－ 解析：解法一：因为点E为线段CD的三等分点，且CE＝DE，所以＝，则＝＋＝＋，可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由题意，知||＝||＝1，·＝0，因为F为线段BE上的动点，设＝k＝k＋k，k∈[0，1]，则＝＋＝＋k，又因为G为AF的中点，则＝＋＝－＋＝＋，可得·＝·＝2＋k＝－，又因为k∈[0，1]，所以当k＝1时，·取到最小值－. 解法二：以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，则所以λ＋μ＝.因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈，且G为AF的中点，则G，＝(a＋1，－3a)，＝，则·＝＋(－3a)＝5－，且a∈，所以当a＝－时，·取得最小值，为－. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(2024·辽宁葫芦岛高一下期末)(本小题满分13分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(2a＋b)·(2a－b)＝3. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求|2a＋b|和向量b与2a＋b的夹角θ的值． 解：(1)由已知得4|a|2－|b|2＝3， 即4×12－|b|2＝3，|b|＝1. (2)|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4－2＋1＝3， ∴|2a＋b|＝， cosθ＝＝ ＝＝0， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 16．(本小题满分15分)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 解：(1)由余弦定理可得BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝1＋4－2×1×2×cos120°＝7， 则BC＝， cos∠ABC＝＝＝， sin∠ABC＝ ＝＝. (2)由三角形的面积公式可得 ＝＝4， 则S△ADC＝S△ABC＝×＝. 17．(2024·辽宁朝阳市建平县实验中学高一下期末)(本小题满分15分)如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路向东进行长跑训练，速度的大小为15 km/h，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75 km的B处有一艘小艇，小艇与海岸距离为45 km，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员． (1)小艇速度的大小至少为多少时才能追上这位运动员？ (2)求小艇速度的大小最小时的行驶方向与AB的夹角． 解：(1)如图，设小艇沿BD方向行驶，速度的大小为v km/h，t小时后与运动员在D处相遇， 在△ABD中，AB＝75，AD＝15t，BC＝45，故sin∠BAD＝＝，cos∠BAD＝， 由余弦定理，得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， 则v2t2＝(15t)2＋752－2×75×15t×， 整理得v2＝－＋225＝5625＋81＝5625＋81， 当＝，即t＝时，v＝81，故vmin＝9. 即小艇速度的大小至少为9 km/h时才能追上运动员． (2)当小艇速度的大小为9 km/h时，经过小时追上运动员，故BD＝9×＝56.25，AD＝15×＝93.75， 又sin∠BAD＝， 由正弦定理得＝， 解得sin∠ABD＝1， 故∠ABD＝90°，即小艇速度的大小最小时的行驶方向与AB的夹角为90°. 18．(本小题满分17分)已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n. (1)若f(x)＝1，求cos的值； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围． 解：由题意，得f(x)＝sincos＋cos2 ＝sin＋cos＋＝sin＋. (1)由f(x)＝1，得sin＝， 则cos＝2cos2－1 ＝2sin2－1＝－. (2)已知acosC＋c＝b，由余弦定理，得 a·＋c＝b， 即b2＋c2－a2＝bc， 则cosA＝＝， 又因为A为三角形的内角，所以A＝， 从而B＋C＝，易知0<B<，0<<， 则<＋<， 所以1<sin＋<， 故f(B)的取值范围为. 19．(本小题满分17分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和； (2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值； (3)确定点P在边BC上的位置． 解：(1)由＝，得＝， ∴＝＋＝－＋. ∵＝，∴＝＋＝－＋. (2)将＝－＋，＝－＋代入＝＋λ＝＋μ， 得＋λ ＝＋μ， 即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)， 又与不共线， ∴解得 (3)设＝m，＝n， 由(2)知＝＋， ∴＝－＝n－＝n－＝＋＝m＝m－m， ∵与不共线， ∴ 解得 ∴＝，即＝2， ∴点P在BC的三等分点且靠近点C处． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$